1、第二课考点突破素养提升素养一逻辑推理角度不等式的性质及其应用【典例1】如果a,b,c满足cba且acacB.c(b-a)0C.cb2ab2D.ac(a-c)0【解析】选C.cba,ac0,cac,A正确.对于B:c(b-a)0,B正确;对于C:cb2ab2,即C不一定成立.对于D:ac0ac(a-c)0,D正确.【类题通】不等式的性质是进行不等关系的推理运算的理论基础,应注意准确应用,保证每一步的推理都有根据.要熟练掌握不等式性质应用的条件,以防推理出错.素养二直观想象角度解一元二次不等式【典例2】在R上定义运算:=ad-bc.若不等式1对任意实数x恒成立,则实数a的最大值为()A.-B.-C
2、.D.【解析】选D.原不等式等价于x(x-1)-(a-2)(a+1)1,即x2-x-1(a+1)(a-2)对任意x恒成立,x2-x-1=-,所以-a2-a-2,-a.【类题通】解一元二次不等式要紧密联系二次函数与一元二次方程的知识,利用数形结合的数学思想,使解题更加直观.【加练固】对于xR,不等式x2-2x+3-m0恒成立,求实数m的取值范围.【解析】不妨设f(x)=x2-2x+3-m,其图象是开口向上的抛物线,为了使f(x)0(xR)恒成立,只需对应方程的0,即(-2)2-4(3-m)0,解得m2,所以m(-,2.素养三数学运算角度1基本不等式的实际应用【典例3】某水产养殖场拟造一个平面图为
3、矩形且面积为160平方米的水产养殖网箱,为了避免混养,箱中要安装一些筛网,如平面图所示.如果网箱四周网衣(图中实线部分)建造单价为每米112元,筛网(图中虚线部分)的建造单价为每米96元,网箱底面建造单价为每平方米100元,网衣及筛网的厚度忽略不计.(1)把建造网箱的总造价y(元)表示为网箱的长x(如图所示,单位为米)的函数,并求出最低造价.(2)若要求网箱的长与宽都不能超过15米.则当网箱的长与宽各为多少米时,可使总造价最低(精确到0.01米).【解析】(1)y=112+96+100160=320+1600026240.此时,x=,即x=16时,取得最小值.最小值为26240元.(2)因为所
4、以10x15.设g(x)=x+,任取x1,x2,且x1x2,则g(x1)-g(x2)=(x1-x2),因为10x1x215,所以x1-x20,1-g(x2),所以g(x)在上是单调递减的.所以当x=15时,g(x)有最小值.故当网箱长为15米,宽约为10.67米时可使总造价最低.【类题通】解决基本不等式的实际应用问题,关键在于弄清问题的各种数量关系,抽象出数学模型,解题时,既要注意条件是否具备,还要注意有关量的实际含义.【加练固】某汽车运输公司刚买了一批豪华大客车投入运营,据市场分析,每辆客车营运的总利润y(单位:10万元)与营运年数x(xN*)为二次函数关系(如图所示),若要使其营运的年平均
5、利润最大,则每辆客车需营运()A.3年B.4年C.5年D.6年【解析】选C.设二次函数为y=a(x-6)2+11.又图象过点(4,7),代入得7=a(4-6)2+11,解得a=-1,所以y=-x2+12x-25.设年平均利润为m,则m=-x-+122,当且仅当x=,即x=5时取等号.角度2一元二次不等式的实际应用【典例4】某商品的成本价80元/件,售价100元/件,每天售出100件,若售价降低x成(1成=10%),售出商品的数量就增加x成,要求售价不能低于成本价.(1)设该商店一天的营业额为y,试求出y与x之间的函数关系式y=f(x),并写出定义域.(2)若再要求该商品一天营业额至少10260
6、元,求x的取值范围.【解析】(1)依题意y=100100.又售价不能低于成本价,所以100-800,解得x2,所以y=f(x)=20(10-x)(50+8x)(0x2).(2)20(10-x)(50+8x)10260,化简得:8x2-30x+130,解得x.又x0,2,所以x的取值范围为.【类题通】解一元二次不等式应用题的关键在于构造一元二次不等式模型,即分析题目中有哪些未知量,然后选择其中起关键作用的未知量,设此未知量为x,用x来表示其他未知量,再根据题目中的不等关系,来列不等式.【加练固】某物流公司购买了一块长AM=30米,宽AN=20米的矩形地块(如图),计划把矩形ABCD建设为仓库,其余地方为道路和停车场,要求顶点C在地块对角线MN上,B,D分别在边AM,AN上,假设AB的长度为x米.(1)求矩形ABCD的面积S关于x的函数解析式.(2)要使仓库占地ABCD的面积不少于144平方米,则AB的长度应在什么范围内?【解析】(1)根据题意,得NDC与NAM相似,所以=,即=,解得AD=20-x.所以矩形ABCD的面积S关于x的函数为S=20x-x2(0x30).(2)要使仓库占地ABCD的面积不少于144平方米,即20x-x2144,化简得x2-30x+2160,解得12x18,所以AB的长度取值范围为12,18.5
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