上海市杨浦区2024-2025学年高一下数学期末质量跟踪监视模拟试题含解析.doc

上海市杨浦区2024-2025学年高一下数学期末质量跟踪监视模拟试题
考生请注意：
1．答题前请将考场、试室号、座位号、考生号、姓名写在试卷密封线内，不得在试卷上作任何标记。
2．第一部分选择题每小题选出答案后，需将答案写在试卷指定的括号内，第二部分非选择题答案写在试卷题目指定的位置上。
3．考生必须保证答题卡的整洁。考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的
1．已知点是直线上一动点、是圆的两条切线，、是切点，若四边形的最小面积是，则的值为（ ）
A． B． C． D．
2．设数列满足，且，则数列中的最大项为（ ）
A． B． C． D．
3．等差数列中，，且，且，是其前项和，则下列判断正确的是（ ）
A．、、均小于，、、、均大于
B．、、、均小于，、、均大于
C．、、、均小于，、、均大于
D．、、、均小于，、、均大于
4．给出函数为常数，且，，无论a取何值，函数恒过定点P，则P的坐标是　　
A． B． C． D．
5．同时掷两个骰子，向上的点数之和是的概率是（　　）
A． B． C． D．
6．2019年是新中国成立70周年，涡阳县某中学为庆祝新中国成立70周年，举办了“我和我的祖国”演讲比赛，某选手的6个得分去掉一个最高分，去掉一个最低分，4个剩余分数的平均分为91.现场制作的6个分数的茎叶图后来有1个数据模糊，无法辨认，在图中以表示，则4个剩余分数的方差为（ ）

A．1 B． C．4 D．6
7．设集合,则（ ）
A． B． C． D．
8．中，，则（ ）
A． B． C．或 D．0
9．在面积为S的平行四边形ABCD内任取一点P，则三角形PBD的面积大于的概率为（ ）
A． B． C． D．
10．某学校高一、高二年级共有1800人，现按照分层抽样的方法，抽取90人作为样本进行某项调查.若样本中高一年级学生有42人，则该校高一年级学生共有（ ）
A．420人 B．480人 C．840人 D．960人
二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。
11．若、为单位向量，且，则向量、的夹角为_______.（用反三角函数值表示）
12．如图是函数f(x)=Asin(ωx+φ)(A>0，ω>0，0<φ<π)的一个周期的图象，则f(1)=__________.

13．若直线与曲线相交于A，B两点，O为坐标原点，当的面积取最大值时，实数m的取值____．
14．已知等差数列的公差为2，若成等比数列，则________．
15．已知，则__________.
16．的内角的对边分别为.若，则的面积为__________.
三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．已知函数，．
（1）求函数的单调减区间；
（2）若存在，使等式成立，求实数的取值范围．
18．底面半径为3，高为的圆锥有一个内接的正四棱柱（底面是正方形，侧棱与底面垂直的四棱柱）．

（1）设正四棱柱的底面边长为，试将棱柱的高表示成的函数；
（2）当取何值时，此正四棱柱的表面积最大，并求出最大值．
19．已知.
（1）当时，求数列前n项和；（用和n表示）；
（2）求.
20．某算法框图如图所示.

(1)求函数的解析式及的值；
(2)若在区间内随机输入一个值，求输出的值小于0的概率.
21．已知数列前n项和，点在函数的图象上．
(1)求的通项公式；
(2)设数列的前n项和为，不等式对任意的正整数恒成立，求实数a的取值范围．
参考答案

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的
1、D
【解析】
作出图形，可知，由四边形的最小面积是，可知此时取最小值，由勾股定理可知的最小值为，即圆心到直线的距离为，结合点到直线的距离公式可求出的值.
【详解】
如下图所示，由切线长定理可得，又，，且，，
所以，四边形的面积为面积的两倍，

