2024-2025学年牛栏山一中高一下数学期末考试试题含解析.doc

2024-2025学年牛栏山一中高一下数学期末考试试题
注意事项：
1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的
1．已知等差数列中，则（　）
A．10 B．16 C．20 D．24
2．已知过原点的直线与圆C：相交于不同的两点，且线段的中点坐标为，则弦长为（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
3．已知点、、在圆上运动，且，若点的坐标为，的最大值为（ ）
A． B． C． D．
4．已知，且 ，则的最小值为（ ）
A．8 B．12 C．16 D．20
5．某工厂利用随机数表对生产的600个零件进行抽样测试，先将600个零件进行编号，编号分别为001，002，…，599，600从中抽取60个样本，如下提供随机数表的第4行到第6行：
32 21 18 34 29 78 64 54 07 32 52 42 06 44 38 12 23 43 56 77 35 78 90 56 42
84 42 12 53 31 34 57 86 07 36 25 30 07 32 86 23 45 78 89 07 23 68 96 08 04
32 56 78 08 43 67 89 53 55 77 34 89 94 83 75 22 53 55 78 32 45 77 89 23 45
若从表中第6行第6列开始向右依次读取3个数据，则得到的第6个样本编号为（　　）
A．522 B．324 C．535 D．578
6．函数则＝（ ）
A． B． C．2 D．0
7． 下列函数中，图象的一部分如图所示的是 （ ）

A． B．
C． D．
8．某市新上了一批便民公共自行车，有绿色和橙黄色两种颜色，且绿色公共自行车和橙黄色公共自行车的数量比为2∶1，现在按照分层抽样的方法抽取36辆这样的公共自行车放在某校门口，则其中绿色公共自行车的辆数是( )
A．8 B．12 C．16 D．24
9．的内角的对边分别为,若 ,则（ ）
A． B． C． D．
10．在平行四边形中，，若点满足且，则

A．10 B．25 C．12 D．15
二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。
11．在高一某班的元旦文艺晚会中，有这么一个游戏：一盒子内装有6张大小和形状完全相同的卡片，每张卡片上写有一个成语，它们分别为意气风发、风平浪静、心猿意马、信马由缰、气壮山河、信口开河，从盒内随机抽取2张卡片，若这2张卡片上的2个成语有相同的字就中奖，则该游戏的中奖率为________.
12．已知函数的部分图象如图所示，则的解析式是__________．

13．如果，，则的值为________（用分数形式表示）
14．一个扇形的圆心角是2弧度，半径是4，则此扇形的面积是______.
15．已知函数f(n)＝n2cos(nπ)，且an＝f(n)＋f(n＋1)，则a1＋a2＋a3＋…＋a100＝_______
16．已知，，则______．
三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．已知公差不为零的等差数列的前项和为，，且成等比数列.
(1)求数列的通项公式；
(2)若，数列的前项和为，求.
18．已知等比数列的首项为，公比为，它的前项和为.
（1）若，，求；
（2）若，，且，求.
19．如图，函数，其中的图象与y轴交于点．

（1）求的值；
（2）求函数的单调递增区间；
（3）求使的x的集合．
20．对某校高三年级学生参加社区服务次数进行统计，随机抽取名学生作为样本，得到这名学生参加社区服务的次数．根据此数据作出了频数与频率的统计表和频率分布直方图：
分组
频数
频率

24

4
0.1

2
0.05
合计

1

（1）求出表中，及图中的值；
（2）若该校高三学生有240人，试估计该校高三学生参加社区服务的次数在区间内的人数；
（3）在所取样本中，从参加社区服务的次数不少于20次的学生中任选2人，求至多一人参加社区服务次数在区间内的概率．
21．设函数f（x）＝2cos2x﹣cos（2x﹣）．
（1）求f（x）的周期和最大值；
（2）已知△ABC中，角A．B．C的对边分别为A，B，C，若f（π﹣A）＝，b+c＝2，求a的最小值．
参考答案

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的
1、C
【解析】
根据等差数列性质得到，再计算得到答案.
【详解】
已知等差数列中，

故答案选C
本题考查了等差数列的性质，是数列的常考题型.
2、A
【解析】
根据两直线垂直，斜率相乘等于-1，求得直线的斜率为，进而求出圆心到直线的距离，再代入弦长公式求得弦长值.
【详解】
圆的标准方程为：，设圆心，
，，
，，
直线的方程为：，
到直线的距离，
.
求直线与圆相交的弦长问题，核心是利用点到直线的距离公式，求圆心到直线的距离.
3、C
【解析】
由题意可知为圆的一条直径，由平面向量加法的平行四边形法则可得（为坐标原点），然后利用平面向量模的三角不等式以及圆的几何性质可得出的最大值.
【详解】
如下图所示：

