资源描述
课时作业5 向量的数量积(1)
知识点一 向量夹角的概念
1.已知|a|＝|b|＝3，且a与b的夹角为80°，则a＋b与a－b的夹角是________．
答案 90°
解析 如图，作向量＝a，＝b，以OA，OB为邻边作平行四边形，则四边形OACB为菱形．
∵＝a＋b，
＝－＝a－b，
⊥，∴a＋b与a－b的夹角为90°.
2．在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，||＝，||＝1，则A与C的夹角θ＝________.
答案 120°
解析 在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝，CB＝1，
所以tan∠ACB＝＝，
所以∠ACB＝60°，即与的夹角为60°，
所以与的夹角为120°.
知识点二 平面向量数量积的定义
3.若向量a，b满足|a|＝|b|＝1，a与b的夹角为60°，则a·b等于( )
A. B.
C．1＋ D．2
答案 A
解析 a·b＝|a||b|cos60°＝1×1×＝.
4．已知两个单位向量e1，e2的夹角为，若向量b1＝e1－2e2，b2＝3e1＋4e2，则b1·b2＝________.
答案 －6
解析 由题设知|e1|＝|e2|＝1且e1·e2＝，所以b1·b2＝(e1－2e2)·(3e1＋4e2)＝3e－2e1·e2－8e＝3－2×－8＝－6.
知识点三 投影向量
5.已知等边△ABC的边长为2，则向量在向量方向上的投影向量为( )
A．－ B.
C．2 D．2
答案 A
解析 在等边△ABC中，∵∠A＝60°，∴向量在向量方向上的投影向量为，∴向量在向量方向上的投影向量为－.故选A.
6．若|a|＝2，|b|＝4，向量a与向量b的夹角为120°，记向量a在向量b方向上的投影向量为γ，则|γ|＝( )
A．4 B．3
C．2 D．1
答案 D
解析 设向量a与向量b的夹角为θ，与b方向相同的单位向量为e，则a在b方向上的投影向量γ＝|a|cosθ·e，则|γ|＝||a|cosθ|＝|2×cos120°|＝1，故选D.
7．已知|a|＝4，e为单位向量，a与e的夹角为，则e在a方向上的投影向量的模为________．
答案
解析 ∵a与e的夹角θ＝，∴e在a方向上的投影向量的模为||e|·cosθ|＝.
知识点四 平面向量数量积的性质及运算律
8.给出以下结论：①0·a＝0；②a·b＝b·a；③a2＝|a|2；④(a·b)·c＝a·(b·c)；⑤|a·b|≤a·b.其中正确结论的个数为( )
A．1 B．2
C．3 D．4
答案 C
解析 ①②③显然正确；(a·b)·c与c共线，而a·(b·c)与a共线，故④错误；|a·b|＝|a|b||cosθ|，a·b＝|a||b|cosθ，有|a·b|≥a·b，故⑤错误．
9．若|a|＝1，|b|＝2，则|a·b|的值不可能是( )
A．0 B.
C．2 D．3
答案 D
解析 由向量内积性质知|a·b|≤|a||b|＝2.故选D.
10．如图所示，在△ABC中，D是BC的中点，E，F是AD上的两个三等分点，·＝4，·＝－1，则·的值是________．
答案
解析 设＝a，＝b，则·＝(a＋3b)·(－a＋3b)＝9|b|2－|a|2＝4，·＝(a＋b)·(－a＋b)＝|b|2－|a|2＝－1，解得|a|2＝，|b|2＝，则·＝(a＋2b)·(－a＋2b)＝4|b|2－|a|2＝.
知识点五 平面向量数量积的应用
11.若向量a与b的夹角为60°，|b|＝4，(a＋2b)·(a－3b)＝－72，则向量a的模为( )
A．2 B．4
C．6 D．12
答案 C
解析 ∵a·b＝|a||b|cos60°＝2|a|，∴(a＋2b)·(a－3b)＝|a|2－6|b|2－a·b＝|a|2－2|a|－96＝－72.∴|a|＝6.故选C.
12．如图，在△ABC中，AD⊥AB，＝，||＝1，则·＝( )
A．2 B.
C. D.
答案 D
解析 设||＝x，则||＝x，·＝(＋)·＝·＝||||cos∠ADB＝x·1·＝.
13．设四边形ABCD为平行四边形，||＝6，||＝4.若点M，N满足＝3，＝2，则·＝( )
A．20 B．15
C．9 D．6
答案 C
解析 如图所示，由题设知：
＝＋＝＋，
＝－，
所以·＝·
＝||2－||2＋·－·
＝×36－×16＝9.
易错点 求夹角时忽略向量的方向致误
14.已知非零向量a，b，c满足a＋b＋c＝0，向量a，b的夹角为120°，且|b|＝2|a|，则向量b与c的夹角为________．
易错分析 本题出错的原因是确定向量夹角时未考察向量的方向，简单认为角B即为向量b与c的夹角．
答案 150°
正解 由题意画出图形，如图，
因为a，b的夹角为120°，
所以∠CAB＝60°，
又|b|＝2|a|，
所以∠ACB＝90°，
所以∠ABC＝30°，
则b与c的夹角为150°.
