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课时作业6 向量的数量积(2)
知识点一 夹角问题
1.已知a，b均为单位向量，(2a＋b)·(a－2b)＝－，则a与b的夹角为( )
A．30° B．45° C．135° D．150°
答案 A
解析 ∵(2a＋b)·(a－2b)＝2a2－4a·b＋a·b－2b2＝－3a·b＝－，∴a·b＝.
设a与b的夹角为θ，则cosθ＝＝.
又∵θ∈[0°，180°]，∴θ＝30°.
2．若非零向量a，b满足|a|＝|b|，(2a＋b)·b＝0，则a与b的夹角为( )
A．30° B．60° C．120° D．150°
答案 C
解析 设θ为a与b的夹角，∵(2a＋b)·b＝0，
∴2a·b＋b2＝0，∴2|a||b|cosθ＋|b|2＝0.
又∵|a|＝|b|≠0，∴cosθ＝－，
∵θ∈[0°，180°]，∴θ＝120°.
3．已知|a|＝|b|＝2，(a＋2b)·(a－b)＝－2，则a与b的夹角为________．
答案
解析 设a与b的夹角为θ，θ∈[0，π]，由(a＋2b)·(a－b)＝－2，得|a|2＋a·b－2|b|2＝4＋2×2×cosθ－2×4＝－2，解得cosθ＝，所以θ＝.
知识点二 模及长度问题
4.已知a·b＝－12，|a|＝4，a与b的夹角为135°，则|b|＝( )
A．12 B．3 C．6 D．3
答案 C
解析 a·b＝|a||b|cos135°＝－12，又|a|＝4，解得|b|＝6.
5．已知平面向量a，b满足|a|＝，|b|＝2，a·b＝－3，则|a＋2b|＝( )
A．1 B. C．4＋ D．2
答案 B
解析 根据题意，得|a＋2b|＝＝.故选B.
6．已知|p|＝2，|q|＝3，p，q的夹角为，则以a＝5p＋2q，b＝p－3q为邻边的平行四边形的一条对角线的长度为( )
A．15 B. C．14 D．16
答案 A
解析 以a，b为邻边的平行四边形的对角线有两条，分别为a＋b，a－b，从而
|a＋b|＝|6p－q|＝
＝
＝＝15.
|a－b|＝|4p＋5q|＝
＝
＝.故选A.
7．已知向量a与b的夹角为120°，且|a|＝4，|b|＝2，
求：(1)|a＋b|；
(2)|3a－4b|.
解 由已知得a·b＝4×2×cos120°＝－4，
a2＝|a|2＝16，b2＝|b|2＝4.
(1)因为|a＋b|2＝(a＋b)2
＝a2＋2a·b＋b2
＝16＋2×(－4)＋4＝12，
所以|a＋b|＝2.
(2)因为|3a－4b|2＝(3a－4b)2
＝9a2－24a·b＋16b2
＝9×16－24×(－4)＋16×4＝304，
所以|3a－4b|＝4.
8．已知a，b均是非零向量，设a与b的夹角为θ，是否存在这样的θ，使|a＋b|＝|a－b|成立？若存在，求出θ的值；若不存在，请说明理由．
解 假设存在满足条件的θ.
∵|a＋b|＝|a－b|，
∴(a＋b)2＝3(a－b)2.
∴|a|2＋2a·b＋|b|2＝3(|a|2－2a·b＋|b|2)．
∴|a|2－4a·b＋|b|2＝0.
∴|a|2－4|a||b|cosθ＋|b|2＝0.
∴解得cosθ∈.
又∵θ∈[0，π]，∴θ∈.
故当θ∈时，|a＋b|＝|a－b|成立.
知识点三 垂直问题
9.若|a|＝|b|＝1，a⊥b，且(2a＋3b)⊥(ka－4b)，则k＝( )
A．－6 B．6 C．3 D．－3
答案 B
解析 由题意，得(2a＋3b)·(ka－4b)＝2k|a|2＋(3k－8)a·b－12|b|2＝0，由于a⊥b，故a·b＝0，又|a|＝|b|＝1，于是2k－12＝0，解得k＝6.
10．已知|a|＝3，|b|＝2，a与b的夹角为60°，c＝3a＋5b，d＝ma－3b.
