广东省三校2025届高一下数学期末统考试题含解析.doc

广东省三校2025届高一下数学期末统考试题
注意事项:
1．答题前，考生先将自己的姓名、准考证号码填写清楚，将条形码准确粘贴在条形码区域内。
2．答题时请按要求用笔。
3．请按照题号顺序在答题卡各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试卷上答题无效。
4．作图可先使用铅笔画出，确定后必须用黑色字迹的签字笔描黑。
5．保持卡面清洁，不要折暴、不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的
1．设是等差数列的前项和,若,则
A． B． C． D．
2．《九章算术》中有这样一个问题：今有女子善织，日增等尺，七日织二十八尺，第二日、第五日、第八日所织之和为十五尺，问若聘该女子做工半月（15日），一共能织布几尺（ ）
A．75 B．85 C．105 D．120
3．已知是椭圆与双曲线的公共焦点，P是它们的一个公共点，且，线段的垂直平分线过，若椭圆的离心率为，双曲线的离心率为，则的最小值为（）
A． B．3 C．6 D．
4．已知三角形ABC，如果，则该三角形形状为（ ）
A．锐角三角形 B．钝角三角形 C．直角三角形 D．以上选项均有可能
5．圆锥的母线长为，侧面展开图为一个半圆，则该圆锥表面积为（ ）
A． B． C． D．
6．将函数的图象沿轴向左平移个单位，得到一个偶函数的图象，则的一个可能取值为（ ）
A． B． C． D．
7．已知实数，满足，，且，，成等比数列，则有（ ）
A．最大值 B．最大值 C．最小值 D．最小值
8．如图所示，在四边形中，，，.将四边形沿对角线折成四面体，使平面平面，则下列结论中正确的结论个数是（ ）

①；②；
③与平面所成的角为；
④四面体的体积为.
A．个 B．个 C．个 D．个
9．在中，，点P是直线BN上一点，若，则实数m的值是（ ）
A．2 B． C． D．
10．设函数，则( )
A．在单调递增，且其图象关于直线对称
B．在单调递增，且其图象关于直线对称
C．在单调递减，且其图象关于直线对称
D．在单调递增，且其图象关于直线对称
二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。
11．设为正实数.若存在、，使得，则的取值范围是______.
12．已知在中，，则____________.
13．已知：，则的取值范围是__________．
14．如图，正方形中，分别为边上点，且，，则________.

15．若,则________.
16．67是等差数列-5，1，7，13，……中第项，则___________________．
三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．已知函数.
（1）求证：；
（2）若角满足，求锐角的取值范围.
18．已知数列是等差数列，，．
（1）从第几项开始；
（2）求数列前n项和的最大值．
19．设等比数列的前n项和为.已知，，求和.
20．已知定义域为的函数是奇函数.
（Ⅰ）求实数的值；
（Ⅱ）判断函数的单调性，并用定义加以证明.
21．设是一个公比为q的等比数列，且，，成等差数列.
（1）求q；
（2）若数列前4项的和，令，求数列的前n项和.
参考答案

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的
1、A
【解析】
，，选A.
2、D
【解析】
设第一天织尺，第二天起每天比前一天多织尺，由已知得，，故选D.
【方法点睛】本题主要考查等差数列的通项公式、等差数列的前 项和公式，属于中档题. 等差数列基本量的运算是等差数列的一类基本题型，数列中的五个基本量，一般可以“知二求三”，通过列方程组所求问题可以迎刃而解，另外，解等差数列问题要注意应用等差数列的性质（）与前 项和的关系.
3、C
【解析】
利用椭圆和双曲线的性质，用椭圆双曲线的焦距长轴长表示，再利用均值不等式得到答案.
【详解】
设椭圆长轴，双曲线实轴，由题意可知：，
又，，
两式相减，可得：，，
. ，
，当且仅当时等立，
的最小值为6，
故选:C．

