2025年宁夏吴忠市盐池高级中学数学高一第二学期期末调研试题含解析.doc

2025年宁夏吴忠市盐池高级中学数学高一第二学期期末调研试题
注意事项
1．考生要认真填写考场号和座位序号。
2．试题所有答案必须填涂或书写在答题卡上，在试卷上作答无效。第一部分必须用2B 铅笔作答；第二部分必须用黑色字迹的签字笔作答。
3．考试结束后，考生须将试卷和答题卡放在桌面上，待监考员收回。

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的
1．已知，若将它的图象向右平移个单位长度，得到函数的图象，则函数的图象的一条对称轴的方程为（ ）
A． B． C． D．
2．设，是平面内一组基底，若，，，则以下不正确的是（ ）
A． B． C． D．
3．已知满足：，则目标函数的最大值为（ ）
A．6 B．8 C．16 D．4
4．设等差数列的前n项和为，若，则(　　)
A．3 B．4 C．5 D．6
5．若，，则等于( )
A． B． C． D．
6．如图，矩形ABCD中，点E为边CD的中点，若在矩形ABCD内部随机取一个点Q，则点Q取自△ABE内部的概率等于

A． B．
C． D．
7．为了得到函数的图象，只需把函数的图象上所有的点
A．向左平行移动个单位长度
B．向右平行移动个单位长度
C．向左平行移动个单位长度
D．向右平行移动个单位长度
8．长方体中的8个顶点都在同一球面上，，，，则该球的表面积为（ ）．
A． B． C．50 D．
9．已知数列是公差不为零的等差数列，函数是定义在上的单调递增的奇函数，数列的前项和为，对于命题：
①若数列为递增数列，则对一切，
②若对一切，，则数列为递增数列
③若存在，使得，则存在，使得
④若存在，使得，则存在，使得
其中正确命题的个数为（）
A．0 B．1 C．2 D．3
10．已知是边长为4的等边三角形，为平面内一点，则的最小值是（）
A． B． C． D．
二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。
11．在平面直角坐标系xOy中，已知直角中，直角顶点A在直线上，顶点B，C在圆上，则点A横坐标的取值范围是__________.
12．如图，正方体的棱长为2，点在正方形的边界及其内部运动，平面区域由所有满足的点组成，则的面积是__________．

13．已知，，，则的最小值为______．
14．已知，则____________________________．
15．已知在数列中，，，则数列的通项公式______．
16．设是等差数列的前项和，若，则________
三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．各项均不相等的等差数列前项和为，已知，且成等比数列.
（1）求数列的通项公式；
（2）令，求数列的前项和.
18．在平面直角坐标系中，已知圆的方程为，过点的直线与圆交于两点，．
（1）若，求直线的方程；
（2）若直线与轴交于点，设，，，R，求的值．
19．在平面直角坐标系下，已知圆O：，直线l：（）与圆O相交于A，B两点，且.
（1）求直线l的方程；
（2）若点E，F分别是圆O与x轴的左、右两个交点，点D满足，点M是圆O上任意一点，点N在线段上，且存在常数使得，求点N到直线l距离的最小值.
20．为了解人们对某种食材营养价值的认识程度，某档健康养生电视节目组织名营养专家和名现场观众各组成一个评分小组，给食材的营养价值打分（十分制）．下面是两个小组的打分数据：
第一小组

第二小组

（1）求第一小组数据的中位数与平均数，用这两个数字特征中的哪一种来描述第一小组打分的情况更合适？说明你的理由．
（2）你能否判断第一小组与第二小组哪一个更像是由营养专家组成的吗？请比较数字特征并说明理由．
（3）节目组收集了烹饪该食材的加热时间：（单位：）与其营养成分保留百分比的有关数据：
食材的加热时间（单位：）

