2024-2025学年河北省承德市十三校联考高一下数学期末考试试题含解析.doc

2024-2025学年河北省承德市十三校联考高一下数学期末考试试题
考生请注意：
1．答题前请将考场、试室号、座位号、考生号、姓名写在试卷密封线内，不得在试卷上作任何标记。
2．第一部分选择题每小题选出答案后，需将答案写在试卷指定的括号内，第二部分非选择题答案写在试卷题目指定的位置上。
3．考生必须保证答题卡的整洁。考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的
1．已知的内角的对边分别为，若，则（ ）
A． B． C． D．
2．三角形的三条边长是连续的三个自然数，且最大角是最小角的2倍，则该三角形的最大边长为（ ）
A．4 B．5 C．6 D．7
3．在中，设角，，的对边分别是，，，且，则一定是（ ）
A．等边三角形 B．等腰三角形 C．直角三角形 D．等腰直角三角形
4．把一个已知圆锥截成个圆台和一个小圆锥，已知圆台的上、下底面半径之比为，母线长为，则己知圆锥的母线长为（ ）.
A． B． C． D．
5．若且，则的最小值是（ ）
A．6 B．12 C．24 D．16
6．《莱茵德纸草书》是世界上最古老的数学著作之一．书中有这样一道题目：把个面包分给个人，使每个人所得成等差数列，且使较大的三份之和的是较小的两份之和，则最小的一份为（ ）
A． B． C． D．
7．设为等比数列的前n项和，若，则（ ）
A．-11 B．-8 C．5 D．11
8．已知之间的一组数据如下：

1
3
4
7
8
10
16

5
7
8
10
13
15
19
则线性回归方程所表示的直线必经过点
A．（8，10） B．（8，11） C．（7，10） D．（7，11）
9．已知，则值为
A． B． C． D．
10．设，是两个不同的平面，a，b是两条不同的直线，给出下列四个命题，正确的是（ ）
A．若，，则 B．若，，，则
C．若，，，则 D．若，，，则
二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。
11．已知等比数列的公比为，它的前项积为，且满足，，，给出以下四个命题：① ；② ；③ 为的最大值；④ 使成立的最大的正整数为4031；则其中正确命题的序号为________
12．数列中，已知，50为第________项.
13．在直角梯形.中，，分别为的中点，以为圆心，为半径的圆交于，点在上运动（如图）.若，其中，则的最大值是________.

14．函数的最小正周期是________．
15．平面四边形 中,,则=_______.
16．某程序框图如图所示，则该程序运行后输出的的值为________．

三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．的内角所对边分别为，已知．
（1）求；
（2）若，，求的面积．
18．已知圆过点,且圆心在直线上．
（1）求圆的方程；
（2）平面上有两点，点是圆上的动点，求的最小值；
（3）若是轴上的动点，分别切圆于两点，试问：直线是否恒过定点？若是，求出定点坐标，若不是，说明理由．
19．设等差数列满足.
（1）求数列的通项公式；
（2）若成等比数列，求数列的前项和.
20．已知函数f(x)＝sin ωx·cos ωx＋ cos2ωx－
(ω＞0)，直线x＝x1，x＝x2是y＝f(x)图象的任意两条对称轴，且|x1－x2|的最小值为 .
（Ⅰ）求f(x)的表达式；
（Ⅱ）将函数f(x)的图象向右平移个单位长度后，再将得到的图象上各点的横坐标伸长为原来的2倍，纵坐标不变，得到函数y＝g(x)的图象，求函数g(x)的单调减区间.
21．已知， ，且
(Ⅰ)求的值；
(Ⅱ)若，求的值.
参考答案

