2025年山东省邹城第一中学高一数学第二学期期末学业水平测试试题含解析.doc

2025年山东省邹城第一中学高一数学第二学期期末学业水平测试试题
考生须知：
1．全卷分选择题和非选择题两部分，全部在答题纸上作答。选择题必须用2B铅笔填涂；非选择题的答案必须用黑色字迹的钢笔或答字笔写在“答题纸”相应位置上。
2．请用黑色字迹的钢笔或答字笔在“答题纸”上先填写姓名和准考证号。
3．保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，在草稿纸、试题卷上答题无效。

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的
1．已知等差数列的公差为2，前项和为，且，则的值为
A．11 B．12 C．13 D．14
2．关于的不等式的解集中，恰有3个整数，则的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
3．已知等差数列的前项和为，若，，则的值为（　　）
A． B． C． D．4
4．如图，网格纸的各小格都是正方形，粗实线画出的事一个几何体的三视图，则这个几何体是（ ）

A．三棱锥 B．三棱柱 C．四棱锥 D．四棱柱
5．素数指整数在一个大于1的自然数中，除了1和此整数自身外，不能被其他自然数整除的数。我国数学家陈景润在哥德巴赫猜想的研究中取得了世界领先的成果。哥德巴赫猜想是“每个大于2的偶数可以表示为两个素数的和”，如。在不超过15的素数中，随机选取两个不同的数，其和小于18的概率是（ ）
A． B． C． D．
6．已知向量，若，则的最小值为（ ）.
A．12 B． C．16 D．
7．已知，则下列不等式成立的是 (　　)
A． B． C． D．
8．设等比数列的前项和为，若，公比，则的值为（ ）
A．15 B．16 C．30 D．31
9．要得到函数y＝cos的图象，只需将函数y＝cos2的图象(　　)
A．向左平移个单位长度 B．向左平移个单位长度
C．向右平移个单位长度 D．向右平移个单位长度
10．将正整数排列如下：

则图中数2020出现在（ ）
A．第64行第3列 B．第64行4列 C．第65行3列 D．第65行4列
二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。
11．数列的前项和为，已知，且对任意正整数，都有，若恒成立，则实数的最小值为________.
12．已知直线平分圆的周长，则实数________．
13．等差数列中，，则其前12项之和的值为______
14．关于函数有下列命题：①由可得必是的整数倍；②的图像关于点对称，其中正确的序号是____________.
15．已知，则与的夹角等于____.
16．在直角坐标系xOy中，一单位圆的圆心的初始位置在，此时圆上一点P的位置在，圆在x轴上沿正向滚动．当圆滚动到圆心位于时，的坐标为________．
三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．已知.
（1）若三点共线，求实数的值；
（2）证明：对任意实数，恒有成立.
18．已知函数．
（Ⅰ）求函数的最小正周期；
（Ⅱ）求函数在区间上的最值以及相应的x的取值．
19．已知等差数列满足，.
（1）求的通项公式；
（2）设等比数列满足.若，求的值.
20．已知函数
(1)求的最小正周期；
(2)求的单调增区间；
(3)若求函数的值域．
21．如图，在四边形中，已知，，，，设．

（1）求（用表示）；
（2）求的最小值.（结果精确到米）
参考答案

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的
1、C
【解析】
利用等差数列通项公式及前n项和公式，即可得到结果.
【详解】
∵等差数列的公差为2，且，
∴
∴
∴.
故选：C
本题考查了等差数列的通项公式及前n项和公式，考查计算能力，属于基础题.
2、C
【解析】
首先将原不等式转化为，然后对进行分类讨论，再结合不等式解集中恰有3个整数，列出关于的条件，求解即可.
【详解】
关于的不等式等价于
当时，即时，于的不等式的解集为，
要使解集中恰有3个整数，则；
当时，即时，于的不等式的解集为，不满足题意；
当时，即时，于的不等式的解集为，
要使解集中恰有3个整数，则；
综上，.
故选：C．
本题主要考了一元二次不等式的解法以及分类讨论思想，属于中档题．
3、C
【解析】
利用前项和的性质可求的值.
【详解】
设，则
，故，故，
，故选C.
一般地，如果为等差数列，为其前项和，则有性质：
（1）若，则；
（2） 且 ；
（3）且为等差数列；
（4） 为等差数列.
4、B
【解析】
试题分析：由三视图中的正视图可知，由一个面为直角三角形，左视图和俯视图可知其它的面为长方形．综合可判断为三棱柱．
考点：由三视图还原几何体.
5、B
【解析】
找出不超过15的素数，从其中任取2个共有多少种取法，找到取出的两个和小于18的个数，根据古典概型求解即可.
【详解】
不超过15的素数为，共6个，任取2个分别为，，，，，，，，，，，，，，，共15个基本事件，其中两个和小于18的共有11个基本事件，根据古典概型概率公式知.
本题主要考查了古典概型，基本事件，属于中档题.
6、B
【解析】
根据向量的平行关系，得到间的等量关系，再根据“”的妙用结合基本不等式即可求解出的最小值.
【详解】
因为，所以，所以，
又因为，
取等号时即，
所以.
故选：B.
本题考查利用基本不等式求解最小值，难度一般.本题是基本不等式中的常见类型问题：已知，则，取等号时.
7、B
【解析】
利用不等式的基本性质即可得出结果.
【详解】
因为，所以，所以，
故选B
本题主要考查不等式的基本性质，属于基础题型.
8、A
【解析】
直接利用等比数列前n项和公式求.
【详解】
由题得.
故选A
本题主要考查等比数列求和，意在考查学生对该知识的理解掌握水平和分析推理能力.
9、B
【解析】
∵，
∴要得到函数的图像，只需将函数的图像向左平移个单位．
选B．
10、B
【解析】
根据题意，构造数列，利用数列求和推出的位置.
【详解】
根据已知，第行有个数，设数列为行数的数列，则，
即第行有个数，第行有个数，……，第行有个数，
所以，第行到第行数的总个数，
当时，数的总个数，
所以，为时的数，即行的数为：，，，，……，
所以，为行第列.
故选：B.
本题考查数列的应用，构造数列，利用数列知识求解很关键，属于中档题.