本题考查了椭圆双曲线的性质，用椭圆双曲线的焦距长轴长表示是解题的关键，意在考查学生的计算能力.
4、B
【解析】
由正弦定理化简已知可得：，由余弦定理可得，可得为钝角，即三角形的形状为钝角三角形.
【详解】
由正弦定理，，
可得,化简得，
由余弦定理可得：，又，
为钝角，即三角形为钝角三角形.
故选：B.
本题主要考查了正弦定理，余弦定理在解三角形中的应用，考查了转化思想，属于基础题.
5、B
【解析】
由圆锥展开图为半径为的半圆，得出其弧长等于圆锥的底面圆周长，可得出圆锥底面圆的半径，然后利用圆锥的表面积公式可计算出圆锥的表面积.
【详解】
一个圆锥的母线长为，它的侧面展开图为半圆，
半圆的弧长为，即圆锥的底面周长为，
设圆锥的底面半径是，则得到，解得，这个圆锥的底面半径是，
圆锥的表面积为．故选：B．
本题考查圆锥表面积的计算，计算时要结合已知条件列等式计算出圆锥的相关几何量，考查运算求解能力，属于中等题.
6、B
【解析】
利用函数y＝Asin（ωx+）的图象变换可得函数平移后的解析式，利用其为偶函数即可求得答案．
【详解】
令y＝f（x）＝sin（2x+），
则f（x）＝sin[2（x）+]＝sin（2x），
∵f（x）为偶函数，
∴＝kπ，
∴＝kπ，k∈Z，
∴当k＝0时，．
故的一个可能的值为．
故选：B．
本题考查函数y＝Asin（ωx+）的图象变换，考查三角函数的奇偶性的应用，属于中档题．
7、C
【解析】
试题分析：因为，，成等比数列，所以可得，有最小值，故选C.
考点：1、等比数列的性质；2、对数的运算及基本不等式求最值.
8、B
【解析】
根据题意，依次分析命题：对于①，可利用反证法说明真假；
对于②，为等腰直角三角形，平面，得平面，根据勾股定理逆定理可知；
对于③，由与平面所成的角为知真假；
对于④，利用等体积法求出所求体积进行判定即可，综合可得答案．
【详解】
在四边形中，，，则，可得，
由，若，且，可得平面，
平面，，这与矛盾，故①不正确；
平面平面，平面平面，，平面，
平面，
平面，，
由勾股定理得，，，
，故，故②正确；
由②知平面，则直线与平面所成的角为，且有，
，则为等腰直角三角形，且，则.
故③不正确；
四面体的体积为，故④不正确.
故选：B.
本题主要考查了直线与平面所成的角，以及三棱锥的体积的计算，考查了空间想象能力，推理论证能力，解题的关键是须对每一个进行逐一判定．
9、B
【解析】
根据向量的加减运算法则，通过，把用和表示出来，即可得到的值.
【详解】
在中，，点是直线上一点，
所以，
又三点共线，所以，即.
故选：B.
本题考查实数值的求法，解题时要认真审题，注意平面向量加法法则的合理运用，属于基础题.
10、B
【解析】
先将函数化简，再根据三角函数的图像性质判断单调性和对称性，从而选择答案.
【详解】

根据选项有，当时，在在 上单调递增.
又
即为的对称轴.
当时，为的对称轴.
故选：B
本题考查的单调性和对称性质，属于中档题.

