2025年北京一六一中学数学高一第二学期期末达标检测试题含解析.doc

2025年北京一六一中学数学高一第二学期期末达标检测试题
注意事项：
1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号、考场号和座位号填写在试题卷和答题卡上。用2B铅笔将试卷类型（B）填涂在答题卡相应位置上。将条形码粘贴在答题卡右上角"条形码粘贴处"。
2．作答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案。答案不能答在试题卷上。
3．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液。不按以上要求作答无效。
4．考生必须保证答题卡的整洁。考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的
1．已知函数，则（ ）
A．的最小正周期为，最大值为1 B．的最小正周期为，最大值为
C．的最小正周期为，最大值为1 D．的最小正周期为，最大值为
2．在中,,则是（ ）
A．等边三角形 B．直角三角形
C．等腰三角形 D．等腰直角三角形
3．得到函数的图象，只需将的图象（ ）
A．向左移动 B．向右移动 C．向左移动 D．向右移动
4．已知 ，，则( )
A． B． C． D．
5．已知两个等差数列，的前项和分别为，，若对任意的正整数，都有，则等于( )
A．1 B． C． D．
6．如图，PA垂直于以AB为直径的圆所在平面，C为圆上异于A，B的任意一点，垂足为E，点F是PB上一点，则下列判断中不正确的是（ ）﹒

A．平面PAC B． C． D．平面平面PBC
7．角的终边经过点，那么的值为（ ）
A． B． C． D．
8．函数的图象可能是( )
A． B．
C． D．
9．若，则下列不等式恒成立的是（ ）
A． B． C． D．
10．的弧度数是（ ）
A． B． C． D．
二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。
11．当时，不等式成立，则实数k的取值范围是______________.
12．等比数列的首项为，公比为，记，则数列的最大项是第___________项.
13．若无穷数列的所有项都是正数，且满足，则______．
14．已知关于两个随机变量的一组数据如下表所示，且成线性相关，其回归直线方程为，则当变量时，变量的预测值应该是_________ ．

2
3
4
5
6

4
6
7
10
13

15．已知四棱锥的底面是边长为的正方形，侧棱长均为.若圆柱的一个底面的圆周经过四棱锥四条侧棱的中点，另一个底面的圆心为四棱锥底面的中心，则该圆柱的体积为__________.
16．已知数列，其前项和为，若，则在，，…，中，满足的的个数为______.
三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．设函数，其中.
（1）在实数集上用分段函数形式写出函数的解析式；
（2）求函数的最小值.
18．已知四棱锥的底面ABCD是菱形，平面ABCD，，，F，G分别为PD，BC中点，.

（Ⅰ）求证：平面PAB；
（Ⅱ）求三棱锥的体积；
（Ⅲ）求证：OP与AB不垂直.
19．已知向量
（1）求函数的单调递减区间；
（2）在中，，若，求的周长.
20．已知角的顶点在坐标原点，始边与轴的正半轴重合，终边经过点，，且，求（用含、、的形式表示）.
21．已知,,求证:
(1);
(2).
参考答案

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的
1、D
【解析】
结合二倍角公式，对化简，可求得函数的最小正周期和最大值.
【详解】
由题意，，
所以，当时，取得最大值为.
由函数的最小正周期为，故的最小正周期为.
故选：D.
本题考查三角函数周期性与最值，考查学生的计算求解能力，属于基础题.
2、C
【解析】
由二倍角公式可得，，再根据诱导公式可得，然后利用两角和与差的余弦公式，即可将化简成，所以，即可求得答案．
【详解】
因为，
，
所以，，即，．
故选：C．
本题主要考查利用二倍角公式，两角和与差的余弦公式进行三角恒等变换，意在考查学生的数学运算能力，属于基础题．
3、B
【解析】
直接利用三角函数图象的平移变换法则,对选项中的变换逐一判断即可.
【详解】
函数的图象，向左平移个单位，得，错；
函数的图象,向右平移个单位，得，对.
函数的图象,向左平移个单位，得，错；
函数的图象,向右平移个单位，得，错,故选B.
本题考查了三角函数的图象，重点考查学生对三角函数图象变换规律的理解与掌握，能否正确处理先周期变换后相位变换这种情况下图象的平移问题，反映学生对所学知识理解的深度.
4、C
【解析】
利用二倍角公式变形为，然后利用弦化切的思想求出的值，可得出角的值．
【详解】

