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课时作业8 平面向量的正交分解及坐标表示平面向量加、减运算的坐标表示
知识点一 平面向量的正交分解及坐标表示
1.给出下列几种说法：
①相等向量的坐标相同；
②平面上一个向量对应于平面上唯一的坐标；
③一个坐标对应唯一的一个向量；
④平面上一个点与以原点为始点，该点为终点的向量一一对应．
其中正确说法的个数是( )
A．1 B．2 C．3 D．4
答案 C
解析 由向量坐标的定义不难看出一个坐标可对应无数个相等的向量，故③错误．
2．如下图，向量a，b，c的坐标分别是________、________、________.
答案 (－4,0) (0,6) (－2，－5)
解析 解法一：将各向量向基底所在直线分解．
a＝－4i＋0j，∴a＝(－4,0)，
b＝0i＋6j，∴b＝(0,6)，
c＝－2i－5j，∴c＝(－2，－5)．
解法二：根据一个向量的坐标等于向量终点的坐标减去始点的坐标，知a＝(－6,2)－(－2,2)＝(－4,0)；b＝(2,6)－(2,0)＝(0,6)；c＝(－3，－6)－(－1，－1)＝(－2，－5)．
3．在平面直角坐标系中，点A(2,3)，B(－3,4)，如图所示，x轴、y轴正方向上的两个单位向量分别为i和j，则下列说法正确的是________(只填序号)．
①＝2i＋3j；②＝3i＋4j；③＝－5i＋j；
④＝5i－j.
答案 ①③④
解析 i，j互相垂直，故可作为基底，由平面向量基本定理，有＝2i＋3j，＝－3i＋4j，＝－＝－5i＋j，＝－＝5i－j，故①③④正确.
知识点二 平面向量加、减运算的坐标表示
4.如果用i，j分别表示x轴和y轴方向上的单位向量，且A(2,3)，B(4,2)，则A可以表示为( )
A．2i＋3j B．4i＋2j
C．2i－j D．－2i＋j
答案 C
解析 记O为坐标原点，则＝2i＋3j，＝4i＋2j，所以＝－＝2i－j.
5．在平行四边形ABCD中，AC为一条对角线．若＝(2,4)，＝(1,3)，则B等于( )
A．(－2，－4) B．(－3，－5)
C．(3,5) D．(2,4)
答案 B
解析 ∵＝＋，∴＝－＝(－1，－1)，∴＝－＝(－3，－5)，故选B.
知识点三 平面向量加、减坐标运算的应用
6.设i，j是平面直角坐标系内分别与x轴、y轴方向相同的两个单位向量，且＝4i＋2j，＝3i＋4j，O＝A，则C点的坐标为( )
A．(－2,1) B．(1，－2)
C．(2，－1) D．(－1,2)
答案 D
解析 由题意可知A(4,2)，B(3,4)，A＝O－O＝－i＋2j.∵O＝A，∴O＝－i＋2j，∴C(－1,2)．
7．已知平面上三个点的坐标为A(3,7)，B(4,6)，C(1，－2)，求点D的坐标，使得这四个点为构成平行四边形的四个顶点．
解 设点D的坐标为(x，y)，
①当平行四边形为ABCD时，＝，
∴(4,6)－(3,7)＝(1，－2)－(x，y)，
∴∴∴D(0，－1)；
②当平行四边形为ABDC时，同①可得D(2，－3)；
③当平行四边形为ADBC时，同①可得D(6,15)．
综上所述，点D的坐标可能为(0，－1)或(2，－3)或(6,15)．
一、选择题
1．已知＝(－2,4)，＝(2,6)，则＝( )
A．(0,5) B．(4,2)
C．(2,5) D．(2,1)
答案 B
解析 ＝－＝(2,6)－(－2,4)＝(4,2)，故选B.
2．已知＝(－2,4)，则下面说法正确的是( )
A．A点的坐标是(－2,4)
B．B点的坐标是(－2,4)
C．当B是原点时，A点的坐标是(－2,4)
D．当A是原点时，B点的坐标是(－2,4)
答案 D
解析 由任一向量的坐标的定义可知，当A点是原点时，B点的坐标是(－2,4)．
3．若向量a＝(x＋3，x2－3x－4)与相等，已知A(1,2)和B(3,2)，则x的值为( )
A．－1 B．－1或4
C．4 D．1或－4
答案 A
解析 ＝(2,0)，由于向量a与A相等，
所以解得x＝－1.
4．已知点A(0,1)，B(3,2)，向量＝(－4，－3)，则向量＝( )
A．(－7，－4) B．(7,4)
C．(－1,4) D．(1,4)
答案 A
解析 设C(x，y)，∵A(0,1)，＝(－4，－3)，
∴
解得∴C(－4，－2)，又B(3,2)，
∴＝(－7，－4)．
5．已知平面向量a＝(x,1)，b＝(－x，x2)，则a＋b( )
A．平行于x轴
B．平行于第一、三象限的角平分线
C．平行于y轴
D．平行于第二、四象限的角平分线
答案 C
解析 因为a＋b＝(0,1＋x2)，所以a＋b平行于y轴．
二、填空题
6．在平面直角坐标系内，已知i，j是两个互相垂直的单位向量，若a＝i－2j，则向量a用坐标表示为________．
答案 (1，－2)
解析 不妨设i＝(1,0)，j＝(0,1)，则a＝(1，－2)．
7．已知O是坐标原点，点A在第一象限，||＝4，∠xOA＝60°，则的坐标为________．
答案 (2，6)
解析 设点A(x，y)，则x＝||cos60°＝4cos60°＝2.y＝||sin60°＝4sin60°＝6.
即A(2，6)，∴＝(2，6)．
8．如图，在正方形ABCD中，O为中心，且＝(－1，－1)，则＝________；＝________；＝________.
答案 (1，－1) (1,1) (－1,1)
解析 根据题意，知点A与点B关于y轴对称，与点C关于原点对称，与点D关于x轴对称，又＝(－1，－1)，O为坐标原点，
∴A(－1，－1)，∴B(1，－1)，C(1,1)，D(－1,1)，
∴＝(1，－1)，＝(1,1)，＝(－1,1)．
三、解答题
9．已知a＋b＝(2，－8)，a－b＝(－8,16)，求a和b.
解 设a＝(m，n)，b＝(p，q)，
则有解得
所以a＝(－3,4)，b＝(5，－12)．
10．已知点A(2,2)，B(－2,2)，C(4,6)，D(－5,6)，E(－2，－2)，F(－5，－6)．在平面直角坐标系中，分别作出向量，，，并求向量，，E的坐标．
解 如图，描出点A(2,2)，B(－2,2)，C(4,6)，D(－5，6)，E(－2，－2)，F(－5，－6)，
分别作出向量，，.
易知＝(2,4)，＝(－3,4)，＝(－3，－4)．
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