2025年江苏省南京十三中数学高一下期末质量跟踪监视试题含解析.doc

2025年江苏省南京十三中数学高一下期末质量跟踪监视试题
注意事项：
1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号、考场号和座位号填写在试题卷和答题卡上。用2B铅笔将试卷类型（B）填涂在答题卡相应位置上。将条形码粘贴在答题卡右上角"条形码粘贴处"。
2．作答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案。答案不能答在试题卷上。
3．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液。不按以上要求作答无效。
4．考生必须保证答题卡的整洁。考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的
1．给甲、乙、丙三人打电话，若打电话的顺序是任意的，则第一个打电话给甲的概率是(　　)
A． B． C． D．
2．如图，矩形ABCD中，AB＝2，AD＝1，P是对角线AC上一点，，过点P的直线分别交DA的延长线，AB，DC于点M，E，N.若 (m>0，n>0)，则2m＋3n的最小值是(　　)

A． B．
C． D．
3．设等比数列{}的前n项和为，若=3，则=
A． B．2 C． D．3
4．在同一直角坐标系中，函数且的图象可能是（ ）
A． B．
C． D．
5．若，则下列不等式中不正确的是（ ）
A． B． C． D．
6．已知均为实数，则 “”是“构成等比数列”的 （ ）
A．必要不充分条件 B．充分不必要条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
7．关于的不等式对一切实数都成立，则的取值范围是( )
A． B． C． D．
8．sin300°的值为
A． B． C． D．
9．若平面α∥平面β，直线平面α，直线n⊂平面β，则直线与直线n的位置关系是（ ）
A．平行 B．异面
C．相交 D．平行或异面
10．已知，且，，这三个数可适当排序后成等差数列，也可适当排序后成等比数列，则（ ）
A．7 B．6 C．5 D．9
二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。
11．已知数列是等比数列，公比为，且，，则_________．
12．如图所示为函数的部分图像，其中、分别是函数图像的最高点和最低点，且，那么________．

13．如图，已知圆，六边形为圆的内接正六边形，点为边的中点，当六边形绕圆心转动时，的取值范围是________．

14．已知等差数列的前三项为，则此数列的通项公式为______
15．函数的反函数是______.
16．某学校成立了数学，英语，音乐3个课外兴趣小组，3个小组分别有39，32，33个成员，一些成员参加了不止一个小组，具体情况如图.现随机选取一个成员，他恰好只属于2个小组的概率是____.

三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．已知角α的顶点与原点O重合，始边与x轴的非负半轴重合，它的终边过点P（）．
（Ⅰ）求sin（α+π）的值；
（Ⅱ）若角β满足sin（α+β）=，求cosβ的值．
18．已知数列的前项和，满足.
（1）若，求数列的通项公式；
（2）在满足（1）的条件下，求数列的前项和的表达式；
19．如图，甲、乙两个企业的用电负荷量关于投产持续时间（单位：小时）的关系均近似地满足函数.

（1）根据图象，求函数的解析式；
（2）为使任意时刻两企业用电负荷量之和不超过9，现采用错峰用电的方式，让企业乙比企业甲推迟小时投产，求的最小值.
20．已知数列{an}中，a1＝1且an﹣an﹣1＝3×（）n﹣2（n≥2，n∈N*）.
（1）求数列{an}的通项公式：
（2）若对任意的n∈N*，不等式1≤man≤5恒成立，求实数m的取值范围.
21．2016 年崇明区政府投资 8 千万元启动休闲体育新乡村旅游项目．规划从 2017 年起，在今后的若干年内，每年继续投资 2 千万元用于此项目.2016 年该项目的净收入为 5 百万元，并预测在相当长的年份里，每年的净收入均为上一年的基础上增长．记 2016 年为第 1 年，为第 1 年至此后第 年的累计利润（注：含第 年，累计利润=累计净收入﹣累计投入，单位：千万元），且当 为正值时，认为该项目赢利．
（1）试求 的表达式；
（2）根据预测，该项目将从哪一年开始并持续赢利？请说明理由．
参考答案

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的
1、B
【解析】
根据题意，打电话的顺序是任意的，打电话给甲乙丙三人的概率都相等均为，从而可得到正确的选项．
【详解】
∵打电话的顺序是任意的，打电话给甲、乙、丙三人的概率都相等，
∴第一个打电话给甲的概率为．
故选：B．
此题考查了概率的求法：如果一个事件有n种可能，而且这些事件的可能性相同，其中事件A出现m种结果，那么事件A的概率P（A）=．
2、C
【解析】

