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课时素养评价
十六 均值不等式
(25分钟·50分)
一、选择题(每小题4分，共16分，多选题全部选对得4分，选对但不全的得2分，有选错的得0分)
1.不等式a2+b2≥2|ab|成立时，实数a，b一定是 ( )
A.正数 B.非负数
C.实数 D.不存在
【解析】选C.原不等式可变形为a2+b2-2|ab|=|a|2+|b|2-2|ab|=(|a|-|b|)2≥0，对任意实数都成立.
2.(多选题)(2019·怀化高一检测)设a，b∈R，且a≠b，a+b=2，则必有( )
A.ab>1 B.ab<1
C.<1 D.>1
【解析】选B、D.因为ab≤，a≠b，
所以ab<1，
又1==<，
所以>1，所以ab<1<.
3.若a，b∈Z，且a+b=0，则2a+2b的最小值是 ( )
A.2 B.3 C.4 D.5
【解析】选A.因为a，b∈Z，所以2a>0，2b>0，所以2a+2b≥2=2=2，当且仅当a=b=0时，等号成立.所以2a+2b的最小值是2.
4.已知0<x<1，则x(3-3x)取最大值时x的值为 ( )
A. B. C. D.
【解析】选A.因为0<x<1，所以1-x>0，
则x(3-3x)=3[x(1-x)]≤3×=，
当且仅当x=1-x，即x=时取等号.
二、填空题(每小题4分，共8分)
5.已知当x=3时，代数式4x+(x>0，a>0)取得最小值，则a=________.
【解析】4x+≥2=4(x>0，a>0)，当且仅当4x=，即x=时等号成立，所以=3，即a=36.
答案：36
6.下列不等式的证明过程：
①若a，b∈R，则+≥2=2；
②若x，y∈R，则=|x|+≥2；
③若a，b∈R，ab<0，则+=-+≤-2=-2.
其中正确的序号是________.
【解析】①②都错在符号上.
答案：③
三、解答题(共26分)
7.(12分)设a>0，b>0，且不等式++≥0恒成立，求实数k的最小值.
【解析】因为a>0，b>0，所以原不等式可化为：
k≥-(a+b)，
所以k≥--2.
因为+≥2，所以--2的最大值为-4.
所以k≥-4，即k的最小值为-4.
8.(14分)求t=x+的取值范围.
【解析】当x>0时，x+≥2=2，
当且仅当x=即x=1时，“=”成立，
所以x+≥2.
当x<0时，x+=-≤-2=-2，
当且仅当-x=，即x=-1时“=”成立.
所以x+≤-2故t=x+的取值范围为{t|t≤-2或t≥2}.
(15分钟·30分)
1.(4分)已知m=a+(a>2)，n=4-b2(b≠0)，则m，n之间的大小关系
是 ( )
A.m>n B.m<n
C.m=n D.不确定
【解析】选A.因为a>2，所以a-2>0.
又因为m=a+=(a-2)++2，
所以m≥2+2=4.
由b≠0得b2≠0，所以4-b2<4，即n<4.所以m>n.
2.(4分)已知当x=a时，代数式x-4+(x>-1)取得最小值b，则a+b=( )
A.-3 B.2 C.3 D.8
【解析】选C.y=x-4+=x+1+-5，由x>-1，得x+1>0，>0，所以由均值不等式得y=x+1+-5≥2-5=1，当且仅当x+1=，即(x+1)2=9，所以x+1=3，即x=2时取等号，所以a=2，b=1，a+b=3.
3.(4分)已知x>0，y>0，且满足+=1，则xy的最大值为________，取得最大值时y的值为________.
【解析】因为x>0，y>0且1=+≥2，所以xy≤3.当且仅当==，即x=，y=2时取等号.
答案：3 2
4.(4分)已知x>0，y>0，且xy=100，则x+y的最小值为________.
【解析】x+y≥2=20，当且仅当x=y=10时取“=”.
答案：20
5.(14分)设x>-1，求的最小值.
【解析】因为x>-1，所以x+1>0，
设x+1=t>0，则x=t-1，于是有：
==
=t++5≥2+5=9.
当且仅当t=，即t=2时取等号，此时x=1.
所以当x=1时，函数取得最小值是9.
1.已知正数0<a<1，0<b<1，且a≠b，则a+b，2，2ab，a2+b2，其中最大的一个是 ( )
A.a2+b2 B.2
C.2ab D.a+b
【解析】选D.因为a，b∈(0，1)，a≠b，
所以a+b>2，a2+b2>2ab，
所以，最大的只能是a2+b2与a+b之一.
而a2+b2-(a+b)=a(a-1)+b(b-1)，
又0<a<1，0<b<1，所以a-1<0，b-1<0，
因此a2+b2<a+b，所以a+b最大.
2.(1)x>0时求x++2的最小值.
(2)0<x<时，求2x(5-2x)的最大值.
【解析】(1)因为x>0，所以x++2≥2+2=8，
当且仅当x=，即x=3时等号成立.
所以x++2的最小值是8.
(2)因为0<x<，所以5-2x>0，
所以2x(5-2x)≤=，
当且仅当2x=5-2x，即x=时等号成立，
所以2x(5-2x)的最大值为.
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