，为圆的一条直径，
由平面向量加法的平行四边形法则可得（为坐标原点），
由平面向量模的三角不等式可得，
当且仅当点的坐标为时，等号成立，
因此，的最大值为.
故选：C.
本题考查向量模的最值问题，涉及平面向量模的三角不等式以及圆的几何性质的应用，考查数形结合思想的应用，属于中等题.
4、C
【解析】
由题意可得，则，展开后利用基本不等式，即可求出结果．
【详解】
因为，且，即为，
则，当且仅当，即取得等号，则的最小值为.
故选：C．
本题考查基本不等式的应用，注意等号成立的条件，考查运算能力，属于中档题．
5、D
【解析】
根据随机抽样的定义进行判断即可．
【详解】
第行第列开始的数为（不合适），，（不合适），，，，（不合适），（不合适），，（重复不合适），
则满足条件的6个编号为，，，，，
则第6个编号为
本题正确选项：
本题主要考查随机抽样的应用，根据定义选择满足条件的数据是解决本题的关键．
6、B
【解析】
先求得的值，进而求得的值.
【详解】
依题意，，故选B.
本小题主要考查分段函数求值，考查运算求解能力，属于基础题.
7、D
【解析】
设图中对应三角函数最小正周期为T，从图象看出，T=，
所以函数的最小正周期为π，函数应为y=向左平移了个单位，
即=，选D.
8、D
【解析】
设放在该校门口的绿色公共自行车的辆数是x，则 ，解得x＝1．
故选D
9、B
【解析】
首先通过正弦定理将边化角，于是求得，于是得到答案.
【详解】
根据正弦定理得：，即，而，所以，又为三角形内角，所以，故选B.
本题主要考查正弦定理的运用，难度不大.
10、C
【解析】
先由题意，用，表示出，再由题中条件，根据向量数量积的运算，即可求出结果.
【详解】
因为点满足，
所以，
则

故选C.
本题主要考查向量数量积的运算，熟记平面向量基本定理以及数量积的运算法则即可，属于常考题型.

二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。
11、
【解析】
先列举出总的基本事件，在找出其中有2个成语有相同的字的基本事件个数，进而可得中奖率.
【详解】
解：先观察成语中的相同的字，用字母来代替这些字，气—A，风—B，马—C，信—D，河—E，意—F，用ABF，B，CF，CD，AE，DE分别表示成语意气风发、风平浪静、心猿意马、信马由缰、气壮山河、信口开河，
则从盒内随机抽取2张卡片有
共15个基本事件，
其中有相同字的有共6个基本事件，
该游戏的中奖率为，
故答案为：.
本题考查古典概型的概率问题，关键是要将符合条件的基本事件列出，是基础题.
12、
【解析】
分析：首先根据函数图象得函数的最大值为2，得到，然后算出函数的周期，利用周期的公式，得到，最后将点
代入，得： 结合，可得
所以的解析式是．
详解：根据函数图象得函数的最大值为2，得，又∵函数的周期 ，利用周期的公式，可得，
将点 代入，得： 结合，可得
所以的解析式是．
点睛：本题给出了函数y=Asin（ωx+φ）的部分图象，要确定其解析式，着重考查了三角函数基本概念和函数y=Asin（ωx+φ）的图象与性质的知识点，属于中档题．
13、
【解析】
先求出，可得，再代值计算即可.
【详解】

.
故答案为：
本题考查了等差数列的前项和公式、累乘相消法，考查了学生的计算能力，属于基础题.
14、16
【解析】
利用公式直接计算即可.
【详解】
扇形的面积.
故答案为：.
本题考查扇形的面积，注意扇形的面积公式有两个：，其中为扇形的半径，为圆心角的弧度数，为扇形的弧长，可根据题设条件合理选择一个，本题属于基础题.
15、－1
【解析】
分n为偶数和奇数求得数列的奇数项和偶数项均为等差数列，然后利用分组求和得答案．
【详解】
若n为偶数，则an＝f（n）+f（n+1）＝n2﹣（n+1）2＝﹣（2n+1），
偶数项为首项为a2＝﹣5，公差为﹣4的等差数列；
若n为奇数，则an＝f（n）+f（n+1）＝﹣n2+（n+1）2＝2n+1，
奇数项为首项为a1＝3，公差为4的等差数列．
∴a1+a2+a3+…+a1 ＝（a1+a3+…+a99）+（a2+a4+…+a1）
1．
故答案为：1．
本题考查数列递推式，考查了等差关系的确定，训练了等差数列前n项和的求法，是中档题．
16、
【解析】
由，然后利用两角差的正切公式可计算出的值.
【详解】
.
故答案为：.
本题考查利用两角差的正切公式求值，解题的关键就是弄清所求角与已知角之间的关系，考查计算能力，属于基础题.

