云南省宣威市第六中学2025届高一数学第二学期期末综合测试模拟试题含解析.doc

云南省宣威市第六中学2025届高一数学第二学期期末综合测试模拟试题
注意事项：
1． 答题前，考生先将自己的姓名、准考证号填写清楚，将条形码准确粘贴在考生信息条形码粘贴区。
2．选择题必须使用2B铅笔填涂；非选择题必须使用0．5毫米黑色字迹的签字笔书写，字体工整、笔迹清楚。
3．请按照题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。
4．保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的
1．已知,,则（ ）
A． B． C． D．
2．如果在一次实验中，测得的四组数值分别是，，，，则与之间的回归直线方程是（ ）
A． B．
C． D．
3．已知函数，则下列结论不正确的是（ ）
A．是的一个周期 B．
C．的值域为R D．的图象关于点对称
4．数列，…的一个通项公式是（ ）
A．
B．
C．
D．
5．已知x，y为正实数，则（ ）
A．2lgx+lgy=2lgx+2lgy B．2lg（x+y）=2lgx•2lgy
C．2lgx•lgy=2lgx+2lgy D．2lg（xy）=2lgx•2lgy
6．一个扇形的弧长与面积都是3，则这个扇形圆心角的弧度数为（ ）
A． B． C． D．
7．直线的倾斜角是（ ）
A． B． C． D．
8．已知等差数列的前项之和为，前项和为，则它的前项的和为（ ）
A. B. C. D.
9．已知数列是等差数列，数列满足，的前项和用表示，若满足，则当取得最大值时，的值为（ ）
A．16 B．15 C．14 D．13
10．在三棱柱中，已知,，此三棱柱各个顶点都在一个球面上，则球的体积为（ ）.
A． B． C． D．
二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。
11．如图中，，，，M为AB边上的动点，，D为垂足，则 的最小值为______；

12．若在上是减函数，则的取值范围为______.
13．方程的解集是____________.
14．已知，则_________.
15．的最大值为______.
16．已知棱长都相等正四棱锥的侧面积为，则该正四棱锥内切球的表面积为________．
三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．我国是世界上严重缺水的国家，某市为了制定合理的节水方案，对居民用水情况进行了调查，通过抽样，获得了某年100位居民每人的月均用水量单位：吨，将数据按照，，分成9组，制成了如图所示的频率分布直方图．

（1）设该市有30万居民，估计全市居民中月均用水量不低于3吨的人数说明理由；
（2）估计居民月均用水量的中位数．
18．设矩形的周长为，把沿向折叠，折过去后交于，设，的面积为．
（1）求的解析式及定义域；
（2）求的最大值．
19．某种笔记本的单价是5元，买个笔记本需要y元，试用函数的三种表示法表示函数.
20．在中，，点D在边AB上，，且.