一、选择题
1．向量a的模为10，它与向量b的夹角为150°，则它在b方向上的投影向量的模为( )
A．－5 B．5
C．－5 D．5
答案 D
解析 a在b方向上的投影向量的模为||a|·cos150°|＝5.
2．如图所示，在Rt△ABC中，∠A＝90°，AB＝1，则·B的值为( )
A．1 B．－1
C．2 D．－2
答案 B
解析 ·＝·(－)＝·－2＝－||2＝－1.
3．已知a⊥b，|a|＝2，|b|＝3，且3a＋2b与λa－b垂直，则λ等于( )
A. B．－
C．± D．1
答案 A
解析 ∵(3a＋2b)·(λa－b)＝3λa2＋(2λ－3)a·b－2b2＝3λa2－2b2＝12λ－18＝0，∴λ＝.故选A.
4．设a，b，c是任意的非零向量，且互不共线，给出以下命题：
①(a·b)·c－(c·a)·b＝0；
②(b·c)·a－(c·a)·b不与c垂直；
③(3a＋2b)·(3a－2b)＝9|a|2－4|b|2.
其中为正确命题的是( )
A．①② B．①③
C．②③ D．③
答案 D
解析 (a·b)·c表示与向量c共线的向量，(c·a)·b表示与向量b共线的向量，而b，c不共线，所以①错误；[(b·c)·a－(c·a)·b]·c＝0，即(b·c)·a－(c·a)·b与c垂直，故②错误；显然③正确．
5．对任意平面向量a，b，下列关系式中不恒成立的是( )
A．|a·b|≤|a||b|
B．|a－b|≤||a|－|b||
C．(a＋b)2＝|a＋b|2
D．(a＋b)·(a－b)＝a2－b2
答案 B
解析 设向量a，b的夹角为θ，∵|a·b|＝|a||b|·|cosθ|≤|a||b|，∴A正确；∵当向量a，b反向时，|a－b|≥||a|－|b||，∴B错误；由向量的平方等于向量模的平方可知C正确；根据向量的运算法则，可推导出(a＋b)·(a－b)＝a2－b2，故D正确．
二、填空题
6．已知e为一单位向量，a与e之间的夹角是120°，而a在e方向上的投影向量的模长为2，则|a|＝________.
答案 4
解析 因为||a|·cos 120°|＝2，所以|a|＝2，所以|a|＝4.
7．在△ABC中，M是BC的中点，AM＝3，BC＝10，则·＝________.
答案 －16
解析 ＝－＝－，＝＋＝＋，∴·＝·＝2－2＝9－×100＝－16.
8．已知a，b，c为单位向量，且满足3a＋λb＋7c＝0，a与b的夹角为，则实数λ＝________.
答案 －8或5
解析 由3a＋λb＋7c＝0，可得7c＝－(3a＋λb)，即49c2＝9a2＋λ2b2＋6λa·b，而a，b，c为单位向量，则a2＝b2＝c2＝1，则49＝9＋λ2＋6λcos，即λ2＋3λ－40＝0，解得λ＝－8或λ＝5.
三、解答题
9．(1)已知|a|＝3，|b|＝6，当①a∥b，②a⊥b，③a与b的夹角是60°时，分别求a·b；
(2)在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝5，AC＝4，求·.
解 (1)①当a∥b时，
若a与b同向，则它们的夹角θ＝0°，
∴a·b＝|a||b|cos0°＝3×6×1＝18.
若a与b反向，则它们的夹角θ＝180°，
∴a·b＝|a||b|cos180°＝3×6×(－1)＝－18.
②当a⊥b时，它们的夹角θ＝90°，
∴a·b＝0.
③当a与b的夹角是60°时，
有a·b＝|a||b|cos60°＝3×6×＝9.
(2)在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝5，AC＝4，
故BC＝3，且cos∠ABC＝，
与的夹角θ＝180°－∠ABC，
∴·＝－||||cos∠ABC＝－5×3×＝－9.
10．设向量a，b满足|a|＝1，|b|＝1，且a与b具有关系|ka＋b|＝|a－kb|(k>0)．
(1)a与b能垂直吗？
(2)若a与b的夹角为60°，求k的值．
解 (1)因为|ka＋b|＝|a－kb|，
所以(ka＋b)2＝3(a－kb)2，
又因为|a|＝|b|＝1，
所以k2＋1＋2ka·b＝3(1＋k2－2ka·b)，
所以a·b＝.
因为k2＋1≠0，
所以a·b≠0，即a与b不垂直．
(2)因为a与b的夹角为60°，且|a|＝|b|＝1，
所以a·b＝|a||b|cos60°＝.
所以＝.
所以k＝1.
- 9 -
展开阅读全文
浙ICP备2021020529号-1 | 浙B2-20240490 
