2025年广东省河源市数学高一下期末质量检测试题含解析.doc

2025年广东省河源市数学高一下期末质量检测试题
注意事项：
1． 答题前，考生先将自己的姓名、准考证号填写清楚，将条形码准确粘贴在考生信息条形码粘贴区。
2．选择题必须使用2B铅笔填涂；非选择题必须使用0．5毫米黑色字迹的签字笔书写，字体工整、笔迹清楚。
3．请按照题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。
4．保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的
1．将甲、乙两个篮球队5场比赛的得分数据整理成如图所示的茎叶图，由图可知以下结论正确的是( )

A．甲队平均得分高于乙队的平均得分中乙
B．甲队得分的中位数大于乙队得分的中位数
C．甲队得分的方差大于乙队得分的方差
D．甲乙两队得分的极差相等
2．圆锥的高和底面半径之比，且圆锥的体积，则圆锥的表面积为（　　）
A． B． C． D．
3．圆心为的圆与圆相外切，则圆的方程为（ ）
A． B．
C． D．
4．棱柱的侧面一定是（　　）
A．平行四边形 B．矩形 C．正方形 D．菱形
5．一元二次不等式的解集为（　）
A． B．
C． D．
6．在空间四边形中， ， ，，分别是， 的中点 ，，则异面直线与所成角的大小为（ ）
A． B． C． D．
7．已知，且，，这三个数可适当排序后成等差数列，也可适当排序后成等比数列，则（ ）
A．7 B．6 C．5 D．9
8．若不等式对一切恒成立，则实数的最大值为（ ）
A．0 B．2 C． D．3
9．已知向量，，若，则（ ）
A． B． C． D．
10．已知向量满足.为坐标原点，.曲线，区域.若是两段分离的曲线，则( )
A． B． C． D．
二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。
11．已知无穷等比数列的首项为，公比为q，且，则首项的取值范围是________．
12．三棱锥P﹣ABC的底面ABC是等腰三角形，AC＝BC＝2，AB＝2，侧面PAB是等边三角形且与底面ABC垂直，则该三棱锥的外接球表面积为_____．
13．不等式的解集是_________________
14．求的值为________．
15．直线的倾斜角的大小是_________.
16．已知四棱锥的底面是边长为的正方形，侧棱长均为.若圆柱的一个底面的圆周经过四棱锥四条侧棱的中点，另一个底面的圆心为四棱锥底面的中心，则该圆柱的体积为__________.
三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．如图，在三棱锥中，，分别为棱，上的三等份点，，.

（1）求证：平面；
（2）若，平面，求证：平面平面.
18．已知数列的前项和为，且满足，（）．
（Ⅰ）求的值，并求数列的通项公式；
（Ⅱ）设数列的前项和为，求证：（）．
19．某校为了了解学生每天平均课外阅读的时间（单位：分钟)，从本校随机抽取了100名学生进行调查，根据收集的数据，得到学生每天课外阅读时间的频率分布直方图，如图所示，若每天课外阅读时间不超过30分钟的有45人.

（Ⅰ)求，的值；
（Ⅱ)根据频率分布直方图，估计该校学生每天课外阅读时间的中位数及平均值（同一组中的数据用该组区间的中点值代表).
20．某医学院读书协会欲研究昼夜温差大小与患感冒人数多少之间的关系，该协会分别到气象局与某医院抄录了1至6月份每月10号的昼夜温差情况与因患感冒而就诊的人数，得到如图所示的频率分布直方图．该协会确定的研究方案是：先从这六组数据中选取2组，用剩下的4组数据求线性回归方程，再用被选取的2组数据进行检验．

（Ⅰ）已知选取的是1月至6月的两组数据，请根据2至5月份的数据，求出就诊人数关于昼夜温差的线性回归方程；
（Ⅱ）若由线性回归方程得到的估计数据与所选出的检验数据的误差均不超过2人，则认为得到的线性回归方程是理想的，试问（Ⅰ）中该协会所得线性回归方程是否理想？
参考公式：回归直线的方程，
其中，．
21．如图所示，在中，点在边上，，，，.