设，则
又

当且仅当时取等号，故选
点睛：在利用基本不等式求最值的时候，要特别注意“拆，拼，凑”等技巧，使其满足基本不等式中“正”（即条件要求中字母为正数），“定”（不等式的另一边必须为定值），“等”（等号取得的条件）的条件才能应用，否则会出现错误．
3、A
【解析】
解：因为等比数列{an}的前n项和为Sn，则Sn，S2n-Sn，S3n-S2n成等比，（Sn≠0）
所以，选A
4、D
【解析】
本题通过讨论的不同取值情况，分别讨论本题指数函数、对数函数的图象和，结合选项，判断得出正确结论.题目不难，注重重要知识、基础知识、逻辑推理能力的考查.
【详解】
当时，函数过定点且单调递减，则函数过定点且单调递增，函数过定点且单调递减，D选项符合；当时，函数过定点且单调递增，则函数过定点且单调递减，函数过定点且单调递增，各选项均不符合.综上，选D.
易出现的错误有，一是指数函数、对数函数的图象和性质掌握不熟，导致判断失误；二是不能通过讨论的不同取值范围，认识函数的单调性.
5、C
【解析】
，可得，则根据不等式的性质逐一分析选项，A：，，所以成立；B：，则，根据基本不等式以及等号成立的条件则可判断；C：且，根据可乘性可知结果；D：，根据乘方性可判断结果.
【详解】
A：由题意，不等式，可得，
则，，所以成立，所以A是正确的；
B：由，则，所以，因为，所以等号不成立，所以成立，所以B是正确的；
C：由且，根据不等式的性质，可得，所以C不正确；
D：由，可得，所以D是正确的，
故选：C.
本题考查不等式的性质，不等式等号成立的条件，熟记不等式的性质是解题的关键，属于基础题.
6、A
【解析】
解析：若构成等比数列，则，即是必要条件；但时，不一定有成等比数列，如，即是不充分条件．应选答案A．
7、D
【解析】
特值,利用排除法求解即可.
【详解】
因为当时，满足题意，所以可排除选项B、C、A，故选D
不等式恒成立问题有两个思路：
求最值，说明恒成立
参变分离，再求最值。
8、B
【解析】
利用诱导公式化简，再求出值为.
【详解】
因为，故选B.
本题考查诱导公式的应用，即终边相同角的三角函数值相等及.
9、D
【解析】
由面面平行的定义，可得两直线无公共点，可得所求结论．
【详解】
平面α∥平面β，可得两平面α，β无公共点，
即有直线与直线也无公共点，可得它们异面或平行，
故选：D．
本题考查空间线线的位置关系，考查面面平行的定义，属于基础题．
10、C
【解析】
由,可得成等比数列，即有＝4；讨论成等差数列或成等差数列，运用中项的性质，解方程可得，即可得到所求和．
【详解】
由，可得成等比数列，即有＝4，①
若成等差数列，可得，②
由①②可得，1；
若成等差数列，可得，③
由①③可得，1．
综上可得1．
故选：C．
本题考查等差数列和等比数列的中项的性质，考查运算能力，属于中档题．

二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。
11、.
【解析】
先利用等比中项的性质计算出的值，然后由可求出的值.
【详解】
由等比中项的性质可得，得，所以，，，
故答案为.
本题考查等比数列公比的计算，充分利用等比中项和等比数列相关性质的应用，可简化计算，属于中等题.
12、
【解析】
由图可知：，因为，由周期公式得到，结合以及诱导公式即可求解.
【详解】
由图可知：，因为
所以 ，即
由题意可知：，即

故答案为：

本题主要考查了正弦型函数的图像的性质以及求值，关键是从图像得出周期，最值等，属于基础题.
13、
【解析】
先求出，再化简得即得的取值范围.
【详解】
由题得OM=,
由题得
由题得.
.
所以的取值范围是.
故答案为
本题主要考查平面向量的运算和数量积运算，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.
14、
【解析】
由题意可得， 解得 ．
∴等差数列 的前三项为-1，1，1．
则 1．
故答案为 ．
15、，
【解析】
求出函数的值域作为其反函数的定义域，再由求出其反函数的解析式，综合可得出答案.
【详解】
，则，
由可得，，
因此，函数的反函数是，.
故答案为：，.
本题考查反三角函数的求解，解题时注意求出原函数的值域作为其反函数的定义域，考查计算能力，属于中等题.
16、
【解析】
由题中数据，确定课外小组的总人数，以及恰好属于2个小组的人数，人数比即为所求概率.
【详解】
由题意可得，课外小组的总人数为，
恰好属于2个小组的人数为，
所以随机选取一个成员，他恰好只属于2个小组的概率是.
故答案为
本题主要考查古典概型，熟记列举法求古典概型的概率即可，属于常考题型.

