2025年山西省大同市云冈区高一下数学期末质量跟踪监视模拟试题含解析.doc

2025年山西省大同市云冈区高一下数学期末质量跟踪监视模拟试题
考生须知：
1．全卷分选择题和非选择题两部分，全部在答题纸上作答。选择题必须用2B铅笔填涂；非选择题的答案必须用黑色字迹的钢笔或答字笔写在“答题纸”相应位置上。
2．请用黑色字迹的钢笔或答字笔在“答题纸”上先填写姓名和准考证号。
3．保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，在草稿纸、试题卷上答题无效。

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的
1．已知某区中小学学生人数如图所示，为了解学生参加社会实践活动的意向，拟采用分层抽样的方法来进行调查。若高中需抽取20名学生，则小学与初中共需抽取的人数为（）

A．30 B．40 C．70 D．90
2．若直线过点，则的最小值等于（ ）
A．3 B．4 C． D．
3．在中，内角，，的对边分别为，，，若，且，则的形状为（ ）
A．等边三角形 B．等腰直角三角形
C．最大角为锐角的等腰三角形 D．最大角为钝角的等腰三角形
4．已知,,三点,则的形状是( )
A．钝角三角形 B．直角三角形
C．锐角三角形 D．等腰直角三角形
5．已知等比数列的公比为正数，且，则 ( )
A． B． C． D．
6．若正实数满足，且恒成立，则实数的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
7．下列条件不能确定一个平面的是（ ）
A．两条相交直线 B．两条平行直线 C．直线与直线外一点 D．共线的三点
8．曲线与过原点的直线没有交点，则的倾斜角的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
9．若样本的平均数为10，其方差为2，则对于样本的下列结论正确的是
A．平均数为20，方差为8 B．平均数为20，方差为10
C．平均数为21，方差为8 D．平均数为21，方差为10
10．已知函数在上是x的减函数，则a的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。
11．已知实数，是与的等比中项，则的最小值是______．
12．如图是一正方体的表面展开图.、、都是所在棱的中点.则在原正方体中：①与异面；②平面；③平面平面；④与平面形成的线面角的正弦值是；⑤二面角的余弦值为.其中真命题的序号是______.

13．某县现有高中数学教师500人，统计这500人的学历情况，得到如下饼状图，该县今年计划招聘高中数学新教师，只招聘本科生和研究生，使得招聘后该县高中数学专科学历的教师比例下降到，且研究生的比例保持不变，则该县今年计划招聘的研究生人数为_______.

14．点到直线的距离为________.
15．如图，两个正方形，边长为2，.将绕旋转一周，则在旋转过程中，与平面的距离最大值为______.

16．设，，，则，，从小到大排列为______
三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．如图，在四棱锥中，，侧面底面.

（1）求证：平面平面；
（2）若，且二面角等于，求直线与平面所成角的正弦值.
18．已知关于直线对称，且圆心在轴上.
（1）求的标准方程；
（2）已知动点在直线上，过点引的两条切线、，切点分别为.
①记四边形的面积为，求的最小值；
②证明直线恒过定点.
19．已知函数.
（1）用五点法作图，填表井作出的图像.
x

0

y

（2）求在，的最大值和最小值；
（3）若不等式在上恒成立，求实数m的取值范围.
20．已知函数.
（1）求的单调增区间；
（2）求的图像的对称中心与对称轴.
21．已知圆，过点的直线与圆相交于不同的两点，．
（1）若，求直线的方程．
（2）判断是否为定值．若是，求出这个定值；若不是，请说明理由．
参考答案

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的
1、C
【解析】
根据高中抽取的人数和高中总人数计算可得抽样比；利用小学和初中总人数乘以抽样比即可得到结果.
【详解】
由题意可得，抽样比为：
则小学和初中共抽取：人
本题正确选项：
本题考查分层抽样中样本数量的求解，关键是能够明确分层抽样原则，准确求解出抽样比，属于基础题.
2、C
【解析】
将代入直线方程得到，利用均值不等式得到的最小值.
【详解】
将代入直线方程得到

