2024-2025学年辽宁省瓦房店市高级中学高一下数学期末经典模拟试题含解析.doc

2024-2025学年辽宁省瓦房店市高级中学高一下数学期末经典模拟试题
注意事项：
1． 答题前，考生先将自己的姓名、准考证号填写清楚，将条形码准确粘贴在考生信息条形码粘贴区。
2．选择题必须使用2B铅笔填涂；非选择题必须使用0．5毫米黑色字迹的签字笔书写，字体工整、笔迹清楚。
3．请按照题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。
4．保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的
1．正四棱锥的顶点都在同一球面上，若该棱锥的高为4，底面边长为2，则该球的表面积为（ ）
A． B． C． D．
2．下列选项正确的是（ ）
A．若,则
B．若,则
C．若,则
D．若,则
3．从1，2，3，…，9这个9个数中任取5个不同的数，则这5个数的中位数是5的概率等于（ ）
A． B． C． D．
4．在等差数列中，，则数列前项和取最大值时，的值等于（ ）
A．12 B．11 C．10 D．9
5．向正方形ABCD内任投一点P，则“的面积大于正方形ABCD面积的”的概率是（ ）
A． B． C． D．
6．若直线被圆截得弦长为4，则的最小值是（ ）
A．9 B．4 C． D．
7．为数列的前n项和,若,则的值为( )
A．-7 B．-4 C．-2 D．0
8．已知是球O的球面上四点，面ABC,，则该球的半径为（ ）
A． B． C． D．
9．如图，为正三角形，，，则多面体的正视图(也称主视图)是

A． B． C． D．
10．在ABC中，．则的取值范围是（ ）
A．（0，] B．[，） C．（0，] D．[，）
二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。
11．为等比数列，若，则_______.
12．若实数满足，则取值范围是____________。
13．函数单调递减区间是 ．
14．记等差数列的前项和为，若，则________．
15．设满足约束条件，则目标函数 的最大值为______．
16．已知函数一个周期的图象（如下图），则这个函数的解析式为__________．

三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．如图，三棱柱的侧面是边长为的菱形，，且.

(1)求证: ；
(2)若，当二面角为直二面角时，求三棱锥的体积.
18．已知函数．
（1）求函数的最小正周期；
（2）求函数的单调递增区间．
19．已知是一个公差大于的等差数列，且满足，数列满足等式：
（1）求数列的通项公式；
（2）求数列的前项和.
20．已知数列中，.
(1)求证：是等比数列，求数列的通项公式；
(2)已知：数列，满足
①求数列的前项和；
②记集合若集合中含有个元素，求实数的取值范围.
21．已知数列的前n项和为（），且满足，（）．
（1）求证是等差数列；
（2）求数列的通项公式．
参考答案

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的
1、A
【解析】
正四棱锥P-ABCD的外接球的球心在它的高上，
记为O，PO=AO=R，，=4-R，
在Rt△中，，
由勾股定理得，
∴球的表面积，故选A.

考点：球的体积和表面积
2、B
【解析】
通过逐一判断ABCD选项，得到答案.
【详解】
对于A选项，若，代入，，故A错误；
对于C选项，等价于，故C错误；对于D选项，若，则，故D错误，所以答案选B.
本题主要考查不等式的相关性质，难度不大.
3、C
【解析】
试题分析： 设事件为“从1，2，3，…，9这9个数中5个数的中位数是5”，则基本事件总数为种，事件所包含的基本事件的总数为：，所以由古典概型的计算公式知，，故应选.
考点：1.古典概型；
4、C
【解析】
试题分析：
最大，
考点：数列单调性
点评：求解本题的关键是由已知得到数列是递减数列，进而转化为寻找最小的正数项
5、C
【解析】
由题意，求出满足题意的点所在区域的面积，利用面积比求概率.
【详解】
由题意，设正方形的边长为1，则正方形的面积为1，
要使的面积大于正方形面积的，需要到的距离大于，
即点所在区域面积为，
由几何概型得，的面积大于正方形面积的的概率为.
故选：C.
本题考查几何概型的概率求法，解题的关键是明确概率模型，属于基础题.
6、A
【解析】
圆方程配方后求出圆心坐标和半径，知圆心在已知直线上，代入圆心坐标得满足的关系，用“1”的代换结合基本不等式求得的最小值．
【详解】
圆标准方程为，圆心为，半径为，
直线被圆截得弦长为4，则圆心在直线上，∴，，
又，
∴，当且仅当，即时等号成立．
∴的最小值是1．
故选：A．
本题考查用基本不等式求最值，解题时需根据直线与圆的位置关系求得的关系，然后用“1”的代换法把凑配出可用基本不等式的形式，从而可求得最值．
7、A
【解析】
依次求得的值，进而求得的值.
【详解】
当时，；
当时，，；
当时，；
故.
故选：A.
本小题主要考查根据递推关系式求数列每一项，属于基础题.
8、D
【解析】
根据面，，得到三棱锥的三条侧棱两两垂直，以三条侧棱为棱长得到一个长方体，且长方体的各顶点都在该球上，长方体的对角线的长就是该球的直径，从而得到答案。
【详解】
面，
三棱锥的三条侧棱，，两两垂直，
可以以三条侧棱，，为棱长得到一个长方体，且长方体的各顶点都在该球上，

长方体的对角线的长就是该球的直径，
即
则该球的半径为
故答案选D
本题考查三棱锥外接球的半径的求法，本题解题的关键是以三条侧棱为棱长得到一个长方体，三棱锥的外接球，即为该长方体的外接球，利用长方体外接球的直径为长对角线的长，属于基础题。
9、D
【解析】
为三角形,,平面,
且,则多面体的正视图中,
必为虚线,排除B,C,
说明右侧高于左侧,排除A.,故选D.
10、C
【解析】
试题分析：
由于，根据正弦定理可知，故．又，则的范围为.故本题正确答案为C.
考点：三角形中正余弦定理的运用.

