1、课时作业7平面向量基本定理知识点一 基底的概念1.下面三种说法中，正确的是()一个平面内只有一对不共线向量可作为表示该平面所有向量的基底；一个平面内有无数多对不共线向量可作为该平面所有向量的基底；零向量不可作为基底中的向量A BC D答案B解析只要平面内一对向量不共线，就可以作为该平面向量的一组基底，故不正确，正确；因为零向量与任意一个向量平行，所以正确，故选B.2已知e1与e2不共线，ae12e2，be1e2，且a与b是一组基底，则实数的取值范围是_答案解析考虑向量a，b共线，则有，故当时，向量a，b不共线，可作为一组基底.知识点二 用基底表示向量3.已知平行四边形ABCD中，E为CD的中点
2、，y，x，其中x，yR，且均不为0.若，则_.答案解析因为xy，由，可设，即xy()，所以则.4已知e1，e2是平面内两个不共线的向量，a3e12e2，b2e1e2，c7e14e2，试用向量a和b表示c.解因为a，b不共线，所以可设cxayb.则xaybx(3e12e2)y(2e1e2)(3x2y)e1(2xy)e27e14e2.又因为e1，e2不共线，所以解得所以ca2b.5在ABCD中，设a，b，试用a，b表示，.解解法一：(转化法)如图，设AC，BD交于点O，则有a，b.ab，ba.解法二：(方程思想)设x，y，则有，且y，即xab，yab，即ab，ab.6如图所示，已知E，F分别是矩形
3、ABCD的边BC，CD的中点，EF与AC交于点G，若a，b，用a，b表示A.解易知，设，则由平行四边形法则，得()22.由于E，G，F三点共线，则221，故.从而，(ab).知识点三 平面向量基本定理的应用7.设e1，e2是平面内的一组基底，如果3e12e2，4e1e2，8e19e2，求证：A，B，D三点共线证明3e12e2，15e110e25(3e12e2)5，即5，与共线，又与有公共点A，A，B，D三点共线8用向量法证明三角形的三条中线交于一点证明如图，设D，E，F分别是ABC的三边BC，AC，AB的中点，令a，b为基底，则ab，ab，ab，设AD与BE交于点G，且，则有ab，ab.又有a
4、(1)b，解得.ab，aabab(ab)而(ab)，.点GCF.三角形三条中线交于一点一、选择题1在ABC中，点D在BC边上，且2，设a，b，则可用基底a，b表示为()A.(ab) B.abC.ab D.(ab)答案C解析因为2，所以.所以()ab.2如果a与b是一组基底，则下列不能作为基底的是()Aab与ab Ba2b与2abCab与ab Da与b答案C解析由已知，a与b不共线，根据平行四边形法则，可知A，B，D选项中的两个向量都可以作为基底，而ab与ab共线，不能作为基底3若a，b，(1)，则O等于()Aab Ba(1)bCab D.ab答案D解析，()，(1)，ab.故选D.4已知|a|
5、1，|b|2，cab，ca，则a与b的夹角为()A. B. C. D.答案D解析如图所示，在四边形ABCD中，a，b，c，cab，四边形ABCD为平行四边形，ca，ACD为直角三角形，又|1，|2，所以a与b的夹角为.5如图，在四边形ABCD中，E为BC的中点，且xy，则3x2y()A. B. C1 D2答案C解析由题意，得().xy，xy.与不共线，由平面向量基本定理，得3x2y321.故选C.二、填空题6如图，在平行四边形ABCD中，a，b，M是DC的中点，以a，b为基底表示向量，则_.答案ba解析ba.7已知A，B，C为圆O上的三点，若()，则A与A的夹角为_答案90解析()，O为BC的
6、中点则BC是O的直径，BAC90.故与的夹角为90.8如图，在ABC中，P是BN上的一点，若m，则实数m的值为_答案解析设k，则kk()k(1k)，又m，所以1km，解得k，m.三、解答题9如图所示，已知AOB中，点C是点B关于点A的对称点，2，DC和OA交于点E，设a，b.(1)用a和b表示向量，；(2)若，求实数的值解(1)由题意，知A是BC的中点，且，由平行四边形法则，知2.22ab，(2ab)b2ab.(2)，又(2ab)a(2)ab，2ab，.10如图所示，在ABO中，AD与BC相交于点M.设a，b.(1)试用向量a，b表示；(2)在线段AC上取点E，在线段BD上取点F，使EF过点M，设，求证：7.解(1)不妨设manb，一方面，由于A，D，M三点共线，则存在(1)使得，于是，又，所以ab，则即m2n1；另一方面，由于B，C，M三点共线，则存在(1)使得，于是，又，所以ab，则即4mn1.由可得m，n，所以ab.(2)证明：由于E，M，F三点共线，所以存在实数(1)使得，于是，又，所以ab，于是abab，从而消去即得7.- 9 -
浙ICP备2021020529号-1 | 浙B2-20240490 