（1）若的面积为，求CD；
（2）设，若，求证：.
21．已知，为第二象限角.
（1）求的值；
（2）求的值.
参考答案

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的
1、D
【解析】
由题意可得，即，则，所以，即，也即，所以，应选答案D．
点睛：解答本题的关键是借助题设中的条件获得，进而得到，求得，从而求出使得问题获解．
2、B
【解析】
求出样本数据的中心，依次代入选项中的回归方程.
【详解】
，
样本数据的中心为，将它依次代四个选项，只有B符合，
与之间的回归直线方程是.
本题的考点是回归直线经过样本点的中心，而不是考查利用最小二乘法求回归直线方程.
3、B
【解析】
利用正切函数的图像和性质对每一个选项逐一分析得解.
【详解】
A．的最小正周期为，所以是的一个周期，所以该选项正确；
B. 所以该选项是错误的；
C. 的值域为R，所以该选项是正确的；
D. 的图象关于点对称,所以该选项是正确的.
故选B
本题主要考查正切函数的图像和性质，意在考查学生对该知识的理解掌握水平，属于基础题.
4、D
【解析】
试题分析：由题意得，可采用验证法，分别令，即可作出选择，只有满足题意，故选D．
考点：归纳数列的通项公式．
5、D
【解析】
因为as+t=as•at，lg（xy）=lgx+lgy（x，y为正实数），
所以2lg（xy）=2lgx+lgy=2lgx•2lgy，满足上述两个公式，
故选D．
6、B
【解析】
根据扇形的弧长与面积公式,代入已知条件即可求解.
【详解】
设扇形的弧长为,面积为,半径为,圆心角弧度数为
由定义可得,代入
解得rad
故选:B
本题考查了扇形的弧长与面积公式应用,属于基础题.
7、D
【解析】
先求出直线的斜率，再求直线的倾斜角.
【详解】
由题得直线的斜率.
故选：D
本题主要考查直线的斜率和倾斜角的计算，意在考查学生对该知识的理解掌握水平和分析推理能力.
8、C
【解析】
试题分析：由于等差数列中也成等差数列，即成等差数列，所以，故选C.
考点：等差数列前项和的性质.
9、A
【解析】
设等差数列的公差为，根据得到，推出，判断出当时，；时，；再根据，判断出对取正负的影响，进而可得出结果.
【详解】
设等差数列的公差为，因为数列是等差数列，，
所以，因此，所以，
所以，，
因此，当时，；时，，
因为，
所以当时，，当时，，
当时，，
当时，因为，所以；
因为

所以，当时，取得最大值.
故选：A
本题主要考查等差数列的应用，熟记等差数列的性质，及其函数特征即可，属于常考题型.
10、A
【解析】
试题分析：直三棱柱的各项点都在同一个球面上，如图所示，所以中，，所以下底面的外心为的中点，同理，可得上底面的外心为的中点，连接，则与侧棱平行，所以平面，再取的中点，可得点到的距离相等，
所以点是三棱柱的为接球的球心，因为直角中，，所以，即外接球的半径，因此三棱柱外接球的体积为，故选A.

考点：组合体的结构特征；球的体积公式.
【方法点晴】本题主要考查了球的组合体的结构特征、球的体积的计算，其中解答中涉及到三棱柱的线面位置关系、直三棱柱的结构特征、球的性质和球的体积公式等知识点的综合考查，着重考查了学生分析问题和解答问题的能力，以及推理与运算能力和学生的空间想象能力，试题有一定的难度，属于中档试题.

二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。
11、
【解析】
以为坐标原点建立平面直角坐标系，用坐标表示出的值，然后利用换元法求解出对应的最小值即可.
【详解】
如图所示，设，所以，
根据条件可知：，所以，
设，，，
所以，所以，
所以，

所以当时，有最小值，最小值为.
故答案为：.

本题考查利用坐标法以及换元法求解最值，着重考查逻辑推理和运算求解的能力，属于较难题
(1)利用换元法求解最值时注意，换元后新元的取值范围；
(2)三角函数中的一组“万能公式”：，.
12、
【解析】
化简函数解析式，，时，是余弦函数单调减区间的子集，即可求解.
【详解】
,
时，,
且在上是减函数，
，
，
因为
解得.
本题主要考查了函数的三角恒等变化，余弦函数的单调性，属于中档题.
13、
【解析】
由方程可得或，然后分别解出规定范围内的解即可.
【详解】
因为
所以或
由得或
因为，所以
由得
因为，所以
综上：解集是
故答案为：
方程的等价转化为或，不要把遗漏了.
14、
【解析】
由题意可得：

点睛：熟记同角三角函数关系式及诱导公式，特别是要注意公式中的符号问题；
注意公式的变形应用，如sin2α＝1－cos2α，cos2α＝1－sin2α，1＝sin2α＋cos2α及sin α＝tan α·cos α等．这是解题中常用到的变形，也是解决问题时简化解题过程的关键所在．
15、3
【解析】
由余弦型函数的值域可求得整个函数的值域，进而得到最大值.
【详解】
，即
故答案为：
本题考查含余弦型函数的值域的求解问题，关键是明确在自变量无范围限制时，余弦型函数的值域为.
16、
【解析】
根据侧面积求出正四棱锥的棱长，画出组合体的截面图，根据三角形的相似求得四棱锥内切球的半径，于是可得内切球的表面积．
【详解】
设正四棱锥的棱长为，则，
解得．
于是该正四棱锥内切球的大圆是如图△PMN的内切圆，

