内蒙古呼和浩特市2024-2025学年数学高一下期末统考模拟试题含解析.doc

内蒙古呼和浩特市2024-2025学年数学高一下期末统考模拟试题
考生请注意：
1．答题前请将考场、试室号、座位号、考生号、姓名写在试卷密封线内，不得在试卷上作任何标记。
2．第一部分选择题每小题选出答案后，需将答案写在试卷指定的括号内，第二部分非选择题答案写在试卷题目指定的位置上。
3．考生必须保证答题卡的整洁。考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的
1．已知数列是等比数列，若，且公比，则实数的取值范围是（）
A． B． C． D．
2．在△ABC中，三个顶点分别为A（2，4），B（﹣1，2），C（1，0），点P（x，y）在△ABC的内部及其边界上运动，则y﹣x的最小值是（　　）
A．﹣3 B．﹣1 C．1 D．3
3．已知数列1，1，2，1，2，4，1，2，4，8，1，2，4，8，16，…，其中第一项是，接下来的两项是，再接下来的三项是，依此类推，记此数列为，则( )
A．1 B．2 C．4 D．8
4．垂直于同一条直线的两条直线一定（ ）
A．平行 B．相交 C．异面 D．以上都有可能
5．一个长方体长、宽分别为5，4，且该长方体的外接球的表面积为，则该长方体的表面积为（）
A．47 B．60 C．94 D．198
6．2021年某省新高考将实行“”模式，即语文、数学、外语必选，物理、历史二选一，政治、地理、化学、生物四选二，共有12种选课模式.某同学已选了物理，记事件：“他选择政治和地理”，事件：“他选择化学和地理”，则事件与事件（ ）
A．是互斥事件，不是对立事件 B．是对立事件，不是互斥事件
C．既是互斥事件，也是对立事件 D．既不是互斥事件也不是对立事件
7．等差数列的前项和为，若，且，则（　　）
A．10 B．7 C．12 D．3
8．如图，各棱长均为的正三棱柱，、分别为线段、上的动点，且平面，，中点轨迹长度为，则正三棱柱的体积为（ ）

A． B． C．3 D．
9．如图所示，已知正三棱柱的所有棱长均为1，则三棱锥的体积为（ ）

A． B． C． D．
10．下列角中终边与相同的角是（ ）
A． B． C． D．
二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。
11．已知实数满足条件，则的最大值是________.
12．各项均为实数的等比数列的前项和为,已知成等差数列,则数列的公比为________.
13．已知中，的对边分别为，若，则的周长的取值范围是__________．
14．已知函数的图象如图所示，则不等式的解集为______．

15．等比数列的公比为，其各项和，则______________.
16．等差数列中，公差.则与的等差中项是_____（用数字作答）
三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．现有8名奥运会志愿者，其中志愿者通晓日语，通晓俄语，通晓韩语．从中选出通晓日语、俄语和韩语的志愿者各1名，组成一个小组．
（1）求被选中的概率；
（2）求和不全被选中的概率．
18．已知等比数列的各项为正数，为其前项的和，，．
（Ⅰ）求数列的通项公式；
（Ⅱ）设数列是首项为，公差为的等差数列，求数列的通项公式及其前项的和．
19．（1）计算：;
（2）化简：.
20．在直三棱柱ABC－A1B1C1中，AC＝3，BC＝4，AB＝5，AA1＝4，点D是AB的中点．
求证：(1)AC⊥BC1；(2)AC1∥平面CDB1.
21．已知⊙C经过点、两点，且圆心C在直线上.
（1）求⊙C的方程；
（2）若直线与⊙C总有公共点，求实数的取值范围.
参考答案

