2019_2020学年新教材高中数学课时跟踪检测三十函数模型的应用新人教A版必修第一册.doc

课时跟踪检测（三十） 函数模型的应用
A级——学考水平达标练
1．某种产品今年的产量是a，如果保持5%的年增长率，那么经过x年(x∈N*)，该产品的产量y满足(　　)
A．y＝a(1＋5%x) B．y＝a＋5%
C．y＝a(1＋5%)x－1 D．y＝a(1＋5%)x
解析：选D　经过1年，y＝a(1＋5%)，经过2年，y＝a(1＋5%)2，…，经过x年，y＝a(1＋5%)x.
2．我们处在一个有声世界里，不同场合，人们对声音的音量会有不同要求．音量大小的单位是分贝(dB)，对于一个强度为I的声波，其音量的大小η可由如下公式计算：η＝10·Ig(其中I0是人耳能听到的声音的最低声波强度)，设η1＝70 dB的声音强度为I1，η2＝60 dB的声音强度为I2，则I1是I2的(　　)
A.倍 B．10倍
C．10倍 D．ln倍
解析：选B　依题意可知，η1＝10·lg，η2＝10·lg，所以η1－η2＝10·lg－10·lg，则1＝lg I1－lg I2，所以＝10.故选B.
3．设在海拔x m处的大气压强是y Pa，y与x之间的函数关系为y＝cekx，其中c，k为常量．已知海平面处的大气压强为1.01×105 Pa，在1 000 m高空处的大气压强为0.90×105 Pa，则在600 m高空处的大气压强约为(参考数据：0.890.6≈0.93)(　　)
A．9.4×104 Pa B．9.4×106 Pa
C．9×103 Pa D．9×105 Pa
解析：选A　依题意得：1.01×105＝ce0＝c,0.90×105＝ce1 000k，因此e1 000k＝≈0.89，
因此当x＝600时，y＝1.01×105e600k＝1.01×105(e1 000k)0.6＝1.01×105×0.890.6≈9.4×
104，故选A.
4．如图所示，点P在边长为1的正方形的边上运动，M是CD的中点．当点P沿路线A－B－C－M运动时，点P经过的路程x与△APM的面积y之间的函数y＝f(x)的图象大致是(　　)

解析：选A　由题意得，当0<x≤1时，S△APM＝×1×x＝x；
当1<x≤2时，S△APM＝S梯形ABCM－S△ABP－S△PCM
＝××1－×1×(x－1)－××(2－x)＝－x＋；
当2<x<时，S△APM＝××1＝－x＋.
结合各选项可知，A选项符合题意．
5．(2018·唐山一中高一期中)拟定从甲地到乙地通话m分钟的话费(单位：元)由函数f(m)＝给出，其中[m]是不小于m的最小整数，例如[2]＝2，[1.21]＝2，那么从甲地到乙地通话5.2分钟的话费为(　　)
A．3.71元 B．4.24元
C．4.7元 D．7.95元
解析：选B　由[m]是大于或等于m的最小整数可得[5.2]＝6.所以f(5.2)＝1.06×(0.5×6＋1)＝1.06×4＝4.24.故从甲地到乙地通话5.2分钟的话费为4.24元．故选B.
6．为绿化生活环境，某市开展植树活动．今年全年植树6.4万棵，若植树的棵数每年的增长率均为a，则经过x年后植树的棵数y与x之间的解析式是________，若计划3年后全年植树12.5万棵，则a＝________.
解析：经过x年后植树的棵数y与x之间的解析式是y＝6.4(1＋a)x，由题意可知6.4(1＋a)3＝12.5，
所以(1＋a)3＝，所以1＋a＝，
故a＝＝25%.
答案：y＝6.4(1＋a)x　25%
7．一个驾驶员喝了少量酒后，血液中的酒精含量迅速上升到0.3 mg/mL，在停止喝酒后，血液中的酒精含量以每小时25%的速度减少．为了保障交通安全，规定驾驶员血液中的酒精含量不得超过0.09 mg/mL，那么这个驾驶员至少要经过________小时才能开车．
(精确到1小时，参考数据：lg 2≈0.30，lg 3≈0.48)
解析：设经过n小时后才能开车，此时酒精含量为0.3(1－0.25)n.根据题意，有0.3(1－0.25)n≤0.09，即(1－0.25)n≤0.3，在不等式两边取常用对数，则有nlg ＝n(lg 3－2lg 2)≤
lg 0.3＝lg 3－1，将已知数据代入，得n(0.48－0.6)≤0.48－1，解得n≥＝4，故至少经过5小时才能开车．
答案：5
8．放射性物质衰变过程中其剩余质量随时间按指数函数关系变化．常把它的剩余质量变为原来的一半所经历的时间称为它的半衰期，记为T.现测得某种放射性元素的剩余质量A随时间t变化的6次数据如下：
t(单位时间)
0
2
4
6
8
10
A(t)
320
226
160
115
80
57
从以上记录可知这种元素的半衰期约为________个单位时间，剩余质量随时间变化的衰变公式为A(t)＝________.
解析：从题表中数据易知半衰期为4个单位时间，由初始质量为A0＝320，则经过时间t的剩余质量为A(t)＝A0·＝320·2(t≥0)．
答案：4　320·2(t≥0)
9．汽车驾驶员发现前方有障碍物时会紧急刹车，这一过程中，由于人的反应需要时间，汽车在惯性的作用下有一个刹车距离，设停车安全距离为S，驾驶员反应时间内汽车所行距离为S1，刹车距离为S2，则S＝S1＋S2.而S1与反应时间t有关，S1＝10ln(t＋1)，S2与车速v有关，S2＝bv2.某人刹车反应时间为－1秒，当车速为60 km/h时，紧急刹车后滑行的距离为20米，若在限速100 km/h的高速公路上，则该汽车的安全距离为多少米？(精确到米)
解：因为刹车反应时间为－1秒，
所以S1＝10ln(－1＋1)＝10ln＝5，
当车速为60 km/h时，紧急刹车后滑行的距离为20米，则S2＝b·(60)2＝20，
解得b＝，即S2＝v2.
若v＝100，则S2＝×1002≈56，S1＝5，
所以该汽车的安全距离S＝S1＋S2＝5＋56＝61(米)．