（1）求的值；
（2）求的面积.
参考答案

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的
1、C
【解析】
由茎叶图分别计算甲、乙的平均数，中位数，方差及极差可得答案．
【详解】
29；30，∴∴A错误；
甲的中位数是29，乙的中位数是30，29<30,∴B错误；
甲的极差为31﹣26＝5，乙的极差为32﹣28＝4，5∴D错误；
排除可得C选项正确，
故选C．
本题考查了由茎叶图求数据的平均数，极差，中位数，运用了选择题的做法即排除法的解题技巧，属于基础题.
2、D
【解析】
根据圆锥的体积求出底面圆的半径和高,求出母线长，即可计算圆锥的表面积．
【详解】
圆锥的高和底面半径之比，
∴，
又圆锥的体积，
即，
解得；
∴，
母线长为，
则圆锥的表面积为．
故选：D．

本题考查圆锥的体积和表面积公式，考查计算能力，属于基础题.
3、A
【解析】
求出圆的圆心坐标和半径，利用两圆相外切关系，可以求出圆的半径，求出圆的标准方程，最后化为一般式方程.
【详解】
设的圆心为A，半径为r，圆C的半径为R,
，所以圆心A坐标为，半径r为3，圆心距为，因为两圆相外切，所以有
,故圆的标准方程为: ,故本题选A.
本题考查了圆与圆的相外切的性质，考查了已知圆的方程求圆心坐标和半径，考查了数学运算能力.
4、A
【解析】
根据棱柱的性质可得：其侧面一定是平行四边形，故选A.
5、C
【解析】
根据一元二次不等式的解法，即可求得不等式的解集，得到答案．
【详解】
由题意，不等式，即或，解得，
即不等式的解集为，故选C．
本题主要考查了一元二次不等式的解法，其中解答中熟记一元二次不等式的解法是解答的关键，着重考查了推理与计算能力，属于基础题．
6、D
【解析】
平移两条异面直线到相交，根据余弦定理求解.
【详解】
如图所示：

设的中点为，连接，
所以，
则是所成的角或其补角，
又
根据余弦定理得：，
所以，
异面直线与所成角的为，
故选D.
本题考查异面直线所成的角和余弦定理.注意异面直线所成的角的取值范围是.
7、C
【解析】
由,可得成等比数列，即有＝4；讨论成等差数列或成等差数列，运用中项的性质，解方程可得，即可得到所求和．
【详解】
由，可得成等比数列，即有＝4，①
若成等差数列，可得，②
由①②可得，1；
若成等差数列，可得，③
由①③可得，1．
综上可得1．
故选：C．
本题考查等差数列和等比数列的中项的性质，考查运算能力，属于中档题．
8、C
【解析】
采用参变分离法对不等式变形，然后求解变形后的函数的值域，根据参数与新函数的关系求解参数最值.
【详解】
因为不等式对一切恒成立，
所以对一切，，即恒成立．
令．
易知在内为增函数．
所以当时，，所以的最大值是．故选C．
常见的求解参数范围的方法：
（1）分类讨论法（从临界值、特殊值出发）；
（2）参变分离法（考虑新函数与参数的关系）.
9、D
【解析】
由共线向量的坐标表示可得出关于实数的方程，解出即可.
【详解】
向量，，且，，解得.
故选：D.
本题考查利用共线向量的坐标表示求参数的值，解题时要熟悉共线向量坐标之间的关系，考查计算能力，属于基础题.
10、A
【解析】
不妨设，由得出点的坐标，根据题意得出曲线表示一个以为圆心，为半径的圆，区域表示以为圆心，内径为，外径为的圆环，再由是两段分离的曲线，结合圆与圆的位置关系得出的取值.
【详解】
不妨设
则，所以
，则曲线表示一个以为圆心，为半径的圆
因为区域，所以区域表示以为圆心，内径为，外径为的圆环

由于是两段分离的曲线，则该两段曲线分别为上图中的
要使得是分离的曲线，则所在的圆与圆相交于不同的两点
所以，即
故选：A
本题主要考查了集合的应用以及由圆与圆的位置关系确定参数的范围，属于中档题.

二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。
11、
【解析】
根据极限存在得出，对分、和三种情况讨论得出与之间的关系，可得出的取值范围.
【详解】
由于，则.
①当时，则，；
②当时，则，；
③当时，，解得.
综上所述：首项的取值范围是，故答案为：.
本题考查极限的应用，要结合极限的定义得出公比的取值范围，同时要对公比的取值范围进行分类讨论，考查分类讨论思想的应用，属于中等题.
12、
【解析】
求出的外接圆半径，的外接圆半径，求出外接球的半径，即可求出该三棱锥的外接球的表面积．
【详解】
由题意，设的外心为，的外心为，
则的外接圆半径，
在中，因为，
由余弦定理可得，所以，
所以的外接圆半径，
在等边中，由，所以，所以，
设球心为，球的半径为，则，
又由面，面，
则，所以该三棱锥的外接球的表面积为．
故答案为：．