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的
1、C
【解析】
由可得，结合可得结果.
【详解】
，
，
，
，
，
，故选C.
本题主要考查等比数列的通项公式，意在考查对基础知识的掌握与应用，属于基础题.
2、B
【解析】
根据线性规划的知识求解．
【详解】
根据线性规划知识，的最小值一定在的三顶点中的某一个处取得，分别代入的坐标可得的最小值是．
故选B．
本题考查简单的线性规划问题，属于基础题．
3、C
【解析】
将数列分组：第1组为，第2组为，第3组为，，根据，进而得到数列的2017项为，数列的第2018项为，数列的第2019项为，即可求解.
【详解】
将所给的数列分组：第1组为，第2组为，第3组为，，
则数列的前n组共有项，
又由，所以数列的前63组共有2016项，
所以数列的2017项为，数列的第2018项为，数列的第2019项为，
所以
故选：C.
本题主要考查了等差数列的前n项和公式的应用，其中解答中根据所给数列合理分组，结合等差数列的前n项和求解是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力，属于中档试题.
4、D
【解析】
试题分析：根据在同一平面内两直线平行或相交，在空间内两直线平行、相交或异面判断．
解：分两种情况：①在同一平面内，垂直于同一条直线的两条直线平行；
②在空间内垂直于同一条直线的两条直线可以平行、相交或异面．
故选D
考点：空间中直线与直线之间的位置关系．
5、C
【解析】
根据球的表面积公式求得半径，利用等于体对角线长度的一半可构造方程求出长方体的高，进而根据长方体表面积公式可求得结果.
【详解】
设长方体高为，外接球半径为，则，解得：
长方体外接球半径为其体对角线长度的一半
解得：
长方体表面积
本题正确选项：
本题考查与外接球有关的长方体的表面积的求解问题，关键是能够明确长方体的外接球半径为其体对角线长度的一半，从而构造方程求出所需的棱长.
6、A
【解析】
事件与事件不能同时发生，是互斥事件，他还可以选择化学和政治，不是对立事件，得到答案.
【详解】
事件与事件不能同时发生，是互斥事件
他还可以选择化学和政治，不是对立事件
故答案选A
本题考查了互斥事件和对立事件，意在考查学生对于互斥事件和对立事件的理解.
7、C
【解析】
由等差数列的前项和公式解得，由，
得，由此能求出的值。
【详解】
解：差数列的前n项和为，，
，解得，

解得，故选：C。
本题考查等差数列的性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．
8、D
【解析】
设的中点分别为，判断出中点的轨迹是等边三角形的高，由此计算出正三棱柱的边长，进而计算出正三棱柱的体积.
【详解】
设的中点分别为，连接.由于平面，所以.当时，中点为平面的中心，即的中点（设为点）处.当时，此时的中点为的中点.所以点的轨迹是三角形的高.由于三角形是等边三角形，而，所以.故正三棱柱的体积为.
故选：D

本小题主要考查线面平行的有关性质，考查棱柱的体积计算，考查空间想象能力，考查分析与解决问题的能力，属于中档题.
9、A
【解析】
利用等体法即可求解.
【详解】
三棱锥的体积等于三棱锥的体积，
因此，三棱锥的体积为，
故选：A.
本题考查了等体法求三棱锥的体积、三棱锥的体积公式，考查了转化与化归思想的应用，属于基础题.
10、B
【解析】
与30°的角终边相同的角α的集合为{α|α=330°+k•360°，k∈Z}
当k=-1时，α=-30°，故选B

二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。
11、8
【解析】
画出满足约束条件的可行域,利用目标函数的几何意义求解最大值即可.
【详解】
实数,满足条件的可行域如下图所示:

