2025年北京海淀北理工附中数学高一第二学期期末学业水平测试模拟试题含解析.doc

2025年北京海淀北理工附中数学高一第二学期期末学业水平测试模拟试题
请考生注意：
1．请用2B铅笔将选择题答案涂填在答题纸相应位置上，请用0．5毫米及以上黑色字迹的钢笔或签字笔将主观题的答案写在答题纸相应的答题区内。写在试题卷、草稿纸上均无效。
2．答题前，认真阅读答题纸上的《注意事项》，按规定答题。

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的
1．一个圆锥的表面积为，它的侧面展开图是圆心角为的扇形，该圆锥的母线长为（ ）
A． B．4 C． D．
2．在各项均为正数的等比数列中，若，则（ ）
A．1 B．4
C．2 D．
3．已知角的终边经过点（3，-4），则的值为（ ）
A． B． C． D．
4．已知点在第三象限，则角的终边在（　 ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
5．不等式的解集是
A． B．
C． D．
6．若正实数满足，则的最小值为　　
A． B． C． D．
7．若直线与直线互相平行，则的值为（ ）
A．4 B． C．5 D．
8．已知是平面内两个互相垂直的向量，且，若向量满足，则的最大值是（ ）
A．1 B． C．3 D．
9．在中，，则是（ ）
A．等腰直角三角形 B．等腰或直角三角形 C．等腰三角形 D．直角三角形
10．已知,,,是球球面上的四个点，平面,,，则该球的表面积为（ ）
A． B． C． D．
二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。
11．在中，角，，的对边分别为，，，若，则________.
12．已知三点、、共线，则a=_______.
13．已知点和点，点在轴上，若的值最小，则点的坐标为______.
14．已知，，且，则__________．
15．黄金分割比是指将整体一分为二，较大部分与整体部分的比值等于较小部分与较大部分的比值，其比值为，约为0.618，这一数值也可以近似地用表示，则_____.
16．已知直线l在y轴上的截距为1，且垂直于直线，则的方程是____________.
三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．如图，直三棱柱ABC-A1B1C1中，D,E分别是AB，BB1的中点.

（Ⅰ）证明： BC1//平面A1CD;
（Ⅱ）设AA1= AC=CB=2，AB=2，求三棱锥C一A1DE的体积.
18．已知三角形的三个顶点.
（1）求BC边所在直线的方程；
（2）求BC边上的高所在直线方程.
19．已知数列的首项，其前n项和为满足.
（1）数列的通项公式；
（2）设，求数列的前n项和表达式.
20．已知圆C的圆心为(1，1)，直线与圆C相切.
（1）求圆C的标准方程；
（2）若直线过点(2，3)，且被圆C所截得的弦长为2，求直线的方程.
21．设数列的前项和为，若且
求
若数列满足，求数列的前项和.
参考答案

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的
1、B
【解析】
设圆锥的底面半径为，母线长为，利用扇形面积公式和圆锥表面积公式，求出圆锥的底面圆半径和母线长．
【详解】
设圆锥的底面半径为，母线长为
它的侧面展开图是圆心角为的扇形
又圆锥的表面积为 ，解得：
母线长为：
本题正确选项：
本题考查了圆锥的结构特征与应用问题，关键是能够熟练应用扇形面积公式和圆锥表面积公式，是基础题．
2、C
【解析】
试题分析：由题意得，根据等比数列的性质可知，又因为
，故选C．
考点：等比数列的性质．
3、A
【解析】
先求出的值，即得解.
【详解】
由题得，
，
所以.
故选A
本题主要考查三角函数的坐标定义，意在考查学生对该知识的理解掌握水平，属于基础题.
4、B
【解析】
根据同角三角函数间基本关系和各象限三角函数符号的情况即可得到正确选项.
【详解】
因为点在第三象限，则，，
所以，
则可知角的终边在第二象限.
故选：B.
本题考查各象限三角函数符号的判定，属基础题.相关知识总结如下：
第一象限：；
第二象限：；
第三象限：；
第四象限：.
5、B
【解析】
因式分解不等式，可直接求得其解集。
【详解】
，，解得.
本题考查求不等式解集，属于基础题。
6、D
【解析】
将变成，可得，展开后利用基本不等式求解即可．
【详解】
，，，，

