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课时素养评价 四十九
正弦函数、余弦函数的性质(二)
(25分钟·50分)
一、选择题(每小题4分,共16分,多项选择题全选对的得4分,选对但不全的得2分,有选错的得0分)
1.函数y=sin x,x∈,则y的取值范围是 ( )
A. B.
C. D.
【解析】选B.y=sin x的图象如图所示,因为x∈,
所以由图象知y∈.
【加练·固】
函数f(x)=-2sin x+1,x∈的值域是 ( )
A. B.
C. D.
【解析】选B.因为x∈,
所以sin x∈,
所以-2sin x+1∈.
2.函数y=|sin x|的一个单调增区间是 ( )
A. B.
C. D.
【解析】选C.画出y=|sin x|的图象即可求解.
3.下列不等式中成立的是 ( )
A.sin>sin
B.sin 3>sin 2
C.sin π>sin
D.sin 2>cos 1
【解析】选D.因为sin 2=cos=cos,且0<2-<1<π,
所以cos >cos 1,即sin 2>cos 1.
4.(多选题)设函数f(x)=cos,则下列结论正确的是 ( )
A.f(x)的一个周期为-2π
B.y=f(x)的图象关于直线x=对称
C.f(x+π)的一个零点为x=
D.f(x)在上单调递减
【解析】选A、B、C.A项,因为f(x)=cos的周期为2kπ(k∈Z),所以f(x)的一个周期为-2π,A正确.
B项,因为f(x)=cos图象的对称轴为直线x=kπ-(k∈Z),所以y=f(x)的图象关于直线x=对称,B项正确.
C项,f(x+π)=cos.令x+=kπ+(k∈Z),得x=kπ-π,当k=1时,x=,所以f(x+π)的一个零点为x=,C项正确.
D项,因为f(x)=cos的递减区间为(k∈Z),
递增区间为(k∈Z),
所以是减区间,是增区间,D项错误.
二、填空题(每小题4分,共8分)
5.函数y=sin-x(x∈[0,π])的单调递增区间为________.
【解析】函数可化为y=-sin,
因为x∈[0,π],
所以-≤x-≤.要求函数的单调递增区间,则≤x-≤,即≤x≤π,
所以y=sin(x∈[0,π])的单调递增区间为.
答案:
6.若y=asin x+b的最大值为3,最小值为1,则ab=________.
【解析】当a>0时,得所以ab=2.当a<0时,得所以ab=-2,综上所述ab=±2.
答案:±2
三、解答题(共26分)
7.(12分)设函数f(x)=sin,x∈R.
(1)求函数f(x)的最小正周期和单调递增区间.
(2)求函数f(x)在区间上的最小值和最大值,并求出取最值时x的值.
【解析】(1)最小正周期T==π,由2kπ-≤2x-≤2kπ+(k∈Z),得kπ-≤x≤kπ+(k∈Z),所以函数f(x)的单调递增区间是(k∈Z).
(2)令t=2x-,则由≤x≤可得0≤t≤,所以当t=,即x=时,ymin=2×=-1,所以当t=,即x=时,ymax=×1=.
8.(14分)已知函数y=a-bcos(b>0)的最大值为,最小值为-.
(1)求a,b的值.
(2)求函数g(x)=-4asin的最小值并求出对应x的集合.
【解析】(1)cos∈[-1,1],因为b>0,所以-b<0,
所以所以a=,b=1.
(2)由(1)知g(x)=-2sin,
因为sin∈[-1,1],所以g(x)∈[-2,2],所以g(x)的最小值为-2,
此时,sin=1,
对应x的集合为.
(15分钟·30分)
1.(4分)函数y=3cos2x-4cos x+1,x∈的最小值是
( )
A.- B. C.0 D.-
【解析】选D.令t=cos x,x∈,
所以t∈,y=3t2-4t+1=3-.
因为y=3-在t∈上单调递减,
所以当t=时,ymin=3×-4×+1=-.
2.(4分)（2019·全国卷Ⅰ）函数f(x)= 在［-π，π］的图象大致为
( )
【解析】选D.由f(-x)= =-f(x)，得f(x)是奇函数，其图象关于原点对称.又
f(π)= >0.故选D.
3.(4分)(1)sin________sin;
(2)sin 194°________cos 160°. (填“>”或“<”).
【解析】(1)sin=sin=sin,
因为0<<<,y=sin x在上是增函数,
所以sin<sin,即sin>sin.
(2)sin 194°=sin (180°+14°)=-sin 14°,
cos 160°=cos(180°-20°)=-cos 20°=-sin 70°.
因为0°<14°<70°<90°且y=sin x在上单调递增,
所以sin 70°>sin 14°,即-sin 14°>-sin 70°.
故sin 194°>cos 160°.
答案:(1)> (2)>
4.(4分)若f(x)=2sin ωx(0<ω<1)在区间上的最大值是,则ω=________.
【解析】因为x∈,即0≤x≤,且0<ω<1,所以0≤ωx≤<.因为f(x)max=2sin=,
所以sin=,=,即ω=.
答案:
5.(14分)已知函数f(x)=2asin x+b的定义域为,函数的最大值为1,最小值为-5,求a和b的值.
【解析】因为-≤x≤,所以-≤sin x≤1.
若a>0,则解得若a<0,
则解得
1.函数y=2sin-cos(x∈R)的最小值为________.
【解析】因为+=,
所以y=2sin-cos
=2cos-cos=cos.
所以ymin=-1.
答案:-1
2.已知函数f(x)=-sin2x+sin x+a.当f(x)=0有实数解时,求a的取值范围.
【解析】-1≤sin x≤1,令t=sin x,则-1≤t≤1.
f(x)=0有实数解,即t2-t-a=0在[-1,1]内有实数解.
令g(t)=t2-t-a=-a-,t∈[-1,1].
如图,方程t2-t-a=0在[-1,1]内有实数解等价于函数g(t)的图象与坐标系的横轴在[-1,1]上有交点,故只需满足解得-≤a≤2,所以所求a的取值范围是.
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