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课时作业9 平面向量数乘运算的坐标表示
知识点一 向量数乘运算的坐标表示
1.已知a＝(5，－2)，b＝(－4，－3)，c＝(x，y)，若a－2b＋3c＝0，则c等于( )
A. B.
C. D.
答案 D
解析 ∵c＝(2b－a)＝b－a，
∴(x，y)＝(－4，－3)－(5，－2)
＝＝.故选D.
2．平面内给定三个向量a＝(6,1)，b＝(－2,3)，c＝(2,2)．
(1)求a＋2b－c；
(2)是否存在实数λ，μ，使得c＝λa＋μb?
解 (1)a＋2b－c＝(6,1)＋2(－2,3)－(2,2)＝(0,5)．
(2)假设存在实数λ，μ使得c＝λa＋μb，则(2,2)＝λ(6,1)＋μ(－2,3)⇒⇒即存在实数λ＝μ＝满足等式.
知识点二 向量共线问题
3.下列各组向量中，共线的一组是( )
A．a＝(－2,3)，b＝(4,6)
B．a＝(2,3)，b＝(3,2)
C．a＝(1,2)，b＝(7,14)
D．a＝(－3,2)，b＝(6，－14)
答案 C
解析 －2×6－3×4＝－24≠0，故A错误；2×2－3×3＝－5≠0，故B错误；－3×(－14)－2×6＝30≠0，故D错误；1×14－2×7＝0，故选C.
4．已知向量a＝(2,1)，b＝(x，－2)，若a∥b，则a＋b＝( )
A．(－2，－1) B．(2,1)
C．(3，－1) D．(－3,1)
答案 A
解析 ∵a∥b，∴x＝－4，∴a＋b＝(2,1)＋(－4，－2)＝(－2，－1)，故选A.
5．已知向量a＝(1,2)，b＝(1,0)，c＝(3,4)．若λ为实数，(a＋λb)∥c，则λ＝( )
A. B. C．1 D．2
答案 B
解析 由题意可得a＋λb＝(1＋λ，2)．由(a＋λb)∥c，得(1＋λ)×4－3×2＝0，解得λ＝.
6．已知向量a＝(2,3)，b＝(－1,2)，若ma＋4b与a－2b共线，求m的值．
解 ma＋4b＝(2m,3m)＋(－4,8)＝(2m－4,3m＋8)；
a－2b＝(2,3)－(－2,4)＝(4，－1)，
由题意得4(3m＋8)－(－1)(2m－4)＝0，解得m＝－2.
7．已知＝(6,1)，＝(x，y)，＝(－2，－3)，且∥，试确定x，y的关系式．
解 因为＝(6,1)，＝(x，y)，＝(－2，－3)，
所以＝＋＋＝(6,1)＋(x，y)＋(－2，－3)
＝(4＋x，y－2)．
又因为∥，所以∥.
所以x(y－2)－y(4＋x)＝0，
得xy－2x－4y－xy＝0，故x＋2y＝0.
知识点三 三点共线问题
8.已知A，B，C三点共线，＝－，点A，B的纵坐标分别为2,5，则点C的纵坐标为________．
答案 10
解析 设点C的纵坐标为y，∵A，B，C三点共线，＝－，A，B的纵坐标分别为2,5，
∴2－5＝－(y－2)，∴y＝10.
9．已知＝(1,1)，＝(3，－1)，＝(a，b)．
(1)若A，B，C三点共线，求a，b的关系；
(2)若＝2，求点C的坐标．
解 由题意知，＝－＝(2，－2)，＝－＝(a－1，b－1)．
(1)若A，B，C三点共线，则∥，
即2(b－1)－(－2)×(a－1)＝0，故a＋b＝2.