圆的标准方程为，圆心为，半径为，
四边形的最小面积是，所以，面积的最小值为，
又，，
由勾股定理，
当直线与直线垂直时，取最小值，
即，整理得，，解得.
故选：D.
本题考查由四边形面积的最值求参数的值，涉及直线与圆的位置关系的应用，解题的关键就是确定动点的位置，考查分析问题和解决问题的能力，属于中等题.
2、A
【解析】
利用累加法求得的通项公式，再根据的单调性求得最大项.
【详解】
因为
故
故
则，其最大项是的最小项的倒数，
又，当且仅当或时，取得最小值7.
故得最大项为.
故选：A.
本题考查由累加法求数列的通项公式，以及数列的单调性，属综合基础题.
3、C
【解析】
由，且可得，，，，结合等差数列的求和公式即等差数列的性质即可判断.
【详解】
，且，，数列的前项都是负数，
，，，由等差数列的求和公式可得，
，
由公差可知，、、、均小于，、、均大于.
故选：C.
本题考查等差数列前项和符号的判断，解题时要充分结合等差数列下标和的性质以及等差数列求和公式进行计算，考查分析问题和解决问题的能力，属于中等题.
4、D
【解析】
试题分析：因为恒过定点，所以函数恒过定点.故选D.
考点：指数函数的性质.
5、C
【解析】
分别计算出所有可能的结果和点数之和为的所有结果，根据古典概型概率公式求得结果.
【详解】
同时掷两个骰子，共有种结果
其中点数之和是的共有：，共种结果
点数之和是的概率为：
本题正确选项：
本题考查古典概型问题中的概率的计算，关键是能够准确计算出总体基本事件个数和符合题意的基本事件个数，属于基础题.
6、B
【解析】
由题意得x≥3，由此能求出4个剩余数据的方差．
【详解】
由题意得x≥3，
则4个剩余分数的方差为：
s2[（93﹣91）2+（90﹣91）2+（90﹣91）2+（91﹣91）2]．
故选B．
本题考查了方差的计算问题，也考查了茎叶图的性质、平均数、方差等基础知识，是基础题．
7、B
【解析】
试题分析：由已知得，，故，选B．
考点：集合的运算．
8、D
【解析】
根据正弦定理把角化为边，可得，然后根据余弦定理，可得，最后使用余弦定理，可得结果.
【详解】
由，所以，即
由，又
所以，则
故，又
故选：D
本题考查正弦定理、余弦定理的应用，属基础题.
9、A
【解析】
转化条件求出满足要求的P点的范围，求出面积比即可得解.
【详解】
如图，

设P到BD距离为h，A到BD距离为H，则，
，满足条件的点在和中，
所求概率.
故选：A.
本题考查了几何概型的概率计算，属于基础题.
10、C
【解析】
先由样本容量和总体容量确定抽样比，用高一年级抽取的人数除以抽样比即可求出结果.
【详解】
由题意需要从1800人中抽取90人，所以抽样比为，
又样本中高一年级学生有42人，所以该校高一年级学生共有人.故选C
本题主要考查分层抽样，先确定抽样比，即可确定每层的个体数，属于基础题型.

二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。
11、.
【解析】
设向量、的夹角为，利用平面向量数量积的运算律与定义计算出的值，利用反三角函数可求出的值.
【详解】
设向量、的夹角为，
由平面向量数量积的运算律与定义得，，，因此，向量、的夹角为，故答案为.
本题考查利用平面向量的数量积计算平面向量所成的夹角，解题的关键就是利用平面向量数量积的定义和运算律，考查运算求解能力，属于中等题.
12、2
【解析】
由三角函数图象，利用三角函数的性质，求得函数的解析式，即可求解的值，得到答案.
【详解】
由三角函数图象，可得，
由，得，于是，
又，即，解得，所以，
则.
本题主要考查了由三角函数的部分图象求解函数的解析式及其应用，其中解答中熟记三角函数的图象与性质，准确计算是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题.
13、
【解析】
点O到的距离，将的面积用表示出来，再利用均值不等式得到答案.
【详解】
曲线表示圆心在原点，半径为1的圆的上半圆，
若直线与曲线相交于A，B两点，则直线的斜率，
则点O到的距离，又，
当且仅当，即时，取得最大值．所以，
解得舍去)．
故答案为．
本题考查了点到直线的距离，三角形面积，均值不等式，意在考查学生的计算能力.
14、
【解析】
利用等差数列{an}的公差为1，a1，a3，a4成等比数列，求出a1，即可求出a1．
【详解】
∵等差数列{an}的公差为1，a1，a3，a4成等比数列，
∴（a1+4）1=a1（a1+2），
∴a1=-8，
∴a1=-2．
故答案为-2.．
本题考查等比数列的性质，考查等差数列的通项，考查学生的计算能力，属基础题.．
15、
【解析】
对已知等式的左右两边同时平方，利用同角的三角函数关系式和二倍角的正弦公式，可以求出的值，再利用二倍角的余弦公式可以求出.
【详解】
因为，所以，即，
所以.
本题考查了同角的三角函数关系，考查了二倍角的正弦公式和余弦公式，考查了数学运算能力.
16、
【解析】
本题首先应用余弦定理，建立关于的方程，应用的关系、三角形面积公式计算求解，本题属于常见题目，难度不大，注重了基础知识、基本方法、数学式子的变形及运算求解能力的考查．
【详解】
由余弦定理得，
所以，
即
解得（舍去）
所以，

