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1.1.3 集合的基本运算
最新课程标准：(1)理解两个集合的并集与交集的含义，能求两个集合的并集与交集．(2)在具体情境中，了解全集的含义．(3)理解在给定集合中一个子集的补集的含义，能求给定子集的补集．(4)能使用Venn图表达集合的基本关系与基本运算，体会图形对理解抽象概念的作用．
第1课时 交集与并集
知识点一 交集
自然语言
一般地，给定两个集合A、B，由既属于集合A又属于集合B的所有元素(即A和B的公共元素)组成的集合，称为A与B的交集
符号语言
A∩B＝{x|x∈A且x∈B}(读作“A交B”)
图形语言
知识点二 并集
自然语言
一般地，给定两个集合A、B，由这两个集合的所有元素组成的集合，称为集合A与B的并集
符号语言
A∪B＝{x|x∈A，或x∈B}(读作“A并B”)
图形语言
1.两个集合的并集、交集还是一个集合．
2．对于A∪B，不能认为是由A的所有元素和B的所有元素所组成的集合，因为A与B可能有公共元素，每一个公共元素只能算一个元素．
3．A∩B是由A与B的所有公共元素组成，而非部分元素组成．
[基础自测]
1．已知集合A＝{0,2}，B＝{－2，－1,0,1,2}，则A∩B＝( )
A．{0,2} B．{1,2}
C．{0} D．{－2，－1,0,1,2}
解析：本题主要考查集合的基本运算．
∵A＝{0,2}，B＝{－2，－1,0,1,2}，∴A∩B＝{0,2}，故选A.
答案：A
2．已知集合M＝{－1,0,1}，N＝{0,1,2}，则M∪N＝( )
A．{－1,0,1} B．{－1,0,1,2}
C．{－1,0,2} D．{0,1}
解析：M∪N表示属于M或属于N的元素组成的集合，故M∪N＝{－1,0,1,2}．
答案：B
3．设集合A＝{1,2}，则满足A∪B＝{1,2,3}的集合B的个数是( )
A．1 B．3
C．4 D．8
解析：因为A＝{1,2}，A∪B＝{1,2,3}．所以B＝{3}或{1,3}或{2,3}或{1,2,3}，故选C.
答案：C
4．设集合A＝{x|2≤x<5}，B＝{x|3x－7≥8－2x}，则A∩B＝________.
解析：∵A＝{x|2≤x<5}，
B＝{x|3x－7≥8－2x}＝{x|x≥3}，
∴A∩B＝{x|3≤x<5}．
答案：{x|3≤x<5}
题型一 交集的运算[经典例题]
例1 (1)已知集合A＝{1,3,5,7}，B＝{2,3,4,5}，则A∩B＝( )
A．{3} B．{5}
C．{3,5} D．{1,2,3,4,5,7}
(2)已知集合A＝{x|x－1≥0}，B＝{0,1,2}，则A∩B＝( )
A．{0} B．{1}
C．{1,2} D．{0,1,2}
【解析】 (1)本题主要考查集合的运算．
由题意得A∩B＝{3,5}，故选C.
找出A、B的公共元素求A∩B.
(2)本题考查集合的运算．
∵A＝{x|x－1≥0}＝{x|x≥1}，B＝{0,1,2}，∴A∩B＝{1,2}，故选C.
先求A，再求A∩B.
【答案】 (1)C (2)C
方法归纳
求交集的基本思路
首先要识别所给集合，其次要化简集合，使集合中的元素明朗化，最后再依据交集的定义写出结果，有时要借助于Venn图或数轴写出交集．借助于数轴时要注意数轴上方“双线”(即公共部分)下面的实数组成了交集．
跟踪训练1 (1)已知集合A＝{x||x|<2}，B＝{－2,0,1,2}，则A∩B＝( )
A．{0,1} B．{－1,0,1}
C．{－2,0,1,2} D．{－1,0,1,2}
(2)若集合A＝{x|－5≤x≤5}，B＝{x|x≤－2或x>3}，则A∩B＝________.
