资源描述
1.3.2 补集及综合应用
一、选择题
1．已知集合A＝{x|x2－x－2>0}，则∁RA＝( )
A．{x|－1<x<2} B．{x|－1≤x≤2}
C．{x|x<－1}∪{x|x>2} D．{x|x≤－1}∪{x|x≥2}
解析：本题主要考查集合的基本运算及一元二次不等式的解法．
化简A＝{x|x<－1或x>2}，∴∁RA＝{x|－1≤x≤2}．故选B.
答案：B
2．已知A，B均为集合U＝{1,3,5,7,9}的子集，且A∩B＝{3}，(∁UB)∩A＝{9}，则A＝( )
A．{1,3} B．{3,7,9}
C．{3,5,9} D．{3,9}
解析：因为A∩B＝{3}，所以3∈A，又(∁UB)∩A＝{9}，所以9∈A.若5∈A，则5∉B(否则5∈A∩B)，从而5∈∁UB，则(∁UB)∩A＝{5,9}，与题中条件矛盾，故5∉A.同理1∉A，7∉A，故A＝{3,9}．
答案：D
3．设全集U＝R，M＝{x|x<－2或x>2}，N＝{x|1<x<3}，则图中阴影部分所表示的集合是( )
A．{x|－2≤x<1} B．{x|－2≤x≤2}
C．{x|1<x≤2} D．{x|x<2}
解析：阴影部分所表示集合是N∩(∁UM)，
又∵∁UM＝{x|－2≤x≤2}，
∴N∩(∁UM)＝{x|1<x≤2}．
答案：C
4．设集合M＝{x|－1≤x<2}，N＝{x|x－k≤0}，若(∁RM)⊇(∁RN)，则k的取值范围是( )
A．k≤2 B．k≥－1
C．k>－1 D．k≥2
解析：由(∁RM)⊇(∁RN)可知M⊆N，则k的取值范围为k≥2.
答案：D
二、填空题
5．设全集U＝{x∈N*|x≤9}，∁U(A∪B)＝{1,3}，A∩(∁UB)＝{2,4}，则B＝________.
解析：∵全集U＝{1,2,3,4,5,6,7,8,9}，
由∁U(A∪B)＝{1,3}，得A∪B＝{2,4,5,6,7,8,9}，
由A∩(∁UB)＝{2,4}知，{2,4}⊆A，{2,4}⊆∁UB，
∴B＝{5,6,7,8,9}．
答案：{5,6,7,8,9}
6．已知全集U＝R，M＝{x|－1<x<1}，∁UN＝{x|0<x<2}，那么集合M∪N＝________.
解析：∵U＝R，∁UN＝{x|0<x<2}，
∴N＝{x|x≤0或x≥2}，
∴M∪N＝{x|－1<x<1}∪{x|x≤0或x≥2}＝{x|x<1或x≥2}．
答案：{x|x<1或x≥2}
7．已知U＝R，A＝{x|a≤x≤b}，∁UA＝{x|x<3或x>4}，则ab＝________.
解析：因为A∪(∁UA)＝R，A∩(∁UA)＝∅，
所以a＝3，b＝4，
所以ab＝12.
答案：12
三、解答题
8．已知全集U＝R，集合A＝{x|－1<x<2}，B＝{x|0<x≤3}．
求：(1)A∩B；
(2)∁U(A∪B)；
(3)A∩(∁UB)．
解析：(1)因为A＝{x|－1<x<2}，B＝{x|0<x≤3}，
所以A∩B＝{x|－1<x<2}∩{x|0<x≤3}＝{x|0<x<2}．
(2)A∪B＝{x|－1<x<2}∪{x|0<x≤3}
＝{x|－1<x≤3}，
∁U(A∪B)＝{x|x≤－1或x>3}．
(3)A∩(∁UB)＝{x|－1<x<2}∩{x|x>3或x≤0}＝{x|－1<x≤0}．
9．已知全集U＝{不大于20的素数}，M，N为U的两个子集，且满足M∩(∁UN)＝{3,5}，(∁UM)∩N＝{7,19}，(∁UM)∩(∁UN)＝{2,17}，求M，N.
解析：方法一 U＝{2,3,5,7,11,13,17,19}，
如图，
∴M＝{3,5,11,13}，N＝{7,11,13,19}．
方法二 ∵M∩(∁UN)＝{3,5}，
∴3∈M,5∈M且3∉N,5∉N.
又∵(∁UM)∩N＝{7,19}，∴7∈N,19∈N且7∉M,19∉M.
又∵(∁UM)∩(∁UN)＝{2,17}，
∴∁U(M∪N)＝{2,17}，
∴M＝{3,5,11,13}，N＝{7,11,13,19}．
[尖子生题库]
10．已知A＝{x|－1<x≤3}，B＝{x|m≤x<1＋3m}．
(1)当m＝1时，求A∪B；
(2)若B⊆(∁RA)，求实数m的取值范围．
解析：(1)m＝1时，B＝{x|1≤x<4}，
A∪B＝{x|－1<x<4}．
(2)∁RA＝{x|x≤－1或x>3}．
当B＝∅，即m≥1＋3m时，
得m≤－，满足B⊆(∁RA)，
当B≠∅时，要使B⊆(∁RA)成立，
则或
解之得m>3.
综上可知，实数m的取值范围是m>3或m≤－.
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