二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。
11、
【解析】
由. 而，故已知条件等价于：存在整数、，使得 ①，再对分类讨论求出的范围.
【详解】
由.
而，故已知条件等价于：存在整数、，使得
. ①
当时，区间的长度不小于，故必存在、满足式①.
当时，注意到，.
故只要考虑如下几种情形：
（1），此时，，且，无解；
（2），此时，；
（3），此时，.
综上，并注意到也满足条件，知.
故答案为：
本题主要考查三角函数的图像和性质，意在考查学生对这些知识的掌握水平和分析推理能力.
12、
【解析】
根据可得，根据商数关系和平方关系可解得结果.
【详解】
因为，所以且，
又，所以，
所以，
因为，所以.
故答案为：.
本题考查了三角函数的符号法则，考查了同角公式中的商数关系和平方关系式，属于基础题.
13、
【解析】
由已知条件将两个角的三角函数转化为一个角的三角函数，再运用三角函数的值域求解.
【详解】
由已知得，
所以，
又因为 ，所以，
解得，所以，
故填 .
本题考查三角函数的值域，属于基础题.
14、（或）
【解析】
先设，根据题意得到，再由两角和的正切公式求出，得到，进而可得出结果.
【详解】
设，则
所以，
所以，因此.
故答案为
本题主要考查三角恒等变换的应用，熟记公式即可，属于常考题型.
15、
【解析】
先求，再代入求值得解.
【详解】
由题得
所以.
故答案为
本题主要考查共轭复数和复数的模的求法，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平，属于基础题.
16、13
【解析】
根据数列写出等差数列通项公式,再令算出即可.
【详解】
由题意,首项为-5,公差为,则等差数列通项公式,令,则
故答案为：13.
等差数列首项为公差为,则通项公式

三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17、（1）证明见解析；（2）.
【解析】
（1）根据函数的解析式化简计算可得出；
（2）由（1）得，由，可得，并推导出函数为上的增函数，可得出，由为锐角可得出，由此可得出锐角的取值范围.
【详解】
（1），
；
（2）任取、，且，
，
，，，
所以，函数是上的增函数，
由（1）知：即，
由，得，
又，
即有，故有，即，
为锐角，则，，的取值范围是.
本题考查利用解析式化简计算，同时也考查了利用函数的单调性解不等式，涉及三角不等式的求解，考查计算能力，属于中等题.
18、（1）从第27项开始（2）
【解析】
（1）写出通项公式解不等式即可；
（2）由（1）得数列最后一个负项为取得最大值处即可求解
【详解】
（1）．解得．所以从第27项开始．
（2）由上可知当时，最大，最大为．
本题考查等差数列的通项公式及前n项和的最值，考查推理能力，是基础题
19、或.
【解析】
试题解析：（1）
解得或
即或
（2）当时，
当时，
考点：本题考查求通项及求和
点评：解决本题的关键是利用基本量法解题
20、（Ⅰ） （Ⅱ）在上单调递增，证明见解析
【解析】
（1）函数的定义域为，利用奇函数的必要条件，，求出，再用奇函数的定义证明；
（2）判断在上单调递增，用单调性的定义证明，任取，求出函数值，用作差法，证明即可.
【详解】
解：（Ⅰ）∵函数是奇函数，定义域为，
∴，即，
解之得，此时
，
为奇函数，；
（Ⅱ）由（Ⅰ）知，，
设，且，

∵，∴，
∴，即
故在上单调递增.
本题考查函数奇偶性的应用，注意奇偶性必要条件的运用，减少计算量但要加以证明，考查函数单调性的证明，属于中档题.
21、（1）；（2）答案不唯一，详见解析.
【解析】
（1）运用等差中项性质和等比数列的通项公式，解方程可得公比；（2）讨论公比，结合等差数列和等比数列的求和公式，以及错位相减法求和，即可得到所求和．
【详解】
（1）因为是一个公比为的等比数列，所以．
因为成等差数列，
所以即．
解得.
（2）①若q=2，又它的前4和，得，解得 所以 .
因为，
∴，2，
∴，
∴
②若q=1，又它的前4和，即4
因为，
所以．
“错位相减法”求数列的和是重点也是难点，利用“错位相减法”求数列的和应注意以下几点：①掌握运用“错位相减法”求数列的和的条件（一个等差数列与一个等比数列的积）；②相减时注意最后一项 的符号；③求和时注意项数别出错；④最后结果一定不能忘记等式两边同时除以.