(2)∵＝2，∴(a－1，b－1)＝(4，－4)，
∴
∴即点C的坐标为(5，－3)．
一、选择题
1．已知向量a＝(2,4)，b＝(－1,1)，则2a－b＝( )
A．(5,7) B．(5,9)
C．(3,7) D．(3,9)
答案 A
解析 因为a＝(2,4)，b＝(－1,1)，所以2a－b＝(2×2－(－1)，2×4－1)＝(5,7)．
2．已知向量a＝(1,2)，b＝(0,1)，设u＝a＋kb，v＝2a－b，若u∥v，则实数k的值为( )
A．－1 B．－
C. D．1
答案 B
解析 因为u＝a＋kb＝(1,2＋k)，v＝2a－b＝(2,3)，u∥v，所以3－2(2＋k)＝0，解得k＝－.
3．在△ABC中，已知A(2,3)，B(6，－4)，G(4，－1)是中线AD上一点，且||＝2||，那么点C的坐标为( )
A．(－4,2) B．(－4，－2)
C．(4，－2) D．(4,2)
答案 C
解析 设C(x，y)，
则有A＝(A＋A)＝.
又|A|＝2|G|，∴A＝A＝.
∵A(2,3)，G(4，－1)，∴A＝(2，－4)，
∴解得故C(4，－2)．
4．已知向量a＝(1,1)，b＝(－1,0)，λa＋μb与a－2b共线，则等于( )
A. B．2
C．－ D．－2
答案 C
解析 λa＋μb＝(λ－μ，λ)，a－2b＝(3,1)．
∵λa＋μb与a－2b共线，
∴λ－μ－3λ＝0，∴μ＝－2λ，故＝－.
5．已知a＝(－2,1－cosθ)，b＝，且a∥b，则锐角θ等于( )
A．45° B．30° C．60° D．15°
答案 A
解析 由a∥b，得－2×－(1－cosθ)(1＋cosθ)＝0，即＝1－cos2θ＝sin2θ，得sinθ＝±，又θ为锐角，∴sinθ＝，∴θ＝45°，故选A.
二、填空题
6．已知向量a＝(－2,3)，b∥a，向量b的起点为A(1,2)，终点B在坐标轴上，则点B的坐标为________．
答案 或
解析 由b∥a，可设b＝λa＝(－2λ，3λ)．设B(x，y)，则＝(x－1，y－2)＝b.由⇒又点B在坐标轴上，则1－2λ＝0或3λ＋2＝0，所以B或.
7．已知向量a＝(，1)，b＝(0，－1)，c＝(k，)．若a－2b与c共线，则k＝________.
答案 1
解析 a－2b＝(，3)．由a－2b与c共线，得＝，解得k＝1.
8．已知△ABC的顶点A(2,3)和重心G(2，－1)，则BC边上的中点的坐标是________．
答案 (2，－3)
解析 设BC边上的中点为D(x，y)，则＝2，
∴解得
三、解答题
9．已知A，B，C三点的坐标分别为(－1,0)，(3，－1)，(1,2)，且＝，＝.
(1)求E，F的坐标；
(2)判断与是否共线．
解 (1)设E(x1，y1)，F(x2，y2)．依题意得＝(2,2)，＝(－2，3)．
由＝可知，(x1＋1，y1)＝(2,2)，
即解得
∴E的坐标为.
由＝可知，(x2－3，y2＋1)＝(－2,3)，
即解得∴F的坐标为.
故E点的坐标为，F点的坐标为.
(2)由(1)可知
＝－＝，
又＝(4，－1)，
∴＝(4，－1)＝，故与共线．
10．设四边形ABCD的四个顶点分别为A(4,8)，B，C(－2，－1)，D，求AC与BD交点M的坐标．
解 设M(x，y)，则＝(x－4，y－8)，＝，＝(x＋2，y＋1)，＝.因为A，M，C共线，有(x－4)(y＋1)＝(x＋2)(y－8)，即3x－2y＋4＝0；因为B，M，D共线，有(x＋1)(y－7)＝，化简为4x＋2y－11＝0，由得
所以点M的坐标为.
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