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课时跟踪检测（三十九） 正弦函数、余弦函数的性质（二）
A级——学考水平达标练
1．函数y＝1－2cosx的最小值、最大值分别是( )
A．－1,3 B．－1,1
C．0,3 D．0,1
解析：选A ∵cosx∈[－1,1]，∴－2cosx∈[－2,2]，∴y＝1－2cosx∈[－1,3]，∴ymin＝－1，ymax＝3.
2．下列不等式中成立的是( )
A．sin＞sin B．sin 3＞sin 2
C．sinπ＞sin D．sin 2＞cos 1
解析：选D ∵sin 2＝cos＝cos，且0＜2－＜1＜π，∴cos＞cos 1，即sin 2＞cos 1.故选D.
3．函数y＝|cos x|的一个单调减区间是( )
A. B.
C. D.
解析：选C 函数y＝|cos x|＝图象如下图所示：
单调减区间有，，…，故选C.
4．若函数f(x)＝2sin(ω＞0)，且f(α)＝－2，f(β)＝0，|α－β|的最小值是，则f(x)的单调递增区间是( )
A.(k∈Z)
B.(k∈Z)
C.(k∈Z)
D.(k∈Z)
解析：选A 由题意可知T＝，所以T＝2π，所以ω＝1，所以f(x)＝2sin.
由2kπ－≤x＋≤2kπ＋(k∈Z)，得2kπ－≤x≤2kπ＋(k∈Z)，所以f(x)的单调递增区间为(k∈Z)．故选A.
5．设函数f(x)＝2sin.若对任意x∈R，都有f(x1)≤f(x)≤f(x2)成立，则|x1－x2|的最小值为( )
A．4 B．2
C．1 D．
解析：选B 依题意得f(x1)是f(x)的最小值，f(x2)是f(x)的最大值．因此|x1－x2|＝T(k∈Z)．
∴当k＝0时，|x1－x2|min＝T＝×＝2.故选B.
6．函数y＝sin x的值域为________．
解析：画出函数y＝sin x的图象，如图．由图象可知，当x＝时，ymax＝1，当x＝时，ymin＝－，所以函数y＝sin x的值域为.
答案：
7．函数y＝sin2x－cos x＋1的最大值为________．
解析：y＝sin2x－cos x＋1＝－cos2x－cos x＋2＝－2＋，∵－1≤cos x≤1，∴当cos x＝－时，y取最大值.
答案：
8．已知函数f(x)＝－sin 2ωx(ω＞0)的图象关于点M对称，且在区间上是单调函数，则ω的值为________．
解析：依题意得≥，即T≥2π，从而0＜ω≤.
又sin＝0，即sin＝0，
∴＝kπ(k∈Z)，解得ω＝k(k∈Z)．
由0＜ω≤知，ω＝.
答案：
9．求函数y＝3－4cos，x∈的最大值、最小值及相应的x值．
解：因为x∈，所以2x＋∈，从而－≤cos≤1.
所以当cos＝1，即2x＋＝0，x＝－时，ymin＝3－4＝－1.
当cos＝－，即2x＋＝，x＝时，ymax＝3－4×＝5.
综上所述，当x＝－时，ymin＝－1；
当x＝时，ymax＝5.
10．已知函数f(x)＝2cos.
(1)求f(x)的单调递增区间；
(2)求f(x)的最小值及取得最小值时相应的x值．
解：(1)令2kπ－π≤3x＋≤2kπ(k∈Z)，
解得－≤x≤－(k∈Z)．
所以f(x)的单调递增区间为(k∈Z)．
(2)当3x＋＝2kπ－π(k∈Z)时，f(x)取最小值－2.
即x＝－(k∈Z)时，f(x)取最小值－2.
B级——高考水平高分练
1．函数f(x)＝sin＋cos的最大值为( )
A．1 B．
C． D．2
解析：选D 由＋x与－x互余，得f(x)＝2sin，故f(x)的最大值为2，故选D.
2．已知ω＞0，函数f(x)＝sin在上单调递减，则ω的取值范围是________．
解析：依题意得≥⇒T≥π，
又ω＞0，所以≥π⇒0＜ω≤2.
由＜x＜π得＋＜ωx＋＜ωπ＋，
由f(x)在上单调递减得
⇒≤ω≤.
答案：
3．若函数y＝a－bsin x的最大值为，最小值为－.
(1)求a，b的值；
(2)求函数y＝－asin x取得最大值时x的值．
解：(1)当b＞0时，⇒
当b＜0时，⇒
(2)由(1)知a＝，所以函数y＝－asin x＝－sin x，
所以当x＝2kπ－(k∈Z)时，函数y＝－asin x取得最大值．
4．设函数f(x)＝sin(2x＋φ)(－π＜φ＜0)，y＝f(x)图象的一条对称轴是直线x＝.
(1)求φ；
(2)求函数y＝f(x)的单调增区间．
解：(1)因为x＝是函数y＝f(x)图象的对称轴．
所以sin＝±1，所以＋φ＝kπ＋(k∈Z)，得φ＝kπ＋(k∈Z)．
又因为－π＜φ＜0，所以φ＝－.
(2)由(1)知φ＝－，则f(x)＝sin.
由2kπ－≤2x－≤2kπ＋(k∈Z)，
得kπ＋≤x≤kπ＋(k∈Z)，
所以函数f(x)＝sin的单调增区间为(k∈Z)．
5．定义在R上的偶函数f(x)满足f(x＋1)＝－f(x)，且在[－4，－3]上是增函数，α，β是锐角三角形的两个内角，则f(sin α)与f(cos β)的大小关系是________．
解析：由f(x＋1)＝－f(x)，
得f(x＋2)＝－f(x＋1)＝f(x)，
所以函数f(x)是周期函数，且2是它的一个周期．
因为函数f(x)是偶函数且在[－4，－3]上是增函数，
所以函数f(x)在[0,1]上是增函数．
又α，β是锐角三角形的两个内角，则有α＋β＞，
即＞α＞－β＞0，
因为y＝sin x在上为增函数，
所以sin α＞sin＝cos β，
且sin α∈[0,1]，cos β∈[0,1]，
所以f(sin α)＞f(cos β)．
答案：f(sin α)＞f(cos β)
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