山西省大同市铁路第一中学2025年数学高一第二学期期末联考试题含解析.doc

山西省大同市铁路第一中学2025年数学高一第二学期期末联考试题
注意事项
1．考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回．
2．答题前，请务必将自己的姓名、准考证号用0．5毫米黑色墨水的签字笔填写在试卷及答题卡的规定位置．
3．请认真核对监考员在答题卡上所粘贴的条形码上的姓名、准考证号与本人是否相符．
4．作答选择题，必须用2B铅笔将答题卡上对应选项的方框涂满、涂黑；如需改动，请用橡皮擦干净后，再选涂其他答案．作答非选择题，必须用05毫米黑色墨水的签字笔在答题卡上的指定位置作答，在其他位置作答一律无效．
5．如需作图，须用2B铅笔绘、写清楚，线条、符号等须加黑、加粗．

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的
1．设满足约束条件若目标函数的最大值为8，则的最小值为（　　）
A．2 B．4 C．6 D．8
2．函数的部分图像如图所示，则该函数的解析式为（ ）

A． B．
C． D．
3．如果圆上总存在点到原点的距离为，则实数的取值范围为( )
A． B． C． D．
4．两直角边分别为1,的直角三角形绕其斜边所在的直线旋转一周，得到的几何体的表面积是( )
A． B．3π C． D．
5．如图，在四棱锥中，底面，底面为直角梯形，，，则直线与平面所成角的大小为( )

A． B． C． D．
6．一个球自高为米的地方自由下落，每次着地后回弹高度为原来的，到球停在地面上为止，球经过的路程总和为（ ）米
A． B． C． D．
7．已知正数组成的等比数列的前8项的积是81，那么的最小值是（ ）
A． B． C．8 D．6
8．已知三棱锥P－ABC的四个顶点在球O的球面上，PA=PB=PC，△ABC是边长为的正三角形，E，F分别是PA，AB的中点，∠CEF=90°.则球O的体积为（ ）
A． B． C． D．
9．已知函数，，若成立，则的最小值为（ ）
A． B． C． D．
10．已知，则下列不等式成立的是（ ）
A． B． C． D．
二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。
11．已知函数一个周期的图象（如下图），则这个函数的解析式为__________．

12．设等差数列的前项和为，若，，则的值为______.
13．已知向量、满足：，，，则_________.
14．已知，则______．
15．在中,, 且,则 ．
16．一个等腰三角形的顶点，一底角顶点，另一顶点的轨迹方程是___
三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．在中，已知角的对边分别为，且.
（1）求角的大小；
（2）若，是的中点，且，求的面积.
18．在平面直角坐标系中，直线，.
(1)直线是否过定点？若过定点，求出该定点坐标，若不过定点，请说明理由;
(2)已知点，若直线上存在点满足条件，求实数的取值范围.
19．在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知.
（1）求角B的大小；
（2）若，，求的面积．
20．为了比较两种治疗失眠症的药（分别成为A药，B药）的疗效，随机地选取20位患者服用A药，20位患者服用B药，这40位患者服用一段时间后，记录他们日平均增加的睡眠时间（单位：h）实验的观测结果如下：
服用A药的20位患者日平均增加的睡眠时间：
0.6 1.2 2.7 1.5 2.8 1.8 2.2 2.3 3.2 3.5
2.5 2.6 1.2 2.7 1.5 2.9 3.0 3.1 2.3 2.4
服用B药的20位患者日平均增加的睡眠时间：
3.2 1.7 1.9 0.8 0.9 2.4 1.2 2.6 1.3 1.4
1.6 0.5 1.8 0.6 2.1 1.1 2.5 1.2 2.7 0.5

（1）分别计算两组数据的平均数，从计算结果来看，哪种药的效果好？
（2）完成茎叶图，从茎叶图来看，哪种药疗效更好？
21．已知数列前项和为， ，且满足（）．
（Ⅰ）求数列的通项公式；
（Ⅱ）若，设数列前项和为，求证： ．
参考答案

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的
1、B
【解析】
画出不等式组对应的平面区域，平移动直线至时有最大值8，再利用基本不等式可求的最小值.
【详解】
原不等式组表示的平面区域如图中阴影部分所示，