10．家用冰箱制冷使用的氟化物，释放后破坏了大气上层的臭氧层．臭氧含量Q呈指数函数型变化，满足关系式Q＝Q0e－，其中Q0是臭氧的初始量．
(1)随时间的增加，臭氧的含量是增加还是减少？
(2)多少年以后将会有一半的臭氧消失？(精确到年，参考数据：ln 2≈0.693，ln 3≈
1.099)
解：(1)因为Q0>0，－<0，e>1，
所以Q＝Q0e为减函数，
所以随时间的增加，臭氧的含量减少．
(2)设x年以后将会有一半的臭氧消失，则Q＝Q0e＝Q0，即e＝，
取对数可得－＝ln ，
解得x＝400ln 2≈277.2.
所以278年以后将会有一半的臭氧消失．
B级——高考水平高分练
1．一种放射性元素，每年的衰减率是8%，那么a千克的这种物质的半衰期(剩余量为原来的一半)t等于(　　)
A．lg B．lg
C． D．
解析：选C　由题意知a(1－8%)t＝，即(1－8%)t＝，等式两边取对数得lg 0.92t＝lg 0.5，即tlg 0.92＝lg 0.5，∴t＝，故C选项是正确的．
2．(2018·宜昌一中高一期中)把物体放在冷空气中冷却，如果物体原来的温度是θ1 ℃，空气的温度是θ0 ℃，t min后物体的温度θ ℃可由公式θ＝θ0＋(θ1－θ0)e－0.24t求得，且把温度是100 ℃的物体放在10 ℃的空气中冷却t min后，物体的温度是40 ℃，那么t的值约等于______．(参考数据：ln 3取1.099，ln 2取0.693)
解析：由题意可得40＝10＋(100－10)e－0.24t，
化简可得e－0.24t＝，
∴－0.24t＝ln ＝－ln 3，
∴0.24t＝ln 3＝1.099，∴t≈4.58.
答案：4.58
3．一片森林原来的面积为a，计划每年砍伐一些树，且每年砍伐面积的百分比相等，当砍伐到面积的一半时，所用时间是10年，为保护生态环境，森林面积至少要保留原面积的，已知到今年为止，森林剩余面积为原来的.
(1)求每年砍伐面积的百分比；
(2)到今年为止，该森林已砍伐了多少年？
(3)今后最多还能砍伐多少年？
解：(1)设每年砍伐面积的百分比为x(0<x<1)，则a(1－x)10＝a，即(1－x)10＝，解得x＝1－.
(2)设经过m年后森林剩余面积为原来的，则a(1－x)m＝a，
即＝，则＝，解得m＝5.
故到今年为止，该森林已砍伐了5年．
(3)设从今年开始，以后砍了n年，则n年后剩余面积为a(1－x)n.
令a(1－x)n≥a，即(1－x)n≥，则≥，则≤，解得n≤15.
故今后最多还能砍伐15年．
4．在数学课外活动中，小明同学进行了糖块溶于水的实验：将一块质量为7克的糖块放入一定量的水中，测量不同时刻未溶解糖块的质量，得到若干组数据，其中在第5分钟末测得未溶解糖块的质量为3.5克．联想到教科书中研究“物体冷却”的问题，小明发现可以用指数型函数S＝ae－kt(a，k是常数)来描述以上糖块的溶解过程，其中S(单位：克)代表t分钟末未溶解糖块的质量．
(1)求a的值；
(2)求k的值；
(3)设这个实验中t分钟末已溶解的糖块的质量为M，请画出M随t变化的函数关系的草图，并简要描述实验中糖块的溶解过程．
解：(1)由题意，t＝0，S＝a＝7.
(2)因为5分钟末测得未溶解糖块的质量为3.5克，
所以3.5＝7e－5k，解得k＝.
(3)M随t变化的函数关系的草图如图所示．

溶解过程：随着时间的增加，逐渐溶解．

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