当时等号成立
故答案选C
本题考查了直线方程，均值不等式，1的代换是解题的关键.
3、D
【解析】
先由余弦定理，结合题中条件，求出，再由，求出，进而可得出三角形的形状.
【详解】
因为，
所以，，
所以.
又，所以，则的形状为最大角为钝角的等腰三角形.
故选D
本题主要考查三角形的形状的判定，熟记余弦定理即可，属于常考题型.
4、D
【解析】
计算三角形三边长度，通过边关系进行判断.
【详解】
由两点之间的距离公式可得：
，
，
，
因为，且
故该三角形为等腰直角三角形.
故选：D.
本题考查两点之间的距离公式，属基础题.
5、D
【解析】
设公比为，由已知得，即，又因为等比数列的公比为正数，所以，故，故选D.
6、A
【解析】
先利用基本不等求出的最小值，然后根据恒成立，可得，再求出a的范围．
【详解】
因为正实数x，y满足，
，
当且仅当，即时取等号，
恒成立，所以只需，
，，
的取值范围为，
故选：A.
本题主要考查不等式恒成立问题以及基本不等式求最值，解题时注意“一正、二定、三相等”的应用，本题属于中档题.
7、D
【解析】
根据确定平面的公理和推论逐一判断即可得解．
【详解】
解：对选项：经过两条相交直线有且只有一个平面，故错误．
对选项：经过两条平行直线有且只有一个平面，故错误．
对选项：经过直线与直线外一点有且只有一个平面，故错误．
对选项：过共线的三点，有无数个平面，故正确；
故选：．
本题主要考查确定平面的公理及推论．解题的关键是要对确定平面的公理及推论理解透彻，属于基础题．
8、A
【解析】
作出曲线的图形，得出各射线所在直线的倾斜角，观察直线在绕着原点旋转时，直线与曲线没有交点时，直线的倾斜角的变化，由此得出的取值范围.
【详解】
当，时，由得，该射线所在直线的倾斜角为；
当，时，由得，该射线所在直线的倾斜角为；
当，时，由得，该射线所在直线的倾斜角为；
当，时，由得，该射线所在直线的倾斜角为.
作出曲线的图象如下图所示：

由图象可知，要使得过原点的直线与曲线没有交点，
则直线的倾斜角的取值范围是，故选：A.
本题考查直线倾斜角的取值范围，考查数形结合思想，解题的关键就是作出图形，利用数形结合思想进行求解，属于中等题.
9、A
【解析】
利用和差积的平均数和方差公式解答.
【详解】
由题得样本的平均数为，方差为.
故选A
本题主要考查平均数和方差的计算，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平，属于基础题.
10、C
【解析】
由复合函数单调性及函数的定义域得不等关系．
【详解】
由题意，解得．
故选：C．
本题考查对数型复合函数的单调性，解题时要注意对数函数的定义域．

二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。
11、
【解析】
通过是与的等比中项得到，利用均值不等式求得最小值.
【详解】
实数是与的等比中项，
，解得．
则，当且仅当时，即时取等号．
故答案为:．
本题考查了等比中项，均值不等式，1的代换是解题的关键.
12、①②④
【解析】
将正方体的表面展开图还原成正方体，利用正方体中线线、线面以及面面关系，以及直线与平面所成角的定义和二面角的定义进行判断.
【详解】
根据条件将正方体进行还原如下图所示：

对于命题①，由图形可知，直线与异面，命题①正确；
对于命题②，、分别为所在棱的中点，易证四边形为平行四边形，
所以，，平面，平面，平面，命题②正确；
对于命题③，在正方体中，平面，
由于四边形为平行四边形，，平面.
、平面，，.
则二面角所成的角为，显然不是直角，
则平面与平面不垂直，命题③错误；
对于命题④，设正方体的棱长为，易知平面，则与平面所成的角为，由勾股定理可得，，
在中，，即直线与平面所成线面角的正弦值为，命题④正确；
对于命题⑤，在正方体中，平面，且，平面.
、平面，，，
所以，二面角的平面角为，
在中，由勾股定理得，，
由余弦定理得，命题⑤错误.
故答案为①②④.
本题考查命题真假的判断，考查空间中线线、线面、面面关系的判断以及线面角、二面角的计算，判断时要从空间中有关线线、线面、面面关系的平行或垂直的判定或性质定理出发进行推导，在计算空间角时，则应利用空间角的定义来求解，考查推理能力与运算求解能力，属于中等题.
13、50
【解析】
先计算出招聘后高中数学教师总人数，然后利用比例保持不变，得到该县今年计划招聘的研究生人数.
【详解】
招聘后该县高中数学专科学历的教师比例下降到，
则招聘后，该县高中数学教师总人数为，
招聘后研究生的比例保持不变，
该县今年计划招聘的研究生人数为.
本题主要考查学生的阅读理解能力和分析能力，从题目中提炼关键字眼“比例保持不变”是解题的关键.
14、3
【解析】
根据点到直线的距离公式，代值求解即可.
【详解】
根据点到直线的距离公式，
点到直线的距离为.
故答案为：3.
本题考查点到直线的距离公式，属基础题.
15、
【解析】
绕旋转一周得到的几何体是圆锥，点的轨迹是圆.过作平面平面，交平面于.的轨迹在平面内.画出图像，根据图像判断出圆的下顶点距离平面的距离最大，解三角形求得这个距离的最大值.
【详解】
绕旋转一周得到的几何体是圆锥，故点的轨迹是圆.过作平面平面，交平面于.的轨迹在平面内.画出图像如下图所示，根据图像作法可知，当位于圆心的正下方点位置时，到平面 的距离最大.在平面内，过作，交于.在中，,.所以①.其中，，所以①可化为.
故答案为：

本小题主要考查旋转体的概念，考查空间点到面的距离的最大值的求法，考查空间想象能力和运算能力，属于中档题.
16、
【解析】
首先利用辅助角公式，半角公式，诱导公式分别求出，，的值，然后结合正弦函数的单调性对，，排序即可.
【详解】
由题知，
，

，
因为正弦函数在上单调递增，
所以.
故答案为：.
本题考查了辅助角公式，半角公式，诱导公式，正弦函数的单调区间，属于基础题.