将目标函数变形为:,
则要求的最大值,即使直线的截距最大,
由图可知,直线过点时截距最大,
,
故答案为:8.
本题考查线性规划的简单应用,解题关键是明确目标函数的几何意义.
12、
【解析】
根据成等差数列得到，计算得到答案.
【详解】
成等差数列，
则
故答案为：
本题考查了等差数列，等比数列的综合应用，意在考查学生对于数列公式的灵活运用.
13、
【解析】
中，由余弦定理可得，∵ ，∴ ，化简可得 ．∵，∴，解得 （当且仅当 时，取等号）．故 ．再由任意两边之和大于第三边可得 ，故有 ，故的周长的取值范围是，故答案为．
点睛：由余弦定理求得，代入已知等式可得，利用基本不等式求得，故．再由三角形任意两边之和大于第三边求得 ，由此求得△ABC的周长的取值范围．
14、
【解析】
根据函数图象以及不等式的等价关系即可．
【详解】
解：不等式等价为或，
则，或，
故不等式的解集是．
故答案为：．
本题主要考查不等式的求解，根据不等式的等价性结合图象之间的关系是解决本题的关键．
15、
【解析】
利用等比数列各项和公式可得出关于的方程，解出即可.
【详解】
由于等比数列的公比为，其各项和，可得，
解得.
故答案为：.
本题考查等比数列中基本量的计算，利用等比数列各项和公式列等式是关键，考查计算能力，属于基础题.
16、5
【解析】
根据等差中项的性质，以及的值，求出的值即是所求.
【详解】
根据等差中项的性质可知，的等差中项是，故.
本小题主要考查等差中项的性质，考查等差数列基本量的计算，属于基础题.

三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17、（1）;（2）.
【解析】
（1）从8人中选出日语、俄语和韩语志愿者各1名，其一切可能的结果组成的基本事件空间
{，，
，，，
，，，
}
由18个基本事件组成．由于每一个基本事件被抽取的机会均等，
因此这些基本事件的发生是等可能的．用表示“恰被选中”这一事件，则
{，
}
事件由6个基本事件组成，因而．
（2）用表示“不全被选中”这一事件，则其对立事件表示“全被选中”这一事件，
由于{}，事件有3个基本事件组成，
所以，由对立事件的概率公式得．
18、（Ⅰ）（Ⅱ），
【解析】
（Ⅰ）设正项等比数列的公比为且，由已知列式求得首项与公比，则数列的通项公式可求；（Ⅱ）由已知求得，再由数列的分组求和即可．
【详解】
（Ⅰ）由题意知，等比数列的公比，且，
所以，
解得，或（舍去），
则所求数列的通项公式为.
（Ⅱ）由题意得，
故

本题主要考查等差数列与等比数列的通项公式及前项和公式的应用，同时考查了待定系数法求数列的通项公式和分组求和法求数列的和．
19、（1）-2 （2）
【解析】
（1）利用特殊角的三角函数值求得表达式的值.
（2）利用诱导公式化简所求表达式.
【详解】
（1）
.
（2）
.
本小题主要考查特殊角的三角函数值，考查诱导公式，属于基础题.
20、 (1)证明见解析；(2)证明见解析.
【解析】
试题分析：（1）由勾股定理可证得为直角三角形即可证得，由直棱柱可知面，
可证得，根据线面垂直的判定定理可证得面，从而可得．（2）设与的交点为，连结，由中位线可证得，根据线面平行的判定定理可证得平面．
试题解析：证明：（1）证明：，
，
为直角三角形且，即．
又∵三棱柱为直棱柱，面，面，，
，
面，面，．
（2）设与的交点为，连结，
是的中点，是的中点，．面，面，
平面．

考点：1线线垂直，线面垂直；2线面平行．
21、（1）（2）
【解析】
试题分析：
(1)解法1：由题意利用待定系数法可得⊙C方程为.
解法2：由题意结合几何关系确定圆心坐标和半径的长度可得⊙C的方程为.
(2)解法1：利用圆心到直线的距离与圆的半径的关系得到关系k的不等式，求解不等式可得.
解法2：联立直线与圆的方程，结合可得.
试题解析：
（1）解法1：设圆的方程为，
则，
所以⊙C方程为.
解法2：由于AB的中点为，，
则线段AB的垂直平分线方程为
而圆心C必为直线与直线的交点，
由解得，即圆心，又半径为，
故⊙C的方程为.
（2）解法1：因为直线与⊙C总有公共点，
则圆心到直线的距离不超过圆的半径，即，
将其变形得，
解得.
解法2：由，
因为直线与⊙C总有公共点，则，
解得.
点睛：判断直线与圆的位置关系时，若两方程已知或圆心到直线的距离易表达，则用几何法；若方程中含有参数，或圆心到直线的距离的表达较繁琐，则用代数法．