营养成分保留百分比

在答题卡上画出散点图，求关于的线性回归方程（系数精确到），并说明回归方程中斜率的含义．
附注：参考数据：，.
参考公式：回归方程中斜率和截距的最小二乘估计公式分别为：，．
21．某地统计局调查了10000名居民的月收入，并根据所得数据绘制了样本的频率分布直方图如图所示．

（1）求居民月收入在[3000,3500）内的频率；
（2）根据频率分布直方图求出样本数据的中位数；
（3）为了分析居民的月收入与年龄、职业等方面的关系，必须按月收入再从这10000中用分层抽样的方法抽出100人做进一步分析，则应从月收入在[2500,3000)内的居民中抽取多少人？
参考答案

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的
1、B
【解析】
分析：由左加右减，得出解析式，因为解析式为正弦函数，
所以令，解出，对k进行赋值，得出对称轴.
详解：由左加右减可得，
解析式为正弦函数，则令，
解得：，令，则 ，故选B.
点睛：三角函数图像左右平移时，需注意要把x放到括号内加减，求三角函数的对称轴，则令等于正弦或余弦函数的对称轴公式，求出x解析式，即为对称轴方程.
2、D
【解析】
由已知及平面向量基本定理可得：，问题得解.
【详解】
因为，是平面内一组基底，且，
由平面向量基本定理可得：，
所以，所以D不正确
故选D
本题主要考查了平面向量基本定理的应用，还考查了同角三角函数的基本关系，属于较易题．
3、D
【解析】
作出不等式组对应的平面区域，数形结合，利用z的几何意义，即得。
【详解】
由题得，不等式组对应的平面区域如图，中z表示函数在y轴的截距，由图易得，当函数经过点A时z取到最大值，A点坐标为，因此目标函数的最大值为4.

故选：D
本题考查线性规划，是基础题。
4、C
【解析】
由又，可得公差，从而可得结果.
【详解】
是等差数列

又，
∴公差，
，故选C．
本题主要考查等差数列的通项公式与求和公式的应用，意在考查灵活应用所学知识解答问题的能力，属于中档题.
5、C
【解析】
直接用向量的坐标运算即可得到答案.
【详解】
由，.

故选：C
本题考查向量的坐标运算，属于基础题.
6、C
【解析】
利用几何概型的计算概率的方法解决本题，关键要弄准所求的随机事件发生的区域的面积和事件总体的区域面积，通过相除的方法完成本题的解答．
【详解】
解：由几何概型的计算方法，可以得出所求事件的概率为P=．
故选C．
【点评】
本题考查概率的计算，考查几何概型的辨别，考查学生通过比例的方法计算概率的问题，考查学生分析问题解决问题的能力，考查学生几何图形面积的计算方法，属于基本题型．
7、D
【解析】
试题分析：由题意，为得到函数的图象，只需把函数的图象上所有的点向右平行移动个单位长度，故选D.
【考点】三角函数图象的平移
【名师点睛】本题考查三角函数图象的平移，在函数的图象平移变换中要注意“”的影响，变换有两种顺序：一种的图象向左平移个单位得的图象，再把横坐标变为原来的倍，纵坐标不变，得的图象，另一种是把的图象横坐标变为原来的倍，纵坐标不变，得的图象，再向左平移个单位得的图象．
8、C
【解析】
根据长方体的外接球性质及球的表面积公式，化简即可得解.
【详解】
根据长方体的外接球直径为体对角线长，
则，
所以，
则由球的表面积公式可得，
故选：C.
本题考查了长方体外接球的性质及球表面积公式应用，属于基础题.
9、C
【解析】
利用函数奇偶性和单调性，通过举例和证明逐项分析.
【详解】
①取，，则，故①错；
②对一切，，则，又因为是上的单调递增函数，所以，若递减，设，且
，
且，所以，则
，则
，与题设矛盾，所以递增，故②正确；
③取 ，则，，令，所以，但是，故③错误；
④因为，所以，
所以，
则，
则，则存在，使得，故④正确.
故选：C.
本题函数性质与数列的综合，难度较难.分析存在性问题时，如果比较难分析，也可以从反面去举例子说明命题不成立，这也是一种常规思路.
10、A
【解析】
建立平面直角坐标系，表示出点的坐标，利用向量坐标运算和平面向量的数量积的运算，求得最小值，即可求解.
【详解】
由题意，以中点为坐标原点，建立如图所示的坐标系，
则，
设，则，
所以
，
所以当时，取得最小值为，
故选A.
本题主要考查了平面向量数量积的应用问题，根据条件建立坐标系，利用坐标法是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题.

