2025届荆门市龙泉中学数学高一下期末综合测试模拟试题含解析.doc

2025届荆门市龙泉中学数学高一下期末综合测试模拟试题
注意事项
1．考生要认真填写考场号和座位序号。
2．试题所有答案必须填涂或书写在答题卡上，在试卷上作答无效。第一部分必须用2B 铅笔作答；第二部分必须用黑色字迹的签字笔作答。
3．考试结束后，考生须将试卷和答题卡放在桌面上，待监考员收回。

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的
1．已知β为锐角，角α的终边过点（3，4），sin（α+β）＝，则cosβ＝（）
A． B． C． D．或
2．已知向量，，，若，则（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
3．如图，网格纸上小正方形的边长均为1，粗线画出的是某几何体的三视图，则该几何体的体积为（　　）

A．34 B．42 C．54 D．72
4．在中，（，，分别为角、、的对边），则的形状为（ ）
A．等边三角形 B．直角三角形
C．等腰三角形或直角三角形 D．等腰直角三角形
5．数列是各项均为正数的等比数列，数列是等差数列，且，则（ ）
A． B．
C． D．
6．如果存在实数，使成立，那么实数的取值范围是（ ）
A． B．或
C．或 D．或
7．单位圆中，的圆心角所对的弧长为( )
A． B． C． D．
8．在中，如果，，，则此三角形有（ ）
A．无解 B．一解 C．两解 D．无穷多解
9．计算机中常用十六进制是逢16进1的计数制，采用数字0～9和字母A～F共16个计数符号，这些符号与十进制的数的对应关系如下表：
16进制
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
A
B
C
D
E
F
10进制
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
现在，将十进制整数2019化成16进制数为（ ）
A．7E3 B．7F3 C．8E3 D．8F3
10．中，已知，则角（ ）
A．90° B．105° C．120° D．135°
二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。
11．已知函数，的最小正周期是___________.
12．用数学归纳法证明“”，在验证成立时，等号左边的式子是______.
13．经过点且在x轴上的截距等于在y轴上的截距的直线方程是________.
14．已知数列中，，当时，，数列的前项和为_____．
15．已知直线是函数（其中）图象的一条对称轴，则的值为________.
16．三棱锥的各顶点都在球的球面上，，平面，，，球的表面积为，则的表面积为_______．
三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．已知向量，．
（1）若，求的值．
（2）记，在中，满足，求函数的取值范围．
18．在中，角，，所对的边分别为，，，且.
（Ⅰ）求角的大小；
（Ⅱ）若的面积为，其外接圆的半径为，求的周长.
19．在海上进行工程建设时，一般需要在工地某处设置警戒水域；现有一海上作业工地记为点，在一个特定时段内，以点为中心的1海里以内海域被设为警戒水域，点正北海里处有一个雷达观测站，某时刻测得一艘匀速直线行驶的船只位于点北偏东且与点相距10海里的位置，经过12分钟又测得该船已行驶到点北偏东且与点相距海里的位置.
（1）求该船的行驶速度（单位：海里/小时）；
（2）若该船不改变航行方向继续行驶.试判断它是否会进入警戒水域（点与船的距离小于1海里即为进入警戒水域），并说明理由.
20．如图，函数，其中的图象与y轴交于点．

（1）求的值；
（2）求函数的单调递增区间；
（3）求使的x的集合．
21．化简.
参考答案

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的
1、B
【解析】
由题意利用任意角的三角函数的定义求得 sinα和cosα，再利用同角三角函数的基本关系求得cos（α+β）的值，再利用两角差的余弦公式求得cosβ＝cos[（α+β）﹣α]的值．
【详解】
β为锐角，角α的终边过点（3，4），∴sinα，cosα，sin（α+β）sinα，
∴α+β为钝角，∴cos（α+β），
则cosβ＝cos[（α+β）﹣α]＝cos（α+β） cosα+sin（α+β） sinα••，
故选B．
本题主要考查任意角的三角函数的定义，同角三角函数的基本关系、两角和差的余弦公式的应用，属于基础题．
2、A
【解析】
利用坐标表示出，根据垂直关系可知，解方程求得结果.
【详解】
，
，解得：
本题正确选项：
本题考查向量垂直关系的坐标表示，属于基础题.
3、C
【解析】
还原几何体得四棱锥E﹣ABCD，由图中数据利用椎体的体积公式求解即可.
【详解】
依三视图知该几何体为四棱锥E﹣ABCD，如图，ABCD是直角梯形，是棱长为6的正方体的一部分，梯形的面积为：，
几何体的体积为：．
故选：C．

