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课时素养评价
二十一 分 段 函 数
(25分钟·50分)
一、选择题(每小题4分，共16分，多选题全部选对得4分，选对但不全对得2分，有选错的得0分)
1.(多选题)设函数f(x)=若f(a)+f(-1)=2，则a= ( )
A.-3 B.3 C.-1 D.1
【解析】选C，D.因为f(-1)==1，所以f(a)=1.
(1)当a≥0时，f(a)==1，所以a=1.
(2)当a<0时，f(a)==1，所以a=-1.
综上可知a=1或-1.
2.设函数f(x)=若f(a)=a，则实数a的值为 ( )
A.±1 B.-1
C.-2或-1 D.±1或-2
【解析】选B.由题意知，f(a)=a；当a≥0时，有a-1=a，解得a=-2(不满足条件，舍去)；当a<0时，有=a，解得a=1(不满足条件，舍去)或a=-1.所以实数a 的值是-1.
3.下列图像是函数y=的图像的是 ( )
【解析】选C.由于f(0)=0-1=-1，所以函数图像过点(0，-1)；当x<0时，y=x2，则函数图像是开口向上的抛物线y=x2在y轴左侧的部分.因此只有图像C符合.
4.设x∈R，定义符号函数sgn x=则 ( )
A.|x|=x|sgn x| B.|x|=xsgn|x|
C.|x|=|x|sgn x D.|x|=xsgn x
【解析】选D.当x<0时，|x|=-x，x|sgn x|=x，xsgn|x|=x，|x|sgn x=(-x)·(-1)=x，排除A，B，C.
二、填空题(每小题4分，共8分)
5.已知函数f(x)=则f(1)-f(3)等于________.
【解析】f(1)=f(1+3)=f(4)=42+1=17，f(3)=32+1=10，所以f(1)-f(3)=7.
答案：7
【加练·固】
设函数f(x)=则f的值为________.
【解析】f(2)=22+2-2=4，所以=.
所以f=f=1-=.
答案：
6.设函数f(x)=则f=________，若f(x0)>1，则x0的取值范围是________.
【解析】f===，
当x0≤0时，由-x0-1>1，得x0<-2，
当x0>0时，由>1，得x0>1.
所以x0的取值范围为(-∞，-2)∪(1，+∞).
答案： (-∞，-2)∪(1，+∞)
三、解答题(共26分)
7.(12分)已知函数f(x)=2x-1，g(x)=求f(g(x))和g(f(x))的解析式.
【解析】当x≥0时，g(x)=x2，f(g(x))=2x2-1，
当x<0时，g(x)=-1，f(g(x))=-2-1=-3，
所以f(g(x))=
因为当2x-1≥0，即x≥时，
g(f(x))=(2x-1)2，
当2x-1<0，即x<时，g(f(x))=-1，
所以g(f(x))=
8.(14分)设函数f(x)=且f(-4)=f(0)，f(-2)=-1.
(1)求函数f(x)的解析式.
(2)画出函数f(x)的图像，并写出函数f(x)的定义域、值域.
【解析】(1)因为f(-4)=f(0)，f(-2)=-1，
所以16-4b+c=3，4-2b+c=-1，
解得：b=4，c=3，
所以f(x)=
(2)函数的定义域为[-4，4]，
当-4≤x<0时，y=x2+4x+3=(x+2)2-1，
由-4≤x<0可得，-1≤y≤3，当0≤x≤4时，y=-x+3，
所以-1≤y≤3，所以函数的值域为[-1，3].其图像如图所示：
【加练·固】
已知函数f(x)=
(1)求函数值f(2)，f(f(1)).(2)画出函数图像，并写出f(x)的值域.(不必写过程)
【解析】(1)因为f(x)=
所以f(2)=2×2+1=5，f(f(1))=f(2×1+1)
=f(3)=5，
所以f(2)=5，f(f(1))=5.
(2)函数图像如图，函数f(x)的值域为[-5，5].