二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。
11、
【解析】
由题意画出图形，写出以原点为圆心，以为半径的圆的方程，与直线方程联立求得值，则答案可求．
【详解】
如图所示，当点往直线两边运动时，不断变小，
当点为直线上的定点时，直线与圆相切时，最大，
∴当为正方形，则，
则以为圆心，以为半径的圆的方程为．
联立，得．
解得或．
点横坐标的取值范围是．
故答案为：．

本题考查直线与圆位置关系的应用，考查函数与方程思想、转化与化归思想，考查逻辑推理能力和运算求解能力，求解时注意坐标法的应用.
12、
【解析】
,所以点平面区域是底面内以为圆心，以1为半径的外面区域, 则的面积是
13、
【解析】
将所求的式子变形为，展开后可利用基本不等式求得最小值.
【详解】
解：，，，
，当且仅当时取等号．故答案为1．
本题考查了“乘1法”和基本不等式，属于基础题．由于已知条件和所求的式子都是和的形式，不能直接用基本不等式求得最值，使用 “乘1法”之后，就可以利用基本不等式来求得最小值了.
14、
【解析】
分子、分母同除以，将代入化简即可.
【详解】
因为，
所以,
故答案为.
本题主要考查同角三角函数之间的关系的应用，属于基础题. 同角三角函数之间的关系包含平方关系与商的关系，平方关系是正弦与余弦值之间的转换，商的关系是正余弦与正切之间的转换.
15、
【解析】
通过变形可知，累乘计算即得结论．
【详解】
∵（n+1）an＝nan+1，
∴，
∴，，…，，
累乘得：，
又∵a1＝1，
∴an＝n，
故答案为：an＝n．
本题考查数列的通项公式的求法，利用累乘法是解决本题的关键，注意解题方法的积累，属于中档题．
16、5
【解析】
由等差数列的前和公式，求得，再结合等差数列的性质，即可求解.
【详解】
由题意，根据等差数列的前和公式，可得，解得，
又由等差数列的性质，可得.
故答案为：.
本题主要考查了等差数列的性质，以及等差数列的前和公式的应用，其中解答中熟记等差数列的性质，以及合理应用等差数列的前和公式求解是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题.

三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17、（1）；（2）
【解析】
（1）利用等差数列的通项公式和等比数列的性质，可得，则可得通项公式.
（2）根据（1）的结论可得，然后利用裂项相消求和，可得结果.
【详解】
（1）因为各项均不相等，所以公差
由等差数列通项公式
且，
所以，
又成等比数列，所以，
则，化简得，
所以
即
可得
即
（2）由（1）可得
化简可得
由