本题考查三视图求几何体的体积，由三视图正确还原几何体和补形是解题的关键，考查空间想象能力．
4、B
【解析】
利用二倍角公式，正弦定理，结合和差公式化简等式得到，得到答案.
【详解】

故答案选B
本题考查了正弦定理，和差公式，意在考查学生的综合应用能力.
5、B
【解析】
分析：先根据等比数列、等差数列的通项公式表示出、，然后表示出和，然后二者作差比较即可．
详解：∵an=a1qn﹣1，bn=b1+（n﹣1）d，
∵，∴a1q4=b1+5d，
=a1q2+a1q6
=2（b1+5d）=2b6=2a5
﹣2a5= a1q2+a1q6﹣2a1q4 =a1q2（q2﹣1）2≥0
所以≥
故选B．
点睛：本题主要考查了等比数列的性质．比较两数大小一般采取做差的方法．属于基础题．
6、A
【解析】
根据，可得，再根据基本不等式取等的条件可得答案.
【详解】
因为，
所以，
即，即，
又（当且仅当时等号成立）
所以，所以.
故选：A
本题考查了余弦函数的值域，考查了基本不等式取等的条件，属于中档题.
7、B
【解析】
将转化为弧度，即可得出答案.
【详解】
，因此，单位圆中，的圆心角所对的弧长为.
故选B.
本题考查角度与弧度的转化，同时也考查了弧长的计算，考查计算能力，属于基础题.
8、C
【解析】
计算出的值，然后比较、、三者的大小关系，可得出此三角形解的个数.
【详解】
由题意得，则，因此，该三角形有两解，故选C.
本题考查三角形解的个数的判断，解题时要熟悉三角形解的个数的判断条件，考查分析问题和解决问题的能力，属于中等题.
9、A
【解析】
通过竖式除法，用2019除以16，取其余数，再用商除以16，取其余数，直至商为零，将余数逆着写出来即可.
【详解】
用2019除以16，得余数为3，商为126；
用126除以16，得余数为14，商为7；
用7除以16，得余数为7，商为0；
将余数3,14,7逆着写，即可得7E3.
故选：A.
本题考查进制的转化，只需按照流程执行即可.
10、C
【解析】
由诱导公式和两角差的正弦公式化简已知不等式可求得关系，求出后即可求得．
【详解】
，
∴，是三角形内角，，，则
由得，∴，从而．
故选：C.
本题考查两角差的正弦公式和诱导公式，考查正弦函数性质．已知三角函数值只要确定了角的范围就可求角．

二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。
11、
【解析】
先化简函数f(x)，再利用三角函数的周期公式求解.
【详解】
由题得，
所以函数的最小正周期为.
故答案为
本题主要考查和角的正切和正切函数的周期的求法，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平，属于基础题.
12、
【解析】
根据左边的式子是从开始，结束，且指数依次增加1求解即可.
【详解】
因为左边的式子是从开始，结束，且指数依次增加1
所以，左边的式子为，
故答案为.
项数的变化规律，是利用数学归纳法解答问题的基础，也是易错点，要使问题顺利得到解决，关键是注意两点：一是首尾两项的变化规律；二是相邻两项之间的变化规律.
13、或
【解析】
当直线不过原点时，设直线的方程为，把点代入求得的值，即可求得直线方程，当直线过原点时，直线的方程为，综合可得答案.
【详解】
当直线不过原点时，设直线的方程为，
把点代入可得：，即
此时直线的方程为：
当直线过原点时，直线的方程为，即
综上可得：满足条件的直线方程为：或
故答案为：或
过原点的直线横纵截距都为0，在解题的时候容易漏掉.
14、．
【解析】
首先利用数列的关系式的变换求出数列为等差数列，进一步求出数列的通项公式，最后求出数列的和．
【详解】
解：数列中，，当时，，
整理得，
即，
∴数列是以为首项，6为公差的等差数列，
故，
所以，
故答案为：．
本题主要考查定义法判断等差数列，考查等差数列的前项和，考查运算能力和推理能力，属于中档题．
15、
【解析】
根据正弦函数图象的对称性可得，由此可得答案.
【详解】
依题意得，
所以，
即，
因为，所以或，
故答案为：
本题考查了正弦函数图象的对称轴，属于基础题.
16、
【解析】
根据题意可证得，而，所以球心为的中点．由球的表面积为，即可求出，继而得出的值，求出三棱锥的表面积．
【详解】
如图所示：
∵，平面，∴，又，故球心为的中点．
∵球的表面积为，∴，即有．
∴，．
∴，，
，．
故的表面积为．
故答案为：．
本题主要考查三棱锥的表面积的求法，球的表面积公式的应用，意在考查学生的直观想象能力和数学运算能力，属于基础题．