，化简得，
，则，，因此，，故选C．
本题考查二倍角公式的应用，考查弦切互化思想的应用，考查给值求角的问题，着重考查学生对三角恒等变换思想的应用能力，属于中等题．
5、B
【解析】
利用等差数列的性质将化为同底的，再化简，将分子分母配凑成前n项和的形式，再利用题干条件，计算。
【详解】
∵等差数列，的前项和分别为，，对任意的正整数，都有，
∴．
故选B.
本题考查等差数列的性质的应用，属于中档题。
6、C
【解析】
根据线面垂直的性质及判定，可判断ABC选项，由面面垂直的判定可判断D.
【详解】
对于A，PA垂直于以AB为直径的圆所在平面，而底面圆面，则，
又由圆的性质可知，且，
则平面PAC.所以A正确；
对于B，由A可知，由题意可知，且，所以平面，而平面，所以，所以B正确；
对于C，由B可知平面，因而与平面不垂直，所以不成立，所以C错误.
对于D，由A、B可知，平面PAC，平面，由面面垂直的性质可得平面平面PBC.所以D正确；
综上可知，C为错误选项.
故选：C.
本题考查了线面垂直的性质及判定，面面垂直的判定定理，属于基础题.
7、C
【解析】
，故选C。
8、D
【解析】
判断函数的奇偶性排除选项，利用特殊点的位置排除选项即可．
【详解】
函数是奇函数，排除选项A，C；
当时，，对应点在x轴下方，排除B；
故选：D．
本题考查函数的图象的判断，函数的奇偶性以及特殊点的位置是判断函数的图象的常用方法．
9、D
【解析】
利用不等式的性质、对数、指数函数的图像和性质，对每一个选项逐一分析判断得解.
【详解】
对于选项A, 不一定成立，如a=1＞b=-2,但是，所以该选项是错误的；
对于选项B, 所以该选项是错误的；
对于选项C,ab符号不确定，所以不一定成立，所以该选项是错误的；
对于选项D, 因为a>b,所以，所以该选项是正确的.
故选D
本题主要考查不等式的性质，考查对数、指数函数的图像和性质，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.
10、B
【解析】
由角度与弧度的关系转化．
【详解】
-150．
故选：B.
本题考查角度与弧度的互化，解题关键是掌握关系式：．

二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。
11、k∈（﹣∞，1]
【解析】
此题先把常数k分离出来，再构造成再利用导数求函数的最小值，使其最小值大于等于k即可．
【详解】
由题意知：
∵当0≤x≤1时
（1）当x＝0时，不等式恒成立 k∈R
（2）当0＜x≤1时，不等式可化为

要使不等式恒成立，则k成立
令f（x） x∈（0，1]
即 f '（x）
再令g（x）
g'（x）
∵当0＜x≤1时，g'（x）＜0
∴g（x）为单调递减函数
∴g（x）＜g（0）＝0
∴f '（x）＜0
即函数f（x）为单调递减函数
所以 f（x）min＝f（1）＝1 即k≤1
综上所述，由（1）（2）得 k≤1
故答案为： k∈（﹣∞，1]．
本题主要考查利用导数求函数的最值，属于中档题型．
12、
【解析】
求得，则可将问题转化为求使得最大且使得为偶数的正整数的值，利用二次函数的基本性质求解即可.
【详解】
由等比数列的通项公式可得，
，
则问题转化为求使得最大且使得为偶数的正整数的值，
，当时，取得最大值，此时为偶数.
因此，的最大项是第项.
故答案为：.
本题考查等比数列前项积最值的计算，将问题进行转化是解题的关键，考查分析问题和解决问题的能力，属于中等题.
13、
【解析】
先由作差法求出数列的通项公式为，即可计算出，然后利用常用数列的极限即可计算出的值.
【详解】
当时，，可得；
当时，由，
可得，
上式下式得，得，
也适合，则，.
所以，.
因此，.
故答案为：.
本题考查利用作差法求数列通项，同时也考查了数列极限的计算，考查计算能力，属于中等题.
14、21.2
【解析】
计算出，，可知回归方程经过样本中心点，从而求得，代入可得答案.
【详解】
由表中数据知，，，线性回归直线必过点，所以将，代入回归直线方程中，得，所以当时，.
本题主要考查回归方程的相关计算，难度很小.
15、.
【解析】
根据棱锥的结构特点，确定所求的圆柱的高和底面半径．
【详解】
由题意四棱锥的底面是边长为的正方形，侧棱长均为，借助勾股定理，可知四棱锥的高为，.若圆柱的一个底面的圆周经过四棱锥四条侧棱的中点，圆柱的底面半径为，一个底面的圆心为四棱锥底面的中心，故圆柱的高为，故圆柱的体积为．
本题主要考查了圆柱与四棱锥的组合，考查了空间想象力，属于基础题.
16、1
【解析】
运用周期公式，求得，运用诱导公式及三角恒等变换，化简可得，即可得到满足条件的的值．
【详解】
解：，
可得周期，