当且仅当，取等号，故选D．
本题主要考查利用基本不等式求最值，属于中档题.利用基本不等式求最值时，一定要正确理解和掌握“一正，二定，三相等”的内涵：一正是，首先要判断参数是否为正；二定是，其次要看和或积是否为定值（和定积最大，积定和最小）；三相等是，最后一定要验证等号能否成立（主要注意两点，一是相等时参数是否在定义域内，二是多次用或时等号能否同时成立）.
7、C
【解析】
根据两条存在斜率的直线平行，斜率相等且在纵轴上的截距不相等这一性质，可以求出的值.
【详解】
直线的斜率为，在纵轴的截距为，因此若直线与直线互相平行，则一定有直线的斜率为，在纵轴的截距不等于，于是有且，解得，故本题选C.
本题考查了已知两直线平行求参数问题.其时本题也可以运用下列性质解题：
若直线与直线平行，
则有且.
8、D
【解析】
设出平面向量的夹角，求出的夹角，最后利用平面向量数量积的运算公式进行化简等式，最后利用辅助角公式求出的最大值.
【详解】
设平面向量的夹角为，因为是平面内两个互相垂直的向量，所以平面向量的夹角为，因为是平面内两个互相垂直的向量，所以.
，
，
，其中，显然当时，有最大值，即.
故选：D
本题考查平面向量数量积的性质及运算，属于中档题.
9、D
【解析】
先由可得，然后利用与三角函数的和差公式可推出，从而得到是直角三角形
【详解】
因为，
所以
所以
因为
所以
即
所以
所以
因为，所以
因为，所以，即是直角三角形
故选：D
要判断三角形的形状，应围绕三角形的边角关系进行思考，主要有以下两条途径：①角化边：把已知条件转化为只含边的关系，通过因式分解、配方等得到边的对应关系，从而判断三角形形状，②边化角：把已知条件转化为内角的三角函数间的关系，通过三角恒等变换，得出内角的关系，从而判断三角形的形状.
10、B
【解析】
根据截面法，作出球心O与外接圆圆心所在截面，利用平行四边形和勾股定理可求得球半径，从而得到结果.
【详解】
如图，的外接圆圆心E为BC的中点，设球心为O，连接OE，OP，OA，D为PA的中点，连接OD.

根据直角三角形的性质可得，且平面，则//，由为等腰三角形可得，又，所以//，则四边形ODAE是矩形，所以=，而，中，根据勾股定理可得，所以该球的表面积为.
所以本题答案为B.
本题考查求三棱锥外接球的表面积问题，几何体的外接球、内切球问题，关键是球心位置的确定，必要时需把球的半径放置在可解的几何图形中，如果球心的位置不易确定，则可以把该几何体补成规则的几何体，便于球心位置和球的半径的确定.

二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。
11、
【解析】
利用余弦定理与不等式结合的思想求解，，的关系．即可求解的值．
【详解】
解：根据①
余弦定理②
由①②可得：
化简：

，，
，，,，
此时，故得，即，．
故答案为：．
本题主要考查了存在性思想，余弦定理与不等式结合的思想，界限的利用．属于中档题．
12、
【解析】
由三点、、共线，则有，再利用向量共线的坐标运算即可得解.
【详解】
解：由、、，
则,,
又三点、、共线，
则，
则，
解得：，
故答案为：.
本题考查了向量共线的坐标运算，属基础题.
13、
【解析】
作出图形，作点关于轴的对称点，由对称性可知，结合图形可知，当、、三点共线时，取最小值，并求出直线的方程，与轴方程联立，即可求出点的坐标.
【详解】
如下图所示，作点关于轴的对称点，由对称性可知，

则，
当且仅当、、三点共线时，的值最小，
直线的斜率为，直线的方程为，即，
联立，解得，因此，点的坐标为.
故答案为：.
本题考查利用折线段长的最小值求点的坐标，涉及两点关于直线对称性的应用，考查数形结合思想的应用，属于中等题.
14、
【解析】
根据向量平行的坐标表示可求得；代入两角和差正切公式即可求得结果.
【详解】

本题正确结果：
本题考查两角和差正切公式的应用，涉及到向量平行的坐标表示，属于基础题.
15、
【解析】
代入分式利用同角三角函数的平方关系、二倍角公式及三角函数诱导公式化简即可.
【详解】

.
故答案为：2
本题考查同角三角函数的平方关系、二倍角公式及三角函数诱导公式，属于基础题.
16、；
【解析】
试题分析：设垂直于直线的直线为，因为直线在轴上的截距为，所以，所以直线的方程是.
考点：两直线的垂直关系.