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的
1、B
【解析】
已知两角及一对边，求另一边，我们只需利用正弦定理.
【详解】
在三角形中由正弦定理公式: ，所以选择B
本题直接属于正弦定理的直接考查，代入公式就能求解.属于简单题.
2、C
【解析】
根据三角形满足的两个条件，设出三边长分别为，三个角分别为，利用正弦定理列出关系式，根据二倍角的正弦函数公式化简后，表示出，然后利用余弦定理得到，将表示出的代入，整理后得到关于的方程，求出方程的解得到的值，
【详解】
解：设三角形三边是连续的三个自然，三个角分别为，
由正弦定理可得：，
，
再由余弦定理可得：
，
化简可得：，解得：或（舍去），
∴，故三角形的三边长分别为：,
故选：C.
此题考查了正弦、余弦定理，以及二倍角的正弦函数公式，正弦、余弦定理很好的建立了三角形的边角关系，熟练掌握定理是解本题的关键，属于中档题.
3、C
【解析】
利用二倍角公式化简已知表达式，利用余弦定理化角为边的关系，即可推出三角形的形状．
【详解】
解：因为，所以，
即，由余弦定理可知：，
所以．
所以三角形是直角三角形．
故选：．
本题考查三角形的形状的判断，余弦定理的应用，考查计算能力，属于中档题．
4、B
【解析】
设圆锥的母线长为，根据圆锥的轴截面三角形的相似性，通过圆台的上、下底面半径之比为来求解.
【详解】
设圆锥的母线长为，
因为圆台的上、下底面半径之比为，
所以，
解得.
故选：B
本题主要考查了旋转体轴截面中的比例关系，还考查了运算求解的能力，属于基础题.
5、D
【解析】
试题分析：，当且仅当时等号成立，所以最小值为16
考点：均值不等式求最值
6、A
【解析】
设5人分到的面包数量从小到大记为，设公差为，可得，，求出，根据等差数列的通项公式，得到关于关系式，即可求出结论.
【详解】
设5人分到的面包数量从小到大记为，设公差为，
依题意可得，，
，
，解得，
.
故选:A.
本题以数学文化为背景，考查等差数列的前项和、通项公式基本量的计算，等差数列的性质应用是解题的关键，属于中档题.
7、A
【解析】
设数列{an}的公比为q.由8a2+a5=0,
得a1q(8+q3)=0.
又∵a1q≠0,∴q=-2.
∴===-11.故选A.
8、D
【解析】
先计算的平均值，得到数据中心点，得到答案
【详解】
，
线性回归方程所表示的直线经必经过点，即（7，11）.
故答案选D
本题考查了回归方程，回归方程一定过数据中心点.
9、B
【解析】
利用三角函数的诱导公式，得到，即可求解.
【详解】
由题意，可得，
故选B.
本题主要考查了三角函数的诱导公式的化简、求值，其中解答中熟练应用三角函数的诱导公式是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题.
10、C
【解析】
利用线面、面面之间的位置关系逐一判断即可.
【详解】
对于A，若，，则平行、相交、异面均有可能，故A不正确；
对于B，若，，，则垂直、平行均有可能，故B不正确；
对于C，若，，，根据线面垂直的定义可知
内的两条相交线线与内的两条相交线平行，故，故C正确；
对于D，由C可知，D不正确；
故选：C
本题考查了由线面平行、线面垂直判断线面、线线、面面之间的位置关系，属于基础题.

二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。
11、②③
【解析】
利用等比数列的性质，可得，得出，进而判断②③④，即可得到答案.
【详解】
①中，由等比数列的公比为，且满足，，，
可得，所以，且 所以是错误的；
②中，由等比数列的性质，可得，所以是正确的；
③中，由，且，，所以前项之积的最大值为，所以是正确的；
④中，，
所以正确.
综上可得，正确命题的序号为②③.
故答案为：②③.
本题主要考查了等比数列的性质的应用，其中解答中熟记等比数列的性质，合理推算是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于中档试题.
12、4
【解析】
方程变为，设，解关于的二次方程可求得。
【详解】
，则，即
设，则，有或
取得，，所以是第4项。
发现，原方程可通过换元，变为关于的一个二次方程。对于指数结构，，等，都可以通过换元变为二次形式研究。
13、
【解析】
建立直角坐标系，设，根据，表示出，结合三角函数相关知识即可求得最大值.
【详解】
建立如图所示的平面直角坐标系：

