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课时作业7 平面向量基本定理
知识点一 基底的概念
1.下面三种说法中，正确的是( )
①一个平面内只有一对不共线向量可作为表示该平面所有向量的基底；②一个平面内有无数多对不共线向量可作为该平面所有向量的基底；③零向量不可作为基底中的向量．
A．①② B．②③
C．①③ D．①②③
答案 B
解析 只要平面内一对向量不共线，就可以作为该平面向量的一组基底，故①不正确，②正确；因为零向量与任意一个向量平行，所以③正确，故选B.
2．已知e1与e2不共线，a＝e1＋2e2，b＝λe1＋e2，且a与b是一组基底，则实数λ的取值范围是________．
答案 λ≠
解析 考虑向量a，b共线，则有λ＝，故当λ≠时，向量a，b不共线，可作为一组基底.
知识点二 用基底表示向量
3.已知平行四边形ABCD中，E为CD的中点，＝y，＝x，其中x，y∈R，且均不为0.若∥，则＝________.
答案
解析 因为＝－＝x－y，由∥，可设＝λ，即x－y＝λ(－)＝λ＝－＋λ，
所以则＝.
4．已知e1，e2是平面内两个不共线的向量，a＝3e1－2e2，b＝－2e1＋e2，c＝7e1－4e2，试用向量a和b表示c.
解 因为a，b不共线，所以可设c＝xa＋yb.
则xa＋yb＝x(3e1－2e2)＋y(－2e1＋e2)
＝(3x－2y)e1＋(－2x＋y)e2＝7e1－4e2.
又因为e1，e2不共线，
所以解得所以c＝a－2b.
5．在▱ABCD中，设＝a，＝b，试用a，b表示，.
解 解法一：(转化法)
如图，设AC，BD交于点O，
则有＝＝＝a，
＝＝＝b.
∴＝＋＝－＝a－b，
＝＋＝b＋a.
解法二：(方程思想)
设＝x，＝y，则有
＋＝，－＝且＝＝y，
即∴x＝a－b，y＝a＋b，
即＝a－b，＝a＋b.
6．如图所示，已知E，F分别是矩形ABCD的边BC，CD的中点，EF与AC交于点G，若＝a，＝b，用a，b表示A.
解 易知＝，＝，设＝λ，则
由平行四边形法则，
得＝λ(＋)＝2λ＋2λ.
由于E，G，F三点共线，则2λ＋2λ＝1，故λ＝.
从而＝，＝＝(a＋b).
知识点三 平面向量基本定理的应用
7.设e1，e2是平面内的一组基底，如果＝3e1－2e2，＝4e1＋e2，＝8e1－9e2，求证：A，B，D三点共线．
证明 ∵＝3e1－2e2，
＝＋＋＝15e1－10e2＝5(3e1－2e2)＝5，即＝5，∴与共线，
又与有公共点A，∴A，B，D三点共线．
8．用向量法证明三角形的三条中线交于一点．
证明 如图，设D，E，F分别是△ABC的三边BC，AC，AB的中点，
令＝a，＝b为基底，
则＝a－b，＝a－b，
＝－a＋b，
设AD与BE交于点G，且＝
λ，＝μ，
则有＝λa－b，＝－a＋μb.
又有＝＋＝a＋(μ－1)b，
∴解得λ＝μ＝.
∴＝a－b，＝＋＝－a＋a－b
＝－a－b＝×(－a－b)．
而＝(－a－b)，∴＝.
∴点G∈CF.∴三角形三条中线交于一点．
一、选择题
1．在△ABC中，点D在BC边上，且＝2，设＝a，＝b，则可用基底a，b表示为( )
A.(a＋b) B.a＋b
C.a＋b D.(a＋b)
答案 C
解析 因为＝2，所以＝.
所以＝＋＝＋＝＋(－)＝＋＝a＋b.
2．如果a与b是一组基底，则下列不能作为基底的是( )
A．a＋b与a－b B．a＋2b与2a＋b
C．a＋b与－a－b D．a与－b
答案 C
解析 由已知，a与b不共线，根据平行四边形法则，可知A，B，D选项中的两个向量都可以作为基底，而a＋b与－a－b共线，不能作为基底．
3．若＝a，＝b，＝λ(λ≠－1)，则O等于( )
A．a＋λb B．λa＋(1－λ)b
C．λa＋b D.a＋b
答案 D
解析 ∵＝λ，∴－＝λ(－)，∴(1＋λ)＝＋λ，∴＝＋·＝a＋b.故选D.
4．已知|a|＝1，|b|＝2，c＝a＋b，c⊥a，则a与b的夹角为( )
A. B. C. D.
答案 D
解析 如图所示，在四边形ABCD中，＝a，＝b，＝c，∵c＝a＋b，∴四边形ABCD为平行四边形，∵c⊥a，∴△ACD为直角三角形，又||＝1，||＝2，∴θ＝，所以a与b的夹角为.
5．如图，在四边形ABCD中，＝，E为BC的中点，且＝x＋y，则3x－2y＝( )
A. B. C．1 D．2
答案 C
解析 由题意，得＝＋＝＋＝＋(－＋＋)＝＋＝＋.∵＝x＋y，∴x＋y＝＋.∵与不共线，∴由平面向量基本定理，得∴3x－2y＝3×－2×＝1.故选C.
二、填空题
6．如图，在平行四边形ABCD中，＝a，＝b，M是DC的中点，以a，b为基底表示向量，则＝________.
答案 b＋a
解析 ＝＋＝＋＝＋＝b＋a.
7．已知A，B，C为圆O上的三点，若＝(＋)，则A与A的夹角为________．
答案 90°
解析 ∵＝(＋)，∴O为BC的中点．
则BC是⊙O的直径，∴∠BAC＝90°.
故与的夹角为90°.
8．如图，在△ABC中，＝，P是BN上的一点，若＝m＋，则实数m的值为________．
答案
解析 设＝k，则＝＋＝＋k＝＋k(－)＝＋k＝(1－k)＋，又＝m＋，
所以1－k＝m，＝，解得k＝，m＝.
三、解答题
9．如图所示，已知△AOB中，点C是点B关于点A的对称点，＝2，DC和OA交于点E，设＝a，＝b.
(1)用a和b表示向量，；
(2)若＝λ，求实数λ的值．
解 (1)由题意，知A是BC的中点，且＝，
由平行四边形法则，知＋＝2.
∴＝2－＝2a－b，
＝－＝(2a－b)－b＝2a－b.
(2)∵∥，
又＝－＝(2a－b)－λa＝(2－λ)a－b，
＝2a－b，
∴＝，∴λ＝.
10．如图所示，在△ABO中，＝，＝，AD与BC相交于点M.设＝a，＝b.
(1)试用向量a，b表示；
(2)在线段AC上取点E，在线段BD上取点F，使EF过点M，设＝λ，＝μ，求证：＋＝7.
解 (1)不妨设＝ma＋nb，一方面，由于A，D，M三点共线，则存在α(α≠－1)使得＝α，于是＝，又＝，所以＝＝a＋b，则即m＋2n＝1；①
另一方面，由于B，C，M三点共线，则存在β(β≠－1)使得＝β，于是＝，
又＝，
所以＝＝a＋b，
则即4m＋n＝1.②
由①②可得m＝，n＝，所以＝a＋b.
(2)证明：由于E，M，F三点共线，所以存在实数η(η≠－1)使得＝η，于是＝，又＝λ，＝μ，所以＝＝a＋b，于是a＋b＝a＋b，从而消去η即得＋＝7.
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