二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。
11、
【解析】
令，可得是首项为，公比为的等比数列，所以，，实数的最小值为，故答案为.
12、1
【解析】
由题得圆心在直线上，解方程即得解.
【详解】
由题得圆心（1，a）在直线上，
所以.
故答案为1
本题主要考查直线和圆的位置关系，意在考查学生对该知识的理解掌握水平，属于基础题.
13、
【解析】
利用等差数列的通项公式、前n项和公式直接求解．
【详解】
∵等差数列{an}中，a3+a10＝25，
∴其前12项之和S126（a3+a10）＝6×25＝1．
故答案为：1．
本题考查等差数列的前n项和的公式，考查等差数列的性质的应用，考查运算求解能力，是基础题．
14、②
【解析】
对①，可令求出的通式，再进行判断；对②，将代入检验是否为0即可
【详解】
对①，令得，可令，，①错；对②，当时，，②对
故正确序号为：②
故答案为②
本题考查三角函数的基本性质，属于基础题
15、
【解析】
根据向量的坐标即可求出，根据向量夹角的公式即可求出．
【详解】
∵，，，
，∴，
又，∴．
故答案为：．
考查向量坐标的数量积运算，向量坐标求向量长度的方法，以及向量夹角的余弦公式，属于基础题．
16、
【解析】
设滚动后圆的圆心为C，切点为A，连接CP．过C作与x轴正方向平行的射线，交圆C于B（2，1），设∠BCP=θ，则根据圆的参数方程，得P的坐标为（1+cosθ，1+sinθ），再根据圆的圆心从（0，1）滚动到（1，1），算出，结合三角函数的诱导公式，化简可得P的坐标为，即为向量的坐标．
【详解】
设滚动后的圆的圆心为C，切点为，连接CP，

过C作与x轴正方向平行的射线，交圆C于，设，
∵C的方程为，
∴根据圆的参数方程，得P的坐标为，
∵单位圆的圆心的初始位置在，圆滚动到圆心位于，
，可得，
可得，，
代入上面所得的式子，得到P的坐标为，
所以的坐标是.
故答案为：.
本题考查圆的参数方程,平面向量坐标表示的应用，解题的关键是根据数形结合找到变量的角度，属于中等题.

三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17、 (1)-3；(2)证明见解析.
【解析】
分析：（1）由题意可得，结合三点共线的充分必要条件可得.
（2）由题意结合平面向量数量积的坐标运算法则可得，则恒有成立.
详解：（1），∵三点共线，
∴，∴.
（2），
∴，∴恒有成立.
点睛：本题主要考查平面向量数量积的运算法则，二次函数的性质及其应用等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.
18、（Ⅰ）；（Ⅱ）时，取得最大值2；时，取得最小值.
【解析】
（Ⅰ）利用二倍角和两角和与差以及辅助角公式将函数化为y＝Asin（ωx+φ）的形式，利用三角函数的周期公式求函数的最小正周期．
（Ⅱ）利用x∈[，]上时，求出内层函数的取值范围，结合三角函数的图象和性质，求出f（x）的最大值和最小值．
【详解】
(Ⅰ)因为函数f（x）＝4cosxsin（x）1．
化简可得：f（x）＝4cosxsinxcos4cos2xsin1
sin2x+2cos2x1sin2x+cos2x＝2sin（2x）
所以的最小正周期为．
(Ⅱ)因为，所以．
当，即时，f（x）取得最大值2；
当，即时，f（x）取得最小值-1．
本题主要考查对三角函数的化简能力和三角函数的图象和性质的运用，利用三角函数公式将函数进行化简是解决本题的关键，属于基础题．
19、（1）；（2）63
【解析】
（1）求出公差和首项，可得通项公式；
（2）由得公比，再得，结合通项公式求得.
【详解】
（1）由题意等差数列的公差，，，
∴；
（2）由（1），∴，，
∴，.
本题考查等差数列与等比数列的通项公式，掌握基本量法是解题基础.
20、（1）（2）；（3）.
【解析】
（1）先化简函数f(x)的解析式，再求函数的最小正周期；（2）解不等式，即得函数的增区间；（3）根据三角函数的性质求函数的值域.
【详解】
（1）由题得，
所以函数的最小正周期为.
（2）令,
所以,
所以函数的单调增区间为.
（3）
，
所以函数的值域为.
本题主要考查三角恒等变换，考查三角函数的图像和性质，考查三角函数的值域，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平，属于基础题.
21、（1）；（2）米
【解析】
（1）在中，由正弦定理，求得，再在中，利用正弦定理，即可求得的表达式；
（2）在中，由正弦定理，求得，进而可得到，利用三角函数的性质，即可求解．
【详解】
（1）由题意，在中，，
由正弦定理，可得，即，
在中，，
由正弦定理，可得，即，
（2）在中，
由正弦定理，可得，即
所以
因为，所以
所以当时，取得最小值
最小值约为米.
本题主要考查了正弦定理、余弦定理的应用，其中利用正弦、余弦定理可以很好地解决三角形的边角关系，熟练掌握定理、合理运用是解本题的关键．通常当涉及两边及其中一边的对角或两角及其中一角对边时，运用正弦定理求解；当涉及三边或两边及其夹角时，运用余弦定理求解.