三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17、（Ⅰ）见解析（Ⅱ）
【解析】
试题分析：（Ⅰ）连接AC1交A1C于点F，则DF为三角形ABC1的中位线，故DF∥BC1．再根据直线和平面平行的判定定理证得BC1∥平面A1CD．（Ⅱ）由题意可得此直三棱柱的底面ABC为等腰直角三角形，由D为AB的中点可得CD⊥平面ABB1A1．求得CD的值，利用勾股定理求得A1D、DE和A1E的值，可得A1D⊥DE．进而求得S△A1DE的值，再根据三棱锥C-A1DE的体积为•S△A1DE•CD，运算求得结果
试题解析：（1）证明：连结AC1交A1C于点F，则F为AC1中点又D是AB中点，
连结DF，则BC1∥DF． 3分
因为DF⊂平面A1CD，BC1不包含于平面A1CD， 4分
所以BC1∥平面A1CD． 5分

（2）解：因为ABC﹣A1B1C1是直三棱柱，所以AA1⊥CD．由已知AC=CB，D为AB的中点，所以CD⊥AB．又AA1∩AB=A，于是CD⊥平面ABB1A1． 8分
由AA1=AC=CB=2，得∠ACB=90°，，，，A1E=3，故A1D2+DE2=A1E2，即DE⊥A1D 10分
所以三菱锥C﹣A1DE的体积为：==1． 12分
考点：直线与平面平行的判定；棱柱、棱锥、棱台的体积
18、（1）（2）
【解析】
（1）由已知条件结合直线的两点式方程的求法求解即可；
（2）先求出直线BC的斜率，再求出BC边上的高所在直线的斜率，然后利用直线的点斜式方程的求法求解即可.
【详解】
解：（1），，直线BC的方程为，即.
（2），
直线BC边上的高所在的直线的斜率为，
又，
直线BC边上的高的方程为: ，
即BC边上的高所在直线方程为.
本题考查了直线的两点式方程的求法，重点考查了直线的位置关系及直线的点斜式方程的求法，属基础题.
19、（1）；（2）
【解析】
（1）根据等差数列性质,由可知为等差数列,结合首项与公差即可求得的表达式,由即可求得数列的通项公式;
（2）代入数列的通项公式可得数列的通项公式.结合错位相减法,即可求得数列的前n项和.
【详解】
（1）由,可知是等差数列,其公差
又,得,知首项为,
得,即
当时,有
当,也满足此通项,故；
（2）由（1）可知,
所以
可得
由两式相减得
整理得.
本题考查了等差数列通项公式的求法,的应用,错位相减法求数列的前n项和,属于中档题.
20、（1）；（2）或．
【解析】
（1）利用点到直线的距离可得：圆心到直线的距离．根据直线与圆相切，可得．即可得出圆的标准方程．
（2）①当直线的斜率存在时，设直线的方程：，即：，可得圆心到直线的距离，又，可得：．即可得出直线的方程．②当的斜率不存在时，，代入圆的方程可得：，解得可得弦长，即可验证是否满足条件．
【详解】
（1）圆心到直线的距离．
直线与圆相切，．
圆的标准方程为：．
（2）①当直线的斜率存在时，设直线的方程：，
即：，，又，．
解得：．
直线的方程为：．
②当的斜率不存在时，，代入圆的方程可得：，解得，可得弦长，满足条件．
综上所述的方程为：或．
本题考查直线与圆的相切的性质、点到直线的距离公式、弦长公式、分类讨论方法，考查推理能力与计算能力，属于中档题．
21、（1）；（2）.
【解析】
（1）由时，，再验证适合，于是得出，再利用等差数列的求和公式可求出；
（2）求出数列的通项公式，判断出数列为等比数列，再利用等比数列的求和公式求出数列的前项和．
【详解】
（1）当且时，；
也适合上式，所以，，则数列为等差数列，
因此，；
（2），且，所以，数列是等比数列，且公比为，
所以．
本题考查数列的前项和与数列通项的关系，考查等差数列与等比数列的求和公式，考查计算能力，属于中等题．