当直线过直线与直线的交点时，目标函数取得最大值8，即，
即，所以，当且仅当时，等号成立.所以的最小值为4.故选： B
二元一次不等式组的条件下的二元函数的最值问题，常通过线性规划来求最值，求最值时往往要考二元函数的几何意义，比如表示动直线的横截距的三倍 ，而则表示动点与的连线的斜率．应用基本不等式求最值时，需遵循“一正二定三相等”，如果原代数式中没有积为定值或和为定值，则需要对给定的代数变形以产生和为定值或积为定值的局部结构.求最值时要关注取等条件的验证.
2、A
【解析】
根据图象求出即可得到函数解析式.
【详解】
显然，
因为，所以，所以，
由得，
所以，即，，
因为，所以，
所以.
故选：A
本题考查了根据图象求函数解析式，利用周期求，代入最高点的坐标求是解题关键，属于基础题.
3、B
【解析】
将圆上的点到原点的距离转化为圆心到原点的距离加减半径得到答案.
【详解】
，圆心为 半径为1
圆心到原点的距离为：
如果圆上总存在点到原点的距离为
即圆心到原点的距离
即
故答案选B
本题考查了圆上的点到原点的距离，转化为圆心到原点的距离加减半径是解题的关键.
4、A
【解析】
由题知该旋转体为两个倒立的圆锥底对底组合在一起，根据圆锥的侧面积计算公式
可得．
【详解】
由题得直角三角形的斜边为2，则斜边上的高为.
由题知该几何体为两个倒立的圆锥底对底组合在一起，其中，

故选．
本题考查旋转体的定义，圆锥的表面积的计算，属于基础题.
5、A
【解析】
取中点，中点，连接，先证明为所求角，再计算其大小.
【详解】
取中点，中点，连接.
设
易知：平面
平面
易知：四边形为平行四边形平面，即为直线与平面所成角

故答案选A
本题考查了线面夹角，先找出线面夹角是解题的关键.
6、D
【解析】
设球第次到第次着地这一过程中球经过的路程为米，可知数列是以为首项，以为公比的等比数列，由此可得出球经过的路程总和为米.
【详解】
设球第次到第次着地这一过程中球经过的路程为米，
则，由题意可知，数列是以为首项，以为公比的等比数列，因此，球经过的路程总和米.
故选:D.
本题考查等比数列的实际应用，涉及到无穷等比数列求和问题，考查计算能力，属于中等题.
7、A
【解析】
利用等比数列的通项公式和均值不等式可得结果.
【详解】
由
由为正项数列，可知
再由均值不等式可知
所以
（当且仅当时取等号）
故选：A
本题主要考查等比数列的通项公式及均值不等式，属基础题.
8、D
【解析】
计算可知三棱锥P－ABC的三条侧棱互相垂直，可得球O是以PA为棱的正方体的外接球，球的直径，即可求出球O的体积.
【详解】
在△PAC中，设，，，，
因为点E，F分别是PA，AB的中点，所以，
在△PAC中，，
在△EAC中，，
整理得，
因为△ABC是边长为的正三角形，所以，
又因为∠CEF=90°，所以，
所以，
所以.
又因为△ABC是边长为的正三角形，
所以PA,PB,PC两两垂直，
则球O是以PA为棱的正方体的外接球，
则球的直径，
所以外接球O的体积为.
故选D.

本题考查了三棱锥的外接球，考查了学生的空间想象能力，属于中档题.
9、B
【解析】
，则，
所以，则，
易知，，则在单调递减，单调递增，
所以，故选B。
点睛：本题考查导数的综合应用。利用导数求函数的极值和最值是导数综合应用题型中的常见考法。通过求导，首先观察得到导函数的极值点，利用图象判断出单调增减区间，得到最值。
10、D
【解析】
利用排除法，取，，可排除错误选项，再结合函数的单调性，可证明D正确.
【详解】
取，，可排除A，B，C，
由函数是上的增函数，又，所以，即选项D正确.
故选：D.
本题考查不等式的性质，考查学生的推理论证能力，属于基础题.

二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。
11、
【解析】
由函数的图象可得T=﹣ ，解得：T==π，
解得ω=1．
图象经过（，1），可得：1=sin（1×+φ），
解得：φ=1kπ+，k∈Z，
由于：|φ|＜，
可得：φ=，
故f（x）的解析式为：f（x）=．
故答案为f（x）=．
12、－6
【解析】
由题意可得，求解即可.
【详解】
因为等差数列的前项和为， ，
所以由等差数列的通项公式与求和公式可得
解得.故答案为-6.
本题考查了等差数列的通项公式与求和公式，考查了学生的计算能力，属于基础题.
13、.
【解析】
将等式两边平方得出的值，再利用结合平面向量的数量积运算律可得出结果.
【详解】
，
，
，
因此，，故答案为.
本题考查利用平面向量数量积来计算平面向量的模，在计算时，一般将平面向量的模平方，利用平面向量数量积的运算律来进行计算，考查运算求解能力，属于中等题.
14、
【解析】
由题意得出，然后在分式的分子和分母中同时除以，然后利用常见的数列极限可计算出所求极限值.
【详解】
由题意得出.
故答案为：.
本题考查数列极限的计算，熟悉一些常见数列极限是解题的关键，考查计算能力，属于基础题.
15、
【解析】
∵在△ABC中，∠ABC＝60°，且AB＝5，AC＝7，
∴由余弦定理，
可得：，
∴整理可得：，解得：BC＝8或−3（舍去）．考点：1、正弦定理及余弦定理；2、三角形内角和定理及两角和的余弦公式．
16、
【解析】
设出点C的坐标，利用|AB|＝|AC|，建立方程，根据A，B，C三点构成三角形，则三点不共线且B，C不重合，即可求得结论．
【详解】
设点的坐标为，
则由得
，
化简得.
∵A，B，C三点构成三角形
∴三点不共线且B，C不重合
因此顶点的轨迹方程为.
故答案为
本题考查轨迹方程，考查学生的计算能力，属于基础题．