二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。
11、
【解析】
将这两式中的量全部用表示出来，正好有两个方程，两个未知数，解方程组即可求出。
【详解】
相当于，
相当于，
上面两式相除得代入就得，
基本量法是解决数列计算题最重要的方法，即将条件全部用首项和公比表示，列方程，解方程即可求得。
12、；
【解析】
利用三角换元，设，；利用辅助角公式将化为，根据三角函数值域求得结果.
【详解】
可设，，

本题正确结果：
本题考查利用三角换元法求解取值范围的问题，关键是能够将问题转化为三角函数值域的求解问题.
13、
【解析】
先求出函数的定义域，找出内外函数，根据同增异减即可求出.
【详解】
由，解得或，所以函数的定义域为.令，则函数在上单调递减，在上单调递增，又为增函数，则根据同增异减得，函数单调递减区间为.
复合函数法：复合函数的单调性规律是“同则增，异则减”，即与若具有相同的单调性，则为增函数，若具有不同的单调性，则必为减函数．
14、10
【解析】
由等差数列求和的性质可得，求得，再利用性质可得结果.
【详解】
因为，所以，所以，故
故答案为10
本题考查了等差数列的性质，熟悉其性质是解题的关键，属于基础题.
15、7
【解析】
首先画出可行域，然后判断目标函数的最优解，从而求出目标函数的最大值.
【详解】
如图，画出可行域，

作出初始目标函数，平移目标函数，当目标函数过点时，目标函数取得最大值，
，解得,
.
故填：7.
本题考查了线性规划问题，属于基础题型.
16、
【解析】
由函数的图象可得T=﹣ ，解得：T==π，
解得ω=1．
图象经过（，1），可得：1=sin（1×+φ），
解得：φ=1kπ+，k∈Z，
由于：|φ|＜，
可得：φ=，
故f（x）的解析式为：f（x）=．
故答案为f（x）=．

三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17、（1）见解析（2）
【解析】
（1）利用直线与平面垂直的判定，结合三角形全等判定，得到，再次结合三角形全等，即可．（2）法一：建立坐标系，分别计算的法向量，结合两向量夹角为直角，计算出的值，然后结合，即可．法二：设出OA=x,用x分别表示AB,BD,AD，结合，建立方程，计算x，结合，即可．
【详解】
（1）连结，交于点，连结，

因为侧面是菱形，所以，
又因为，，
所以平面，
而平面，所以，
因为，所以，
而，所以，.

（2）因为，，所以，（法一）以为坐标原点，所以直线为轴，
所以直线为轴，所以直线为轴建立
如图所示空间直角坐标系，设，
则，，，
，，
所以，，，
设平面的法向量，所以
令，则，，取，
设平面的法向量，所以
令，则，，取，
依题意得，解得.
所以.
（法二）过作，连结，
由（1）知，所以且，

所以是二面角的平面角，依题意得，，
所以，
设，则，，
又由，，
所以由，解得，
所以.
本道题考查了直线与平面垂直判定，考查了利用空间向量解决二面角问题，难度较难．
18、（1）；（2）.
【解析】
（1）利用三角恒等变换思想得出，利用周期公式可计算出函数的最小正周期；
（2）解不等式，即可得出函数的单调递增区间.
【详解】
（1），
所以，函数的最小正周期为；
（2）令，可得，
因此，函数的单调递增区间为.
本题考查正弦型函数周期和单调区间的求解，解题的关键在于利用三角函数解析式化简，考查计算能力，属于中等题.
19、
【解析】
（1）利用等差中项得到关于，的方程组，利用通项公式求得公差，则数列的通项公式可求；
（2）把数列的通项公式代入，得，作差可得，再由数列的分组求和可得数列的前项和．
【详解】
（1）在等差数列中，由，得，
又，可得或．
，，则．
.
（2）由，
得，
，即，
满足上式，
．
则，
数列的前项和，
．
本题考查数列递推式、临差法求数列通项、数列的分组求和等知识，考查运算求解能力，求解时要注意数列通项中的下标的限制.
20、 (1) 证明见解析， (2)①②
【解析】
(1)计算得到： 得证.
(2) ①计算的通项公式为，利用错位相减法得到.
②将代入集合M，化简并分离参数得，确定数列的单调性，根据集合中含有个元素得到答案.
【详解】
(1) ，
为等比数列，其中首项，公比为.
所以，.
(2)①数列的通项公式为
①
②
①-②
化简后得.
②将代入得
化简并分离参数得，
设，则

易知
由于中含有个元素，所以实数要小于等于第5大的数，且比第6大的数大.
，，
综上所述.
本题考查了数列的证明，数列的通项公式，错位相减法，数列的单调性，综合性强计算量大，意在考查学生的计算能力和综合应用能力.
21、（1）证明见解析；（2）.
【解析】
（1）当时，由代入，化简得出，由此可证明出数列是等差数列；
（2）求出数列的通项公式，可得出，由可得出在时的表达式，再对是否满足进行检验，可得出数列的通项公式.
【详解】
（1）当时，，，即，
，等式两边同时除以得，即，
因此，数列是等差数列；
（2）由（1）知，数列是以为首项，以为公差的等差数列，
，则.
，得.
不适合.
综上所述，.
本题考查等差数列的证明，同时也考查了数列通项公式的求解，解题的关键就是利用关系式进行计算，考查推理能力与计算能力，属于中等题.