解析：(1)本题主要考查集合的运算．
化简A＝{x|－2<x<2}，∴A∩B＝{0,1}，故选A.
先求A再求A∩B.
(2)在数轴上表示出集合A与B，如下图．
由交集的定义可得A∩B＝{x|－5≤x≤－2或3<x≤5}．
利用数轴求A∩B.
答案：(1)A (2){x|－5≤x≤－2或3<x≤5}
题型二 并集的运算[教材P17例3]
例2 已知区间A＝(－3,1)，B＝[－2,3]，求A∩B，A∪B.
【解析】 在数轴上表示出A和B，如图所示．
由图可知A∩B＝[－2,1)，A∪B＝(－3,3]．
(1)由并集定义A∪B是由A、B中所有元素组成的．
(2)利用数轴求并集更直观.
教材反思
(1)在求两个集合的并集时，它们的公共元素在并集中只能出现一次．
(2)此类题目首先应看清集合中元素的范围，简化集合，若是用列举法表示的数集，可以根据并集的定义直接观察或用Venn图表示出集合运算的结果；若是用描述法表示的数集，可借助数轴分析写出结果，此时要注意当端点不在集合中时，应用“空心点”表示．
跟踪训练2 (1)已知集合A＝{1,3,4,7}，B＝{x|x＝2k＋1，k∈A}，则集合A∪B中元素的个数为________．
(2)已知集合P＝{x|－1<x<1}，Q＝{x|0<x<2}，那么P∪Q＝( )
A．{x|－1<x<2} B．{x|0<x<1}
C．{x|－1<x<0} D．{x|1<x<2}
解析：(1)∵A＝{1,3,4,7}，B＝{x|x＝2k＋1，k∈A}，
∴B＝{3,7,9,15}，
∴A∪B＝{1,3,4,7,9,15}．
∴集合A∪B中元素的个数为6.
(2)因为P＝{x|－1<x<1}，Q＝{x|0<x<2}，画数轴如图，
所以P∪Q＝{x|－1<x<2}．
答案：(1)6 (2)A
(1)找出集合A，B中出现的所有元素，写出A∪B，求元素个数．
(2)画数轴，根据条件确定P∪Q.
题型三 交集、并集性质的运用[经典例题]
例3 已知A＝{x|x2－ax＋a2－19＝0}，B＝{x|x2－5x＋8＝2}，C＝{x|x2＋2x－8＝0}，若∅(A∩B)，且A∩C＝∅，求a的值．
【解析】 A＝{x|x2－ax＋a2－19＝0}，
B＝{2,3}，C＝{－4,2}．
因为∅(A∩B)，且A∩C＝∅，
那么3∈A，故9－3a＋a2－19＝0.
即a2－3a－10＝0.
所以a＝－2或a＝5.
当a＝－2时A＝{x|x2＋2x－15＝0}＝{3，－5}，符合题意．
当a＝5时A＝{x|x2－5x＋6＝0}＝{2,3}，
不符合A∩C＝∅.
综上知，a＝－2.
审结论
(明解题方向)
审条件
(挖解题信息)
求a的值，需建立关于a的方程
(1)集合A，B，C是由相应方程的解构成的，先要解方程求B，C.
(2)由∅(A∩B)，知A∩B≠∅，结合A∩C＝∅，可确定集合A中的元素，建立关于a的方程．
建关系——找解题突破口
∅(A∩B)，A∩C＝∅→确定集合A中的元素→建立关于a的方程→检验集合中元素的互异性.
方法归纳
(1)连续数集求交、并集借助数轴采用数形结合法．
(2)利用A∩B＝A⇔A⊆B，A∪B＝A⇔B⊆A可实现交、并运算与集合间关系的转化．
注意事项：(1)借助数轴求交、并集时注意端点的实虚．
(2)关注Venn图在解决复杂集合关系中的作用．
跟踪训练3 已知集合A＝{x|x<－1或x>4}，B＝{x|2a≤x≤a＋3}，若A∩B＝B，求实数a的取值范围．
解析：①当B＝∅时，只需2a>a＋3，即a>3；
②当B≠∅时，根据题意作出如图所示的数轴，
可得或解得a<－4或2<a≤3.