本题主要考查了三棱锥的外接球的表面积的求解，其中解答中熟练应用空间几何体的结构特征，确定球的半径是解答的关键，着重考查了空间想象能力，以及推理与运算能力，属于中档试题．
13、
【解析】
可先求出一元二次方程的两根，即可得到不等式的解集.
【详解】
由于的两根分别为：，，因此不等式的解集是.
本题主要考查一元二次不等式的求解，难度不大.
14、44.5
【解析】
通过诱导公式，得出，依此类推，得出原式的值．
【详解】
，
，
同理，
，故答案为44.5.
本题主要考查了三角函数中的诱导公式的运用，得出是解题的关键，属于基础题．
15、
【解析】
试题分析：由题意，即，∴．
考点：直线的倾斜角.
16、.
【解析】
根据棱锥的结构特点，确定所求的圆柱的高和底面半径．
【详解】
由题意四棱锥的底面是边长为的正方形，侧棱长均为，借助勾股定理，可知四棱锥的高为，.若圆柱的一个底面的圆周经过四棱锥四条侧棱的中点，圆柱的底面半径为，一个底面的圆心为四棱锥底面的中心，故圆柱的高为，故圆柱的体积为．
本题主要考查了圆柱与四棱锥的组合，考查了空间想象力，属于基础题.

三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17、 (1)见证明；(2)见证明
【解析】
（1）由，，得，进而得即可证明平面. （2）平面得，由，，得，进而证明平面，则平面平面
【详解】
证明：（1）因为，，所以，
所以，
因为平面，平面，
所以平面.
（2）因为平面，平面，
所以.
因为，，所以，
又，所以平面.
又平面，所以平面平面.
本题考查线面平行的判定，面面垂直的判定，考查空间想象及推理能力，熟记判定定理是关键，是基础题
18、（Ⅰ），，（Ⅱ）见解析
【解析】
（Ⅰ）根据和项与通项关系得 ，利用等比数列定义求得结果
（Ⅱ）利用放缩法以及等比数列求和公式证得结果
【详解】
（Ⅰ），
由得，
两式相减得
故，又
所以数列是以2为首项，公比为2的等比数列，
因此，即.
（Ⅱ）当时，，
所以
.
当时，
故

又当时，，.
因此对一切成立.
本题主要考查了利用和的关系以及构造法求数列的通项公式，同时考查利用放缩法证明数列不等式，解题难点是如何放缩，意在考查学生的数学建模能力和数学运算能力。
19、（Ⅰ)；（Ⅱ)中位数估计值为32，平均数估计值为32.5.
【解析】
（Ⅰ）由频率分布直方图的性质列出方程组，能求出，；（Ⅱ）由频率分布直方图，能估计该校学生每天课外阅读时间的中位数及平均值．
【详解】
（Ⅰ)由题意得，解得
（Ⅱ)设该校学生每天课外阅读时间的中位数估计值为，则
解得：.
该校学生每天课外阅读时间的平均数估计值为：
.
答：该校学生每天课外阅读时间的中位数估计值为32，平均数估计值为32.5.
本题考查频率、中位数、平均数的求法，考查频率分布直方图的性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．
20、（1）（2）该协会所得线性回归方程是理想的
【解析】
试题分析: （1）根据所给的数据求出x,y的平均数,根据求线性回归系数的方法,求出系数,把和,代入公式,求出的值,写出线性回归方程; （2）根据所求的线性回归方程,预报当自变量为10和6时的值,把预报的值同原来表中所给的10和6对应的值作差,差的绝对值不超过2,得到线性回归方程理想.
试题解析:解：（Ⅰ）由数据求得，
，
，
由公式求得，
所以，
所以关于的线性回归方程为.
（Ⅱ）当时，，；
同样，当时，，.
所以，该协会所得线性回归方程是理想的.
点睛: 求线性回归方程的步骤:(1)先把数据制成表，从表中计算出的值;(2)计算回归系数;(3)写出线性回归方程.进行线性回归分析时，要先画出散点图确定两变量具有线性相关关系，然后利用公式求回归系数,得到回归直线方程，最后再进行有关的线性分析．
21、（1）（2）
【解析】
（1）设，分别在和中利用余弦定理计算，联立方程组，求得的值，再由余弦定理，即可求解的值；
（2）由（1）的结论，计算，利用三角形的面积公式，即可求解.
【详解】
（1），则，所以
在中，由余弦定理得，
在中，由余弦定理得，
所以，解得，所以，
由余弦定理得
（2）由（1）求得，，
所以，
所以.
本题主要考查了余弦定理和三角形的面积公式的应用，其中在解有关三角形的题目时，要抓住题设条件和利用某个定理的信息，合理应用正弦定理和余弦定理列出方程是解答的关键，着重考查了运算与求解能力，属于基础题.