其中，．
∴．
设内切圆的半径为，
由∽，得，即，
解得，
∴内切球的表面积为．
与球有关的组合体问题，一种是内切，一种是外接．解题时要认真分析图形，明确切点和接点的位置，确定有关元素间的数量关系，并作出合适的截面图，如球内切于正方体，切点为正方体各个面的中心，正方体的棱长等于球的直径；球外接于正方体，正方体的顶点均在球面上，正方体的体对角线长等于球 的直径．

三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17、（1）3.6万；
（2）2.06.
【解析】
（1）由频率分布直方图的性质，求得，利用频率分布直方图求得月均用水量不低于3吨的频率为，进而得到样本中月均用水量不低于3吨的户数；
（2）根据频率分布直方图，利用中位数的定义，即可求解．
【详解】
（1）由频率分布直方图的性质，
可得，
即，解得，
又由频率分布直方图可得月均用水量不低于3吨的频率为，
即样本中月均用水量不低于3吨的户数为万．
（2）根据频率分布直方图，
得：，
则，
所以中位数应在组内，即，
所以中位数是．
本题主要考查了频率分布直方图的性质，以及频率分布直方图中位数的求解及应用，其中解答中熟记频率分布直方图的性质和中位数的计算是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题．
18、（1）（2）的最大值为.
【解析】
（1）利用周长，可以求出的长，利用平面几何的知识可得，再利用勾股定理，可以求出的值，由矩形的周长为，可求出的取值范围，最后利用三角形面积公式求出的解析式；
（2）化简（1）的解析式，利用基本不等式，可以求出的最大值．
【详解】
（1）如下图所示：

∵设，则，
又，
即，
∴，得
，
∵，
∴，
∴的面积．
（2）由（1）可得，

，
当且仅当，即时取等号，
∴的最大值为，此时．
本题考查了求函数解析式，考查了基本不等式，考查了数学运算能力.
19、见解析.
【解析】
根据定义域，分别利用解析法，列表法，图像法表示即可.
【详解】
解：这个函数的定义域是数集.
用解析法可将函数表示为，.
用列表法可将函数表示为
笔记本数
1
2
3
4
5
钱数
5
10
15
20
25
用图象法可将函数表示为：

本题考查函数的表示方法，注意函数的定义域，是基础题.
20、（1） （2）证明见解析
【解析】
（1）直接利用三角形的面积公式求得，再由余弦定理列方程求出结果；（2）两次利用正弦定理，结合两角差的正弦公式、二倍角的正弦公式进行恒等变换求出结果．
【详解】
（1）因为, 即，
又因为,，所以．
在△中,由余弦定理得，
即，解得．
（2）在△中，，因为，则，又，
由正弦定理，有， 所以．
在△中, ，
由正弦定理得，，即，
化简得展开并整理得

以三角形为载体，三角恒等变换为手段，正弦定理、余弦定理为工具，对三角函数及解三角形进行考查是近几年高考考查的一类热点问题，一般难度不大，但综合性较强.解答这类问题，两角和与差的正余弦公式、诱导公式以及二倍角公式，一定要熟练掌握并灵活应用，特别是二倍角公式的各种变化形式要熟记于心.
21、（1）；（2）
【解析】
（1）根据同角三角函数平方关系即可求得结果；
（2）利用同角三角函数商数关系可求得，代入两角和差正切公式可求得结果.
【详解】
（1）为第二象限角
（2）由（1）知：

本题考查同角三角函数值的求解、两角和差正切公式的应用；易错点是忽略角所处的范围，造成三角函数值符号求解错误.