三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17、 (1)；（2）．
【解析】
试题分析：（1）利用等差等比基本公式，计算数列的通项公式；（2）利用裂项相消法求和.
试题解析：
(1)设公差为，因为，，成等数列，
所以，即，
解得，或(舍去)，
所以.
(2)由(1)知，
所以，
，
所以.
18、（1）；（2）.
【解析】
（1）根据题意建立和的方程组，求出这两个量，然后利用等比数列的通项公式可求出；
（2）分、、三种情况讨论，然后利用等比数列的求和公式求出和，即可计算出.
【详解】
（1）若，则，得，则，这与矛盾，则，
所以，，解得，因此，；
（2）当时，则，所以，；
当时，，，
则，此时;
当时，则.
因此，.
本题考查等比数列通项公式的计算，同时也考查了与等比数列前项和相关的数列极限的计算，解题时要注意对公比的取值进行分类讨论，考查运算求解能力，属于中等题.
19、（1）,（2），,（3）
【解析】
（1）由函数图像过定点，代入运算即可得解；
（2）由三角函数的单调增区间的求法求解即可；
（3）由，求解不等式即可得解.
【详解】
解：（1）因为函数图象过点，
所以，即．因为，所以．
（2）由（1）得，
所以当，，
即，时，
是增函数，故的单调递增区间为，．
（3）由，得，
所以，，
即，，
所以时，x的集合为．
本题考查了利用函数图像的性质求解函数解析式，重点考查了三角函数单调区间的求法及解三角不等式，属基础题.
20、 (1)；；；(2) 60人．(3)
【解析】
（1）根据频率，频数和样本容量之间的关系即频率等于频数除以样本容量，写出算式，求出式子中的字母的值；
（2）该校高三学生有240人，分组内的频率是0.25，估计该校高三学生参加社区服务的次数在此区间内的人数为60人；
（3）设在区间内的人为，，，，在区间内的人为，，写出任选2人的所有基本事件，利用对立事件求得答案.
【详解】
（1）由分组内的频数是10，频率是0.25知，，
∴．
∵频数之和为40，
∴，，．
∵是对应分组的频率与组距的商，
∴；
（2）因为该校高三学生有240人，分组内的频率是0.25，
∴估计该校高三学生参加社区服务的次数在此区间内的人数为60人．
（3）这个样本参加社区服务的次数不少于20次的学生共有人，
设在区间内的人为，，，，在区间内的人为，．
则任选2人共有，，，，，，，，，，，，，，15种情况，而两人都在内只能是一种，
∴所求概率为．
本题以图表为背景，考查从图表中提取信息，同时在统计的基础上，考查古典概型的计算，考查基本数据处理能力.
21、（1）周期为π，最大值为2.（2）
【解析】
（1）利用倍角公式降幂，展开两角差的余弦，将函数的关系式化简余弦型函数，可求出函数的周期及最值；
（2）由f（π﹣A），求解角A，再利用余弦定理和基本不等式求a的最小值．
【详解】
（1）函数f（x）＝2cos2x﹣cos（2x）
＝1+cos2x
＝cos（2x）+1，
∵﹣1≤cos（2x）≤1，
∴T，f（x）的最大值为2；
（2）由题意，f（π﹣A）＝f（﹣A）＝cos（﹣2A）+1，
即：cos（﹣2A），
又∵0＜A＜π，
∴2A，
∴﹣2A，即A．
在△ABC中，b+c＝2，cosA，
由余弦定理，a2＝b2+c2﹣2bccosA＝（b+c）2﹣bc，
由于：bc，当b＝c＝1时，等号成立．
∴a2≥4﹣1＝3，即a．
则a的最小值为．
本题考查三角函数的恒等变换，余弦形函数的性质的应用，余弦定理和基本不等式的应用，是中档题．