三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17、（1）；（2）
【解析】
（1）求出数量积，由二倍角公式和两角和的正弦公式化简，求出，然后结合诱导公式和余弦的二倍角公式可求值；
（2）应用两角和的正弦公式可求得，得有范围，由（1）的结论得，即其范围．
【详解】
（1）由题意，，
．
（2）由（1），
由得
，
三角形中，∴，．则，，
∴．
本题考查平面向量数量积的坐标表示，考查两角和正弦公式，二倍角公式，考查三角函数的性质．解题中利用三角公式化简变形是解题关键，本题属于中档题．
18、（Ⅰ）；（Ⅱ）
【解析】
（Ⅰ）由由正弦定理得，进而得到，求得，即可求解；
（Ⅱ）由（Ⅰ）和正弦定理，求得，再由余弦定理得，利用三角形的面积公式，求得，进而求得的值，得出三角形的周长.
【详解】
（Ⅰ）由题意，因为，
由正弦定理，得，
即，
由，得，
又由，则，
所以，解得，
又因为，所以.
（Ⅱ）由（Ⅰ）知，且外接圆的半径为，
由正弦定理可得，解得，
由余弦定理得，可得，
因为的面积为，解得，
所以，解得：，
所以的周长.
本题主要考查了三角恒等变换的应用，以及正弦定理、余弦定理和三角形的面积公式的应用，其中在解有关三角形的题目时，要抓住题设条件和利用某个定理的信息，合理应用正弦定理和余弦定理求解是解答的关键，着重考查了运算与求解能力，属于基础题.
19、（1）海里/小时；（2）该船不改变航行方向则会进入警戒水域，理由见解析.
【解析】
（1）建立直角坐标系，首先求出位置与位置的距离，然后除以经过的时间即可求出船的航行速度；
（2）求出位置与位置所在直线方程，求出位置与直线的距离与1海里对比即可.
【详解】
（1）如图建立平面直角坐标系：设一个单位长度为1海里，

则坐标中，，，，
再由方位角可求得：，，
所以，
又因为12分钟=0.2小时，
则（海里/小时），
所以该船行驶的速度为海里/小时；
（2）直线的斜率为，
所以直线的方程为：，
即，
所以点到直线的距离为，
即该船不改变航行方向行驶时离点的距离小于1海里，
所以若该船不改变航行方向则会进入警戒水域.
本题主要考查了直角坐标系中两点间距离的计算，直线与圆的位置关系，属于一般题.
20、（1）,（2），,（3）
【解析】
（1）由函数图像过定点，代入运算即可得解；
（2）由三角函数的单调增区间的求法求解即可；
（3）由，求解不等式即可得解.
【详解】
解：（1）因为函数图象过点，
所以，即．因为，所以．
（2）由（1）得，
所以当，，
即，时，
是增函数，故的单调递增区间为，．
（3）由，得，
所以，，
即，，
所以时，x的集合为．
本题考查了利用函数图像的性质求解函数解析式，重点考查了三角函数单调区间的求法及解三角不等式，属基础题.
21、
【解析】
利用诱导公式进行化简，即可得到答案.
【详解】
原式
.
本题考查诱导公式的应用，考查运算求解能力，求解时注意奇变偶不变，符号看象限这一口诀的应用.