，
则满足的的个数为
．
故答案为：1．
本题考查三角函数的周期性及应用，考查三角函数的化简和求值，以及运算能力，属于中档题．

三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17、（1）；（2）.
【解析】
（1）令，解得的范围，再结合的意义分段函数形式写出函数的解析式即可.
（2）利用的奇偶性，只需要考虑的情形，只需分两种情形讨论：，当时，分别求出的最小值即可.
【详解】
（1），
令，得，
解得或，

（2）因为是偶函数，所以只需考虑的情形，
当时，，当时，
当时，，当时，，
时，.
本题主要考查函数单调性的应用、函数解析式的求法、不等式的解法等基本知识，考查了运算求解能力，考查分类讨论思想、化归与转化思想，属于基础题.
18、（Ⅰ）见解析（Ⅱ）（Ⅲ）见解析
【解析】
（Ⅰ）连接，，由已知结合三角形中位线定理可得平面，再由面面平行的判断可得平面平面，进而可得平面；
（Ⅱ）首先证明平面，而为的中点，然后利用等积法求三棱锥的体积；
（Ⅲ）直接利用反证法证明与不垂直.
【详解】
（Ⅰ）如图，连接，

∵是中点，是中点，
∴，而平面，平面，
∴平面，
又∵是中点，是中点，
∴，而平面，平面，
∴平面，又
∴平面平面，即平面.
（Ⅱ）∵底面，
∴，又四边形为菱形，
∴，又，
∴平面，而为的中点，
∴.
（Ⅲ）假设，又，且，
∴平面，则，与矛盾，
∴假设错误，故与不垂直.
本题考查直线与平面平行的判定，考查空间想象能力与思维能力，训练了利用反证法证明线线垂直问题，训练了利用等积法求解多面体的体积，属于中档题．
19、 (1); (2)
【解析】
(1)根据向量的数量积公式、二倍角公式及辅助角公式将化简为，然后利用三角函数的性质，即可求得的单调减区间；
(2)由(1)及可求得，由可得，再结合余弦定理即可求得，进而可得的周长.
【详解】
解：(1)

所以函数的单调递减区间为：
(2)，，
又因在中，,
,
设的三个内角所对的边分别为，
又，且
，，则，
所以的周长为.
本题考查平面向量的数量积公式，三角函数的二倍角公式、辅助角公式和三角函数的性质，以及利用正弦定理、余弦定理解三角形，考查理解辨析能力及求解运算能力，属于中档题.
20、
【解析】
由任意角的三角函数定义求得，再由诱导公式及同角的三角函数基本关系式求得，再由两角差的正弦求.
【详解】
由题意，，，
又，所以，
，

则 .
本题主要考查了任意角的三角函数定义，同角三角函数的关系，两角和差的正弦，属于中档题.
21、 (1)证明见详解；(2)证明见详解.
【解析】
（1）利用不等式性质，得，再证，最后证明；
（2）先证，再证明.
【详解】
证明：(1)因为,所以,
于是，即,
由，得.
(2)因为，所，
又因为，所以，
所以.
本题考查利用不等式性质证明不等式，需要熟练掌握不等式的性质，属综合基础题.