本题涉及正数开平方运算，易错点往往是余弦定理应用有误或是开方导致错误．解答此类问题，关键是在明确方法的基础上，准确记忆公式，细心计算．

三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17、（1），．（2）
【解析】
（1）利用降次公式和辅助角公式化简表达式，根据三角函数单调区间的求法，求得函数的单调减区间.
（2）首先求得当时的值域.利用换元法令，将转化为，根据的范围，结合二次函数的性质，求得的取值范围.
【详解】
（1）

由 （）
解得 （）．
所以所求函数的单调减区间是 ，．
（2）当时，，，
即．
令 （），则关于的方程在上有解，
即关于的方程在上有解．
当时，．
所以，则．
因此所求实数的取值范围是 ．
本小题主要考查三角恒等变换，考查三角函数单调区间的求法，考查根据方程的根存在求参数的取值范围，考查二次函数的性质，考查化归与转化的数学思想方法，属于中档题.
18、 (1) ;(2) 正四棱柱的底面边长为时，正四棱柱的表面积最大值为48.
【解析】
试题分析：（1）根据比例关系式求出关于的解析式即可；（2）设该正四棱柱的表面积为，得到关系式，根据二次函数的性质求出的最大值即可.
试题解析：（1）根据相似性可得：， 解得：；
（2）设该正四棱柱的表面积为．则有关系式
，
因为，所以当时，，
故当正四棱柱的底面边长为时，正四棱柱的表面积最大值为.
点睛：本题考查了数形结合思想，考查二次函数的性质以及求函数的最值问题，是一道中档题；该题中的难点在于必须注意圆锥轴截面图时，三角形内的矩形的宽为正四棱柱的底面对角线的长度，除了二次函数求最值以外还有基本不等式法、转化法：如求的最小值，那么可以看成是数轴上的点到和的距离之和，易知最小值为2、求导法等.
19、（1）时，时，；（2）；
【解析】
（1）当时，求出，再利用错位相减法，求出的前项和；（2）求出的表达式，对，的大小进行分类讨论，从而求出数列的极限.
【详解】
（1）当时，可得，
当时，得到，
所以，
当时，
所以，
两边同乘得
上式减去下式得
，
所以

所以综上所述，时，；时，.
（2）由（1）可知当时，
则；
当时，

则
若，
若，
所以综上所述.
本题考查错位相减法求数列的和，数列的极限，涉及分类讨论的思想，属于中档题.
20、（1）；（2）
【解析】
(1)从程序框图可提炼出分段函数的函数表达式，从而计算得到的值;
(2)此题为几何概型，分类讨论得到满足条件下的函数x值，从而求得结果.
【详解】
(1)由算法框图得：
当时，，当时，，当时，，

，
(2)当时，，当时，由得
故所求概率为
本题主要考查分段函数的应用，算法框图的理解,意在考查学生分析问题的能力.
21、（1）；（2）.
【解析】
试题分析：（1）将点的坐标代入函数的方程得到.利用，可求得数列的通项公式为.（2）利用裂项求和法求得.为递增的数列，当时有最小值为，所以，解得.
试题解析：
（1）点在函数的图象上，.①
当时，，②
①-②得.
当时，，符合上式.
．
（2）由（1）得
，

．
，
数列单调递增，
中的最小项为.
要使不等式对任意正整数恒成立，
只要，
即.
解得，
即实数的取值范围为.
点睛:本题主要考查函数与数列，考查已知数列前项和，求数列通项的方法，即用公式.要注意验证当时等号是否成立.考查了裂项求和法，当数列通项是分数的形式，并且分母是两个等差数列的乘积的时候，可考虑用裂项求和法求和.还考查了数列的单调性和恒成立问题的解法.