三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17、（1）证明见解析；（2）.
【解析】
（1）由得，，由侧面底面得侧面，由面面垂直的判定即可证明；（2）由侧面，可得， 得是二面角的平面角，，推得为等腰直角三角形，取的中点，连接可得，由平面平面，得平面，证明平面，得点到平面的距离等于点到平面的距离，，再利用求解即可
【详解】
（1）证明：由可得，
因为侧面底面，交线为底面且
则侧面，平面
所以，平面平面 ；
（2）由侧面可得，，
则是二面角的平面角，
由可得，为等腰直角三角形
取的中点，连接可得
因为平面平面，交线为平面且
所以平面，点到平面的距离为.
因为平面
则平面
所以点到平面的距离等于点到平面的距离，.
设，则
在中，；在中，
设直线与平面所成角为
即
所以，直线与平面所成角的正弦值为.

本题考查面面垂直的判定，二面角及线面角的求解，考查空间想象能与运算求解能力，关键是线面平行的性质得到点D到面的距离,是中档题
18、（1）（2）① ②证明见解析
【解析】
（1）根据圆的一般式，可得圆心坐标，将圆心坐标代入直线方程，结合圆心在轴上，即可求得圆C的标准方程．
（2）①根据切线性质及切线长定理，表示出的长，根据圆的性质可知当最小时，即可求得面积的最小值；②设出M点坐标，根据两条切线可知M、A、C、B四点共圆，可得圆心坐标及半径，进而求得的方程，根据两个圆公共弦所在直线方程求法即可得直线方程，进而求得过的定点坐标．
【详解】
（1）由题意知，
圆心在直线上，即，
又因为圆心在轴上，
所以，
由以上两式得：，，
所以.
故的标准方程为.
（2）①如图，的圆心为，半径，

因为、是的两条切线，
所以，，
故
又因为，
根据平面几何知识，要使最小，只要最小即可.
易知，当点坐标为时，
.
此时.
②设点的坐标为，
因为，
所以、、、四点共圆.
其圆心为线段的中点，，
设所在的圆为，
所以的方程为：，
化简得：，
因为是和的公共弦，
所以，两式相减得，
故方程为：，
当时，，
所以直线恒过定点.
本题考查了圆的一般方程与标准方程的应用，圆中三角形面积问题的应用，直线过定点问题，综合性强，属于难题．
19、（1）见解析；（2）时，，时，；（3）.
【解析】
（1）当时，求出相应的x，然后填入表中；标出5个点，然后用一条光滑的曲线把它们连接起来；
（2）先根据x的范围求出的范围，再由正弦函数的性质可求出函数的最大值和最小值；
（3）不等式在上恒成立，转化为在上恒成立，进一步转化为m-2，m+2与函数在上的最值关系，列不等式后求得实数m的取值范围.
【详解】
（1）
x

0

y
1
3
1
-1
0

（2），，即，所以的最大值为3，最小值为2.
（3），，由（2）知，，，且，即m的取值范围为.
本题考查正弦函数的最值和恒成立问题，把不等式恒成立问题转化为含m的代数式与的最值关系的问题是解决本题的关键，属于中档题.
20、（1）；（2）对称中心，；对称轴为
【解析】
利用诱导公式可将函数化为；
（1）令，求得的范围即为所求单调增区间；
（2）令，求得即为对称中心横坐标，进而得到对称中心；令，求得即为对称轴.
【详解】

（1）令，，解得：，
的单调递增区间为
（2）令，，解得：，
的对称中心为，
令，，解得：，
的对称轴为
本题考查正弦型函数单调区间、对称轴和对称中心的求解，涉及到诱导公式化简函数的问题；关键是能够熟练掌握整体对应的方式，结合正弦函数的性质来求解单调区间、对称轴和对称中心.
21、（1）或．（2）是，定值．
【解析】
（1）根据题意设出，再联立直线方程和圆的方程，得到，，然后由列式，再将的值代入求解，即可求出；
（2）先根据特殊情况，当直线与轴垂直时，求出，再说明当直线与轴不垂直时， 是否成立，即可判断．
【详解】
（1）由已知得不与轴垂直，不妨设，，．
联立消去得，
则有
，
又，，

，解得或．
所以，直线的方程为或．
（2）当直线与轴垂直时（斜率不存在），，的坐标分别为，，
此时．
当不与轴垂直时，
又由（1），，且，
所以．
综上，为定值．
本题主要考查直线与圆的位置关系的应用，韦达定理的应用，数量积的坐标表示，以及和圆有关的定值问题的解法的应用，意在考查学生的数学运算能力，属于中档题．