(15分钟·30分)
1.(4分)函数f(x)的图像如图所示，则f(x)的解析式是 ( )
A.f(x)=-|x|-1 B.f(x)=|x-1|
C.f(x)=-|x|+1 D.f(x)=|x+1|
【解析】选C.结合图像可知，
当x≤0时，f(x)=x+1，
当x>0时，f(x)=-x+1，
所以f(x)=
即f(x)=-|x|+1.
2.(4分)定义运算a*b=则函数f(x)=x2*|x|的图像是 ( )
【解析】选B.由已知给出的运算定义知：
f(x)=x2*|x|=
即f(x)=所以选项B符合题意.
3.(4分)已知f(x)=如果f(x0)=3，那么x0=______.
【解析】因为f(x)=
所以若x0<0，f(x0)==3，所以x0=-；
同理若x0>0，f(x0)=x0+1=3，所以x0=2.
答案：2或-
4.(4分)若定义运算a☉b=则函数f(x)=x☉(2-x)的值域为________.
【解析】由题意得f(x)=
画出函数f(x)的图像得值域是(-∞，1].
答案：(-∞，1]
5.(14分)已知函数f(x)=1+，
(1)用分段函数的形式表示函数f(x).
(2)在坐标系中画出函数f(x)的图像.
(3)在同一坐标系中，再画出函数g(x)=(x>0)的图像(不用列表)，观察图像直接写出当x>0时，不等式f(x)>的解集.
【解析】(1)因为当x≥0时，f(x)=1；
当x<0时，f(x)=x+1，
所以f(x)=
(2)函数图像如图：
(3)由上图可知当x>1时，f(x)>g(x)，
所以不等式f(x)>的解集为{x|x>1} .
【加练·固】
已知函数f(x)=求(1)f，f(f(-1))的值.
(2)若f(a)>2，求a的取值范围.
【解析】(1)f=+5；f(f(-1))=f(-3+5)=f(2)=-4+8=4.
(2)由题意知f(a)>2，
当a≤0时，3a+5>2⇒a>-1，此时-1<a≤0；
当0<a≤1时，a+5>2⇒a>-3，此时0<a≤1；
当a>1时，-2a+8>2⇒a<3，此时1<a<3.
综上，所求a的取值范围是-1<a<3.
1.设定义域为R的函数f(x)=且f(f(x))=1，则x的值所组成的集合为________.
【解析】设f(x)=t，t∈R，
则对于f(t)=1，有解t=2或者-1≤t≤1.
那么，①当t=f(x)=2时，
有2x-3=2，x=>1，满足条件.
②当-1≤x≤1时，f(x)=1，满足条件.
当x>1或x<-1时，
代入式子f(x)=2x-3，
可得不等式
解得1<x<2.
综上：-1≤x<2或者x=.
答案：-1≤x<2或者x=
2.设函数f(x)=
(1)请在下列直角坐标系中画出函数f(x)的图像.
(2)根据(1)的图像，试分别写出函数f(x)与函数y=t的图像有2，3，4个交点时，相应的实数t的取值范围.
(3)记函数g(x)的定义域为D，若存在x0∈D，使g(x0)=x0成立，则称点(x0，x0)为函数g(x)图像上的不动点.试问，函数f(x)图像上是否存在不动点，若存在，求出不动点的坐标；若不存在，请说明理由.
【解析】(1) 函数f(x)的图像如图：
(2)根据图像可知当-2<t<1或t>2时，方程f(x)=t有2个交点；
当t=1或t=2时，方程f(x)=t有3个交点；
当1<t<2时，方程f(x)=t有4个交点.
(3)若f(x)图像上存在不动点，
则f(x)=x有解，则y=f(x)与y=x有交点.
由图像可知：
若-1≤x≤2，则-x2+2=x，
解得x=1(舍去x=-2)，即不动点为(1，1)；
若x>2，则3x-8=x，
解得x=4，即不动点为(4，4)
综上，函数f(x)图像上存在不动点(1，1)、(4，4).
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