2019_2020学年新教材高中数学第六章平面向量及其应用6.4.3余弦定理正弦定理第1课时余弦定理应用案巩固提升新人教A版必修第二册.doc

第1课时 余弦定理
[A　基础达标]
1．(2019·合肥调研)在△ABC中，角A，B，C对应的边分别为a，b，c，C＝60°，a＝4b，c＝，则b＝(　　)
A．1　　　　　　　　　　　 B．2
C．3 D.
解析：选A.由余弦定理知()2＝a2＋b2－2abcos 60°，因为a＝4b，所以13＝16b2＋b2－2×4b×b×，解得b＝1，故选A.
2．已知锐角三角形ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c.若23cos2A＋cos 2A＝0，a＝7，c＝6，则b＝(　　)
A．10　　 B．9
C．8　 D．5
解析：选D.由23cos2A＋cos 2A＝0得23cos2A＋2cos2A－1＝0，解得cos A＝±.
因为A是锐角，所以cos A＝.
又因为a2＝b2＋c2－2bccos A，所以49＝b2＋36－2×b×6×.
解得b＝5或b＝－.又因为b＞0，所以b＝5.
3．在△ABC中，若a＝8，b＝7，cos C＝，则最大角的余弦值是(　　)
A．－ B．－
C．－ D．－
解析：选C.由余弦定理，得
c2＝a2＋b2－2abcos C＝82＋72－2×8×7×＝9，
所以c＝3，故a最大，
所以最大角的余弦值为
cos A＝＝＝－.
4．(2019·江苏苏州部分重点中学高三(上)期中考试)在△ABC中，AB＝3，BC＝，AC＝4，则AC边上的高为(　　)
A.　　 B.
C.　 D．3
解析：选B.由BC2＝AB2＋AC2－2AB·ACcos A，可得13＝9＋16－2×3×4×cos A，得cos A ＝.因为A为△ABC的内角，所以A＝，
所以AC边上的高为AB·sin A＝3×＝.
5．在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且cos2＝，则△ABC是(　　)
A．直角三角形　 B．锐角三角形
C．等边三角形　 D．等腰直角三角形
解析：选A.在△ABC中，因为cos2＝，所以＝＋，
所以cos A＝.由余弦定理，知＝，所以b2＋c2－a2＝2b2，
即a2＋b2＝c2，所以△ABC是直角三角形．
6．已知△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若a，b，c满足b2＝ac，且c＝2a，则cos B＝________．
解析：因为b2＝ac，且c＝2a，所以cos B＝＝＝.
答案：
7．在△ABC中，边a，b的长是方程x2－5x＋2＝0的两个根，C＝60°，则c＝________．
解析：由题意，得a＋b＝5，ab＝2.所以c2＝a2＋b2－2abcos C＝a2＋b2－ab＝(a＋b)2－3ab＝52－3×2＝19，所以c＝.
答案：
8．在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c且a＝3，b＝4，c＝6，则bccos A＋accos B＋abcos C的值是________．
解析：bccos A＋accos B＋abcos C＝＋＋＝.
因为a＝3，b＝4，c＝6，所以bccos A＋accos B＋abcos C＝×(32＋42＋62)＝.
答案：
9．在△ABC中，A＋C＝2B，a＋c＝8，ac＝15，求b.
解：在△ABC中，因为A＋C＝2B，A＋B＋C＝180°，所以B＝60°.
由余弦定理，
得b2＝a2＋c2－2accos B＝(a＋c)2－2ac－2accos B＝82－2×15－2×15×＝19.
所以b＝.
10．在△ABC中，已知BC＝7，AC＝8，AB＝9，试求AC边上的中线长．
解：由余弦定理的推论得：
cos A＝＝＝，
设所求的中线长为x，由余弦定理知：
x2＝＋AB2－2··ABcos A＝42＋92－2×4×9×＝49，
则x＝7.
所以所求中线长为7.
[B　能力提升]
11．在△ABC中，AB＝5，BC＝7，AC＝8，则·的值为(　　)
A．79 B．69
C．5 D．－5
解析：选D.由余弦定理得：
cos∠ABC＝＝＝.
因为向量与的夹角为180°－∠ABC，
所以·＝||·||cos(180°－∠ABC)＝5×7×＝－5.
12．已知锐角三角形的边长分别为1，3，a，则a的取值范围是(　　)
A．(8，10)　 B．(2，)
C．(2，10)　　 D．(，8)
解析：选B.只需让边长为3和a的边所对的角均为锐角即可．
故解得2＜a＜.
13．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若C＝120°，c＝a，则a，b的大小关系为(　　)
A．a>b B．a<b
C．a＝b D．不能确定
解析：选A.在△ABC中，c2＝a2＋b2－2abcos 120°＝a2＋b2＋ab.因为c＝a，所以2a2＝a2＋b2＋ab，所以a2－b2＝ab>0，所以a2>b2，所以a>b.
14．已知△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且(a－c)2＝b2－ac.
(1)求cos B的值；
(2)若b＝，且a＋c＝2b，求ac的值．
解：(1)由(a－c)2＝b2－ac，可得a2＋c2－b2＝ac.
所以＝，即cos B＝.
(2)因为b＝，cos B＝，
由余弦定理，得b2＝13＝a2＋c2－ac＝(a＋c)2－ac，
又a＋c＝2b＝2，
所以13＝52－ac，解得ac＝12.
[C　拓展探究]
15．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知cos C＋(cos A－sin A)cos B＝0.
(1)求角B的大小；
(2)若a＋c＝1，求b的取值范围．
解：(1)由已知得－cos(A＋B)＋cos Acos B－sin A·cos B＝0，即有sin Asin B－sin Acos B＝0.①
因为sin A≠0，所以sin B－ cos B＝0.又cos B≠0，
所以tan B＝.又0<B<π，所以B＝.
(2)由余弦定理，有b2＝a2＋c2－2accos B.
因为a＋c＝1，cos B＝，
有b2＝3＋.②
又0<a<1，
于是有≤b2<1，
即有≤b<1.

- 5 -