，分别为的中点，，
以为圆心，为半径的圆交于，点在上运动，
设，
，
即，
，所以，两式相加：，
即，
要取得最大值，即当时，

故答案为：
此题考查平面向量线性运算，处理平面几何相关问题，涉及三角换元，转化为求解三角函数的最值问题.
14、
【解析】
根据周期公式即可求解.
【详解】
函数的最小正周期
故答案为：
本题主要考查了正弦型函数的周期，属于基础题.
15、
【解析】
先求出，再求出，再利用余弦定理求出AD得解.
【详解】
依题意得中，，故．

在中，由正弦定理可知，，
得．
在中，因为，
故．
则．
在中，由余弦定理可知，，
即．
得．
本题主要考查正弦定理余弦定理解三角形，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平，属于中档题.
16、
【解析】
根据程序框图，依次计算运行结果，发现输出的S值周期变化，利用终止运行的条件判断即可求解
【详解】
由程序框图得：;
第一次运行
第二次运行
第三次运行故周期为4，
当，程序运行了2019次，，故的值为
故答案为
本题考查程序框图，根据程序的运行功能判断输出值的周期变化是关键，是基础题

三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17、（1）；（2）5.
【解析】
（1）根据正弦定理得，化简即得C的值；（2）先利用余弦定理求出a的值，再求的面积．
【详解】
（1）因为，根据正弦定理得，
又，从而，
由于，所以．
（2）根据余弦定理，而，，，
代入整理得，解得或（舍去）．
故的面积为．
本题主要考查正弦余弦定理解三角形，考查三角形面积的计算，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平，属于基础题.
18、（1）；（2）26；（3）直线恒过定点．证明见解析
【解析】
（1）设圆心，根据则，求得和圆的半径，即可得到圆的方程；
（2）设，化简得，根据圆的性质，即可求解；
（3）设，圆方程，根据两圆相交弦的性质，求得相交弦的方程，进而可判定直线恒过定点．
【详解】
（1）由题意知，圆心在直线上，设圆心为，
又因为圆过点,
则，即，解得，
所以圆心为，半径，
所以圆方程为．
（2）设，则，
又由，
所以，
即的最小值为．
（3）设，则以为直径的圆圆心为，半径为，
则圆方程为，
整理得，
直线为圆与圆的相交弦，
两式相减，可得得直线方程，
即，
令，解得，即直线恒过定点．
本题主要考查了圆的综合应用，其中解答中涉及到圆的标准方程的求解，圆的最值问题的求解，以及两圆的相交弦方程的求解及应用，着重考查了分析问题和解答问题的能力，属于中档试题．
19、（1）或；（2）.
【解析】
（1）利用等差数列性质先求出的值，进而得到公差，最后写出数列的通项公式；
（2）依照题意找出（1）中符合条件的数列，再用等差数列前项和公式求出
数列的前项和．
【详解】
（1）因为等差数列，且，所以
所以，又，所以，于是或
设等差数列的公差为，则或，
的通项公式为：或；
（2）因为成等比数列，所以
所以数列的前项和.
本题主要考查等差数列的性质、通项公式的求法以及等差数列前项和公式，注意分类讨论思想的应用．
20、（1）f(x)＝sin.（2）
【解析】
　试题分析：（1）先利用二倍角公式和辅助角公式化简，再利用周期公式即可求得正解；（2）根据图像变换求出 的表达式，再利用符合函数法求得递减区间.
试题解析：
(1)f(x)＝sin 2ωx＋×－
＝sin 2ωx＋cos 2ωx＝sin，
由题意知，最小正周期T＝2×＝，
T＝＝＝，所以ω＝2，∴f(x)＝sin.
(2)将f(x)的图象向右平移个单位长度后，得到y＝sin的图象，
再将所得图象所有点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，
得到y＝sin的图象．
所以g(x)＝sin.
由，
得
所以所求的单调减区间为
21、 (Ⅰ) ；(Ⅱ)
【解析】
(Ⅰ)根据题中条件，求出，进而可得，再由两角差的正切公式，即可得出结果；
(Ⅱ)根据题中条件，得到，求出，再由，根据两角差的正弦公式，即可求出结果.
【详解】
(Ⅰ)因为，，所以，
因此，
所以；
(Ⅱ)因为， ，所以，
又，所以，所以，
因此.
本题主要考查三角恒等变换，给值求值的问题，熟记公式即可，属于常考题型.