所以
本题主要考查利用裂项相消法求和，属基础题.
18、（1）（2）
【解析】
（1）设斜率为，则直线的方程为，利用圆的弦长公式，列出方程求得的值，即可得到直线的方程；
（2）当直线的斜率不存在时，根据向量的运算，求得，当直线的斜率存在时，设直线的方程为，联立方程组，利用根与系数的关系，以及向量的运算，求得，得到答案．
【详解】
（1）当直线的斜率不存在时，，不符合题意；
当直线的斜率存在时，设斜率为，则直线的方程为，
所以圆心到直线的距离，
因为，所以，解得，
所以直线的方程为． .
（2）当直线的斜率不存在时，不妨设，，，
因为，，所以，，
所以，，所以．
当直线的斜率存在时，设斜率为，则直线的方程为：，
因为直线与轴交于点，所以．
直线与圆交于点，，设，，
由得，，所以，；
因为，，所以，，
所以，，
所以．
综上，．
本题主要考查了直线与圆的位置关系的应用，以及向量的坐标运算，其中解答中熟记圆的弦长公式，以及联立方程组，合理利用根与系数的关系和向量的运算是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于中档试题．
19、（1）；（2）.
【解析】
（1）等价于圆心O到直线l的距离，再由点到直线的距离公式求解即可；
（2）先设点，再结合题意可得点N在以为圆心，半径为的圆R上，再结合点到直线的距离公式求解即可.
【详解】
解：（1）∵圆O：，圆心，半径，
∵直线l：（）与圆O相交于A，B两点，且，
∴圆心O到直线l的距离，
又，，解得，∴直线l的方程为；
（2）∵点E，F分别是圆O与x轴的左、右两个交点，，
∴，，
设，，
则，，，，
，即.
又∵点N在线段上，即，共线，
，
，
∵点M是圆O上任意一点，
，
∴将m，n代入上式，可得，
即.
则点N在以为圆心，半径为的圆R上.
圆心R到直线l：的距离，
又，故点N到直线l：距离的最小值为1.
本题考查了点到直线的距离公式，重点考查了点的轨迹方程的求法，属中档题.
20、（1）中位数为，平均数为，中位数更适合描述第一小组打分的情况；（2）由可知第二小组的打分人员更像是由营养专家组成；（3）散点图见解析；回归直线为：；的含义：该食材烹饪时间每加热多分钟，则其营养成分大约会减少．
【解析】
（1）将第一小组打分按从小到大排序，根据中位数和平均数的计算方法求得中位数和平均数；由于存在极端数据，可知中位数更适合描述第一小组打分情况；（2）分别计算两组数据的方差，由可知第二小组打分相对集中，其更像是由营养专家组成；（3）由已知数据画出散点图；利用最小二乘法计算可得回归直线；根据的含义，可确定斜率的含义.
【详解】
（1）第一小组的打分从小到大可排序为：，，，，，，，
则中位数为：
平均数为：
可发现第一小组中出现极端数据，会造成平均数偏低
则由以上算得的两个数字特征可知，选择中位数更适合描述第一小组打分的情况．
（2）第一小组：平均数为
方差：
第二小组：
平均数：
方差：
可知，，第一小组的方差远大于第二小组的方差
第二小组的打分相对集中，故第二小组的打分人员更像是由营养专家组成的
（3）由已知数据，得散点图如下，

，且，

则
关于的线性回归方程为：
回归方程中斜率的含义：该食材烹饪时间每加热多分钟，则其营养成分大约会减少．
本题考查计算数据的中位数、平均数和方差、根据方差确定数据的波动性、回归直线的求解问题；考查学生对于统计中的公式的掌握情况，对于学生的计算和求解能力有一定要求，属于常考题型.
21、（1）0.15（2）2400（3）25人
【解析】
(1)由频率分布直方图计算可得月收入在[3000,3500）内的频率；
(2)分别计算小长方形的面积值，利用中位数的特点即可确定中位数的值；
(3)首先确定10000人中月收入在[2500,3000]内的人数，然后结合分层抽样的特点可得应抽取的人数.
【详解】
（1）居民月收入在[3000,3500]内的频率为
（2）因为，
，
，
，
所以样本数据的中位数为.
（3）居民月收入在[2500,3000]内的频率为，
所以这10000人中月收入在[2500,3000]内的人数为.
从这10000人中用分层抽样的方法抽出100人，
则应从月收入在[2500,3000]内的居民中抽取(人).
利用频率分布直方图求众数、中位数和平均数时，应注意三点：①最高的小长方形底边中点的横坐标即是众数；②中位数左边和右边的小长方形的面积和是相等的；③平均数是频率分布直方图的“重心”，等于频率分布直方图中每个小长方形的面积乘以小长方形底边中点的横坐标之和.