三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17、（1）；（2）.
【解析】
（1）利用正弦定理和和差公式计算得到答案.
（2）利用代入余弦定理公式得到，计算面积得到答案.
【详解】
（1）∵是的内角，
∴且
又由正弦定理：和已知条件得：

化简得：，
又∵
∴；
（2）∵，是的中点，且，，，
∴由余弦定理得：，代入化简得：
又，即，可得：
故所求的面积为.
本题考查了余弦定理，正弦定理，面积公式，意在考查学生的计算能力.
18、（1）过定点，定点坐标为；（2）或.
【解析】
(1) 假设直线过定点，则关于恒成立，利用即可结果；(2)直线上存在点,求得 ,故点在以为圆心，2为半径的圆上，根据题意，该圆和直线有交点，即圆心到直线的距离小于或等于半径，由此求得实数的取值范围.
【详解】
（1）假设直线过定点，
则，即
关于恒成立，
∴，∴，
所以直线过定点，定点坐标为
（2）已知点,，设点，
则，，
∵,∴,∴
所以点的轨迹方程为圆，
又点在直线：上，
所以直线：与圆有公共点，
设圆心到直线的距离为，则，
解得实数的范围为或.
本题主要考查直线过定点问题以及直线与圆的位置关系，属于中档题. 解答直线与圆的位置关系的题型，常见思路有两个：一是考虑圆心到直线的距离与半径之间的大小关系；二是直线方程与圆的方程联立，考虑运用韦达定理以及判别式来解答.
19、 (1) (2)
【解析】
（1）先利用正弦定理将已知等式化为，化简后再运用余弦定理可得角B；（2）由和余弦定理可得，面积为，将和的值代入面积公式即可．
【详解】
解：（1）由题，由正弦定理得：
，即
则
所以．
（2）因为，
所以，解得
所以
本题考查解三角形，是常考题型．
20、（4）服用A药睡眠时间平均增加4.4；服用B药睡眠时间平均增加4.6；从计算结果来看，服用A药的效果更好；
（4）
A药

B药

6

4．

8 9 5 6 5

4 5 8 4 5

4．

7 9 4 4 4 6 8 4 4

7 8 4 4 5 6 7 9 4 4

4．

4 6 4 5 7

4 5 4 4

4．

4

从茎叶图来看，A的数据大部分集中在第二、三段，B的数据大部分集中在第一、二段，故A药的药效好.
【解析】
(4)设A药观测数据的平均数为，B药观测数据的平均数为.由观测结果可得：＝×(4.6＋4.4＋4.4＋4.5＋4.5＋4.8＋4.4＋4.4＋4.4＋4.4＋4.5＋4.6＋4.7＋4.7＋4.8＋4.9＋4.4＋4.4＋4.4＋4.5)＝4.4，
＝×(4.5＋4.5＋4.6＋4.8＋4.9＋4.4＋4.4＋4.4＋4.4＋4.4＋4.6＋4.7＋4.8
＋4.9＋4.4＋4.4＋4.5＋4.6＋4.7＋4.4)＝4.6.
由以上计算结果可得＞，因此可看出A药的疗效更好．
(4)由观测结果可绘制如下茎叶图：

从以上茎叶图可以看出，A药疗效的试验结果有的叶集中在茎4,4上，而B药疗效的试验结果有的叶集中在茎4,4上，由此可看出A药的疗效更好．
考点：茎叶图、平均数.
21、（Ⅰ）（Ⅱ）详见解析
【解析】【试题分析】（1）借助递推关系式，运用等比数列的定义分析求解；（2）依据题设条件运用列项相消求和法进行求解：
（Ⅰ），由（），得（），
两式相减得．
由，得,又，
所以是以为首项，3为公比的等比数列，
故．
（Ⅱ），
，

．