(1)当m为何值时，c与d垂直？
(2)当m为何值时，c与d共线？
解 (1)由向量c与d垂直，得c·d＝0，而c·d＝(3a＋5b)·(ma－3b)＝3ma2＋(5m－9)a·b－15b2＝27m＋3(5m－9)－60＝42m－87＝0，
∴m＝，即当m＝时，c与d垂直．
(2)由c与d共线得，存在实数λ，使得c＝λd，
∴3a＋5b＝λ(ma－3b)，即3a＋5b＝λma－3λb，
又∵a与b不共线，∴解得
即当m＝－时，c与d共线．
一、选择题
1．若|a|＝1，|b|＝2，c＝a＋b且c⊥a，则向量a与b的夹角为( )
A．30° B．60°
C．120° D．150°
答案 C
解析 由c⊥a，得a·c＝0，又c＝a＋b，所以a·c＝a·(a＋b)＝0，即a2＋a·b＝0.设向量a与b的夹角为θ，则cosθ＝＝＝－，因为θ∈[0°，180°]，所以θ＝120°，即向量a与b的夹角为120°.故选C.
2．在△ABC中，M是BC的中点，AM＝1，点P在AM上且满足＝2，则·(＋)等于( )
A．－ B.
C．－ D.
答案 C
解析 由题意可知，||＝＝，||＝＝.根据向量的加法，知＋＝2，则·(＋)＝2||·||cos180°＝2×××(－1)＝－.
3．已知向量a，b的夹角为120°，|a|＝|b|＝1，c与a＋b同向，则|a－c|的最小值为( )
A．1 B. C. D.
答案 D
解析 ∵|a|＝|b|＝1，c与a＋b同向，
∴a与c的夹角为60°.
又|a－c|＝＝
＝ ，故|a－c|min＝.
4．点O是△ABC所在平面内一点，且满足OA·＝·＝·，则点O是△ABC的( )
A．重心 B．垂心 C．内心 D．外心
答案 B
解析 因为·＝·，
所以·(－)＝0，
即·＝0，则⊥.
同理⊥，⊥.
所以O是△ABC的垂心．
5．已知同一平面内的向量a，b，c，两两所成的角相等，并且|a|＝1，|b|＝2，|c|＝3，则向量a＋b＋c的长度为( )
A．6 B. C．6或 D．6或
答案 C
解析 ①当向量a，b，c共线且同向时，它们两两所成的角均为0°，所以|a＋b＋c|＝|a|＋|b|＋|c|＝6；
②当向量a，b，c不共线时，易知a，b，c都为非零向量．
设a，b，c两两所成的角均为θ，则3θ＝360°，
即θ＝120°，所以a·b＝|a||b|cos120°＝－1.
同理b·c＝－3，c·a＝－.
又|a＋b＋c|2＝a2＋b2＋c2＋2a·b＋2b·c＋2c·a＝3，
故|a＋b＋c|＝.
综上所述，向量a＋b＋c的长度为6或.
二、填空题
6．已知单位向量e1，e2的夹角为α，且cosα＝，若向量a＝3e1－2e2，则|a|＝________.
答案 3
解析 因为a2＝(3e1－2e2)2＝9－2×3×2×cosα＋4＝9，所以|a|＝3.
7．如图所示，在△ABC中，∠C＝90°，且AC＝BC＝4，点M满足＝3，则·＝________.
答案 4
解析 ·＝·＝·＝(－)·＝2＝4.
8．已知向量⊥，||＝3，则·＝________.
答案 9
解析 因为⊥，所以·＝0.
又因为||＝3，所以·＝·(＋)＝||2＋·＝||2＝32＝9.
三、解答题
9．已知a，b都是非零向量，且a＋3b与7a－5b垂直，a－4b与7a－2b垂直，求a与b的夹角θ.
解 ∵a＋3b与7a－5b垂直，
∴(a＋3b)·(7a－5b)＝0，
即7a2＋16a·b－15b2＝0.①
∵a－4b与7a－2b垂直，
∴(a－4b)·(7a－2b)＝0，
即7a2－30a·b＋8b2＝0.②
①－②，整理得2a·b＝b2.③
将③代入①，得a2＝b2，∴|a|＝|b|，
∴cosθ＝＝＝，
∵0°≤θ≤180°，∴θ＝60°.
10．已知|a|＝4，|b|＝3，(2a－3b)·(2a＋b)＝61.
(1)求|a＋b|；
(2)求向量a在向量a＋b方向上的投影向量的模．
解 (1)∵(2a－3b)·(2a＋b)＝61，
∴4|a|2－4a·b－3|b|2＝61.
∵|a|＝4，|b|＝3，∴a·b＝－6，
∴|a＋b|＝
＝＝.
(2)∵a·(a＋b)＝|a|2＋a·b＝42－6＝10，
∴向量a在向量a＋b方向上的投影向量的模为
＝＝.
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