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1.4 充分条件与必要条件
一、选择题
1．已知集合A＝{1，a}，B＝{1,2,3}，则“a＝3”是“A⊆B”的( )
A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
解析：因为A＝{1，a}，B＝{1,2,3}，若a＝3，则A＝{1,3}，所以A⊆B，所以a＝3⇒A⊆B；若A⊆B，则a＝2或a＝3，所以A⊆Ba＝3，所以“a＝3”是“A⊆B”的充分而不必要条件．
答案：A
2．函数f(x)＝x2＋mx＋1的图象关于直线x＝1对称的充要条件是( )
A．m＝－2 B．m＝2
C．m＝－1 D．m＝1
解析：函数f(x)＝x2＋mx＋1的图象关于x＝1对称⇔－＝1⇔m＝－2.
答案：A
3．王昌龄的《从军行》中有两句诗：“黄沙百战穿金甲，不破楼兰终不还”．其中后一句中“攻破楼兰”是“返回家乡”的( )
A．充分条件 B．必要条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
解析：“攻破楼兰”是“返回家乡”的必要条件．故选B.
答案：B
4．已知p：x>1或x<－3，q：x>a，若q是p的充分不必要条件，则a的取值范围是( )
A．[1，＋∞) B．(－∞，1]
C．[－3，＋∞) D．(－∞，－3]
解析：令A＝{x|x>1或x<－3}，B＝{x|x>a}，
∵q是p的充分不必要条件，
∴BA，
∴a≥1.
答案：A
二、填空题
5．从“充分不必要条件”“必要不充分条件”“充要条件”“既不充分也不必要条件”中选一个合适的填空．
(1)“x2－1＝0”是“|x|－1＝0”的________；
(2)“x<5”是“x<3”的________．
解析：(1)设A＝{x|x2－1＝0}＝{－1,1}，B＝{x||x|－1＝0}＝{－1,1}，所以A＝B，即“x2－1＝0”是“|x|－1＝0”的充要条件．
(2)设A＝{x|x<5}，B＝{x|x<3}，因为AB，所以“x<5”是“x<3”的必要不充分条件．
答案：(1)充要条件 (2)必要不充分条件
6．如果命题“若A则B”的否命题是真命题，而它的逆否命题是假命题，则A是B的________条件．
解析：因为逆否命题为假，那么原命题为假，即AB，又因否命题为真，所以逆命题为真，即B⇒A，所以A是B的必要不充分条件．
答案：必要不充分
7．函数y＝x2＋bx＋c(x∈[0，＋∞))是单调函数的充要条件是________．
解析：对称轴x＝－≤0，即b≥0.
答案：b≥0
三、解答题
8．指出下列各题中，p是q的什么条件(在“充分不必要条件”，“必要不充分条件”，“充要条件”，“既不充分又不必要条件”中选出一种作答)．
(1)在△ABC中，p：∠A>∠B，q：BC>AC；
(2)对于实数x，y，p：x＋y≠8，q：x≠2或y≠6；
(3)已知x，y∈R，p：(x－1)2＋(y－2)2＝0，q：(x－1)(y－2)＝0.
解析：(1)在△ABC中，显然有∠A>∠B⇔BC>AC，所以p是q的充要条件．
(2)因为p⇒q，但qp，所以p是q的充分不必要条件．
(3)因为p：A＝{(1,2)}，q：B＝{(x，y)|x＝1或y＝2}，AB，所以p是q的充分不必要条件．
9．已知p：x2－8x－20>0，q：x2－2x＋1－m2>0(m>0)，若p是q的充分而不必要条件，求正实数m的取值范围．
解析：由命题p得：x>10或x<－2，
由命题q得：x2－2x＋1－m2>0(m>0)⇔[x－(1＋m)]·[x－(1－m)]>0⇔x<1－m，或x>1＋m(m>0)．
因为p是q的充分不必要条件，
所以p⇒q，且qp，{x|x>10或x<－2}{x|x<1－m或x>1＋m(m>0)}，
所以两等号不能同时成立，解得即m≤3.
所以正实数m的取值范围为(0,3]．
[尖子生题库]
10．求关于x的方程ax2＋2x＋1＝0至少有一个负的实根的充要条件．
解析：(1)a＝0时，可得x＝－，符合题意．
(2)当a≠0时，方程为一元二次方程，若方程有两个异号的实根，
则解得a<0；
若方程有两个负的实根，
则必须满足解得0<a≤1.
综上知，若方程至少有一个负的实根，则a≤1.
反之，若a≤1，则方程至少有一个负的实根．
因此，关于x的方程ax2＋2x＋1＝0至少有一个负的实根的充要条件是a≤1.
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