综上可得，实数a的取值范围为(－∞，－4)∪(2，＋∞)．
由A∩B＝B得B ⊆A，B分2类，B＝∅，B≠∅，再利用数轴求．
课时作业 3
一、选择题
1．已知集合M＝{x|－3<x<1}，N＝{－3，－2，－1,0,1}，则M∩N＝( )
A．{－2，－1,0,1} B．{－3，－2，－1,0}
C．{－2，－1,0} D．{－3，－2，－1}
解析：运用集合的运算求解．
M∩N＝{－2，－1,0}，故选C.
答案：C
2．已知集合A＝{x|x≥－3}，B＝{x|－5≤x≤2}，则A∪B＝( )
A．{x|x≥－5} B．{x|x≤2}
C．{x|－3<x≤2} D．{x|－5≤x≤2}
解析：结合数轴(图略)得A∪B＝{x|x≥－5}．
答案：A
3．设集合A＝{1,2,3,4}，B＝{－1,0,2,3}，C＝{x∈R|－1≤x<2}，则(A∪B)∩C＝( )
A．{－1,1} B．{0,1}
C．{－1,0,1} D．{2,3,4}
解析：本题主要考查集合的运算．
由题意得A∪B＝{1,2,3,4，－1,0}，∴(A∪B)∩C＝{1,2,3,4，－1，0}∩{x∈R|－1≤x<2}＝{－1,0,1}．故选C.
答案：C
4．设集合A＝{x|－1≤x<2}，B＝{x|x<a}，若A∩B≠∅，则a的取值范围是( )
A．a<2 B．a>－2
C．a>－1 D．－1<a≤2
解析：在数轴上表示出集合A，B即可得a的取值范围为a>－1.
答案：C
二、填空题
5．定义A－B＝{x|x∈A，且x∉B}，若M＝{1,2,3,4,5}，N＝{2,3,6}，则N－M＝________.
解析：关键是理解A－B运算的法则，N－M＝{x|x∈N，且x∉M}，所以N－M＝{6}．
答案：{6}
6．设集合A＝{1,2，a}，B＝{1，a2}，若A∩B＝B，则实数a允许取的值有________个．
解析：由题意A∩B＝B知B⊆A，所以a2＝2，a＝±， 或a2＝a，a＝0或a＝1(舍去)，所以a＝±，0，共3个．
答案：3
7．已知集合A＝{x|x≤1}，B＝{x|x≥a}，且A∪B＝R，则实数a的取值范围为________．
解析：由A∪B＝R，得A与B的所有元素应覆盖整个数轴．如图所示：
所以a必须在1的左侧，或与1重合，故a≤1.
答案：(－∞，1]
三、解答题
8．设A＝{x|－1<x<2}，B＝{x|1<x<3}，求A∪B，A∩B.
解析：如图所示：
A∪B＝{x|－1<x<2}∪{x|1<x<3}＝{x|－1<x<3}．
A∩B＝{x|－1<x<2}∩{x|1<x<3}＝{x|1<x<2}．
9．已知A＝{x|a<x≤a＋8}，B＝{x|x<－1，或x>5}．若A∪B＝R，求a的取值范围．
解析：在数轴上标出集合A，B，如图．
要使A∪B＝R，则
解得－3≤a<－1.
综上可知，a的取值范围为－3≤a<－1.
[尖子生题库]
10．集合A＝{x|－1≤x<3}，B＝{x|2x－4≥x－2}．
(1)求A∩B；
(2)若集合C＝{x|2x＋a>0}，满足B∪C＝C，求实数a的取值范围．
解析：(1)∵B＝{x|x≥2}，
∴A∩B＝{x|2≤x<3}．
(2)C＝，
B∪C＝C⇒B⊆C，
∴－<2，∴a>－4.
即a的取值范围为a>－4.
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