三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17、（Ⅰ）；（Ⅱ） 或 .
【解析】
分析：（Ⅰ）先根据三角函数定义得，再根据诱导公式得结果，（Ⅱ）先根据三角函数定义得，再根据同角三角函数关系得，最后根据，利用两角差的余弦公式求结果.
【详解】
详解：（Ⅰ）由角的终边过点得，
所以.
（Ⅱ）由角的终边过点得，
由得.
由得，
所以或.
点睛：三角函数求值的两种类型
(1)给角求值：关键是正确选用公式，以便把非特殊角的三角函数转化为特殊角的三角函数.
(2)给值求值：关键是找出已知式与待求式之间的联系及函数的差异.
①一般可以适当变换已知式，求得另外函数式的值，以备应用；
②变换待求式，便于将已知式求得的函数值代入，从而达到解题的目的.
18、（1）；（2）.
【解析】
（1）已知求，利用即可求出；（2）根据数列
通项公式特征，采取分组求和法和错位相减法求出
【详解】
（1）因为，所以，
当时，，所以；
当时， ，
即，，因为，所以，
，即，当时，也符合公式．
综上，数列的通项公式为．
（2）因为，所以

（ ）
由得，
两式作差得， ，
即 ，故．
本题主要考查求数列通项的方法——公式法和构造法的应用， 以及数列的求和方法——分组求和法和错位相减法的应用．
19、（1）；（2）4
【解析】
（1）由，得，由，得A，b，代入，求得，从而即可得到本题答案；
（2）由题，得恒成立，等价于恒成立，然后利用和差公式展开，结合辅助角公式，逐步转化，即可得到本题答案.
【详解】
（1）解：由图知，
又，可得
，代入，得，
又，
所求为
（2）设乙投产持续时间为小时，则甲的投产持续时间为小时，由诱导公式，企业乙用电负荷量随持续时间变化的关系式为：
同理，企业甲用电负荷量变化关系式为：

两企业用电负荷量之和
，
依题意，有恒成立
即恒成立
展开有恒成立

其中，，，

整理得：
解得
即
取得：
的最小值为4.
本题主要考查根据三角函数的图象求出其解析式，以及三角函数的实际应用，主要考查学生的分析问题和解决问题的能力，以及计算能力，难度较大.
20、（1）an＝3﹣2×（）n﹣1（2）{m|1≤m}
【解析】
（1）由已知，根据递推公式可得，，……，，所有式子累加可得；
（2）在（1）得出的基础之上解不等式可得实数的取值范围.
【详解】
（1）由已知，根据递推公式可得an﹣an﹣1＝3×（）n﹣2，an﹣1﹣an﹣2＝3×（）n﹣3，…，a2﹣a1＝3×（）0，
由累加法得，当n≥2时，an﹣a1＝3×（）0+3×（）1+…+3×（）n﹣2，
代入a1＝1得，n≥2时，an＝11+2×（1﹣（）n﹣1），
又a1＝1也满足上式，故an＝3﹣2×（）n﹣1.
（2）由1≤man≤5，得1≤man＝m（3﹣2（）n﹣1）≤5.
因为3﹣2（）n﹣1＞0，
所以，
当n为奇数时，3﹣2（）n﹣1∈[1，3）；
当n为偶数时，3﹣2（）n﹣1∈（3，4]，
所以3﹣2（）n﹣1最大值为4，最小值为1.
对于任意的正整数n都有成立，
所以1≤m.
即所求实数m的取值范围是{m|1≤m}.
本题主要考查数列的递推公式知识和不等式的相关知识，式子繁琐，易错，属于中档题.
21、 (1)；（2）.
【解析】
试题分析：（1）由题意知，第一年至此后第年的累计投入为（千万元），第年至此后第年的累计净收入为，利用等比数列数列的求和公式可得；（2）由，利用指数函数的单调性即可得出.
试题解析：（1）由题意知，第1年至此后第n（n∈N*）年的累计投入为8+2（n﹣1）=2n+6（千万元），
第1年至此后第n（n∈N*）年的累计净收入为+×+×+…+×
=（千万元）．
∴f（n）=﹣（2n+6）=﹣2n﹣7（千万元）．
（2）方法一：∵f（n+1）﹣f（n）=[﹣2（n+1）﹣7]﹣[﹣2n﹣7]=[﹣2]，
∴当n≤3时，f（n+1）﹣f（n）＜1，故当n≤2时，f（n）递减；
当n≥2时，f（n+1）﹣f（n）＞1，故当n≥2时，f（n）递增．
又f（1）=﹣＜1，f（7）=≈5×﹣21=﹣＜1，f（8）=﹣23≈25﹣23=2＞1．
∴该项目将从第8年开始并持续赢利．
答：该项目将从2123年开始并持续赢利；
方法二：设f（x）=﹣2x﹣7（x≥1），则f′（x）=，
令f'（x）=1，得=≈=5，∴x≈2．
从而当x∈[1，2）时，f'（x）＜1，f（x）递减；
当x∈（2，+∞）时，f'（x）＞1，f（x）递增．
又f（1）=﹣＜1，f（7）=≈5×﹣21=﹣＜1，f（8）=﹣23≈25﹣23=2＞1．
∴该项目将从第8年开始并持续赢利．
答：该项目将从2123年开始并持续赢利．