云南省曲靖市富源县二中2024-2025学年数学高一第二学期期末经典试题含解析.doc

云南省曲靖市富源县二中2024-2025学年数学高一第二学期期末经典试题
注意事项：
1． 答题前，考生先将自己的姓名、准考证号填写清楚，将条形码准确粘贴在考生信息条形码粘贴区。
2．选择题必须使用2B铅笔填涂；非选择题必须使用0．5毫米黑色字迹的签字笔书写，字体工整、笔迹清楚。
3．请按照题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。
4．保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的
1．设，表示两条直线，，表示两个平面，则下列命题正确的是（ ）
A．若，，则 B．若，，则
C．若，，则 D．若，，则
2．设，则（）
A． B． C． D．
3．阅读如图所示的程序，若运该程序输出的值为100，则的面的条件应该是（ ）

A． B． C． D．
4．已知，则的值等于 ( )
A． B． C． D．
5．展开式中的常数项为（ ）
A．1 B．21 C．31 D．51
6．数列中，对于任意，恒有，若，则等于( )
A． B． C． D．
7．函数的图像与函数，的图像的交点个数为（）
A． B． C． D．
8．甲箱子里装有个白球和个红球，乙箱子里装有个白球和个红球．从这两个箱子里分别摸出一个球，设摸出的白球的个数为，摸出的红球的个数为，则（ ）
A．，且 B．，且
C．，且 D．，且
9．在正四棱柱中，，，则与所成角的余弦值为（ ）
A． B． C． D．
10．设矩形的长为，宽为，其比满足∶＝，这种矩形给人以美感，称为黄金矩形．黄金矩形常应用于工艺品设计中．下面是某工艺品厂随机抽取两个批次的初加工矩形宽度与长度的比值样本：
甲批次：0.598 0.625 0.628 0.595 0.639
乙批次：0.618 0.613 0.592 0.622 0.620
根据上述两个样本来估计两个批次的总体平均数，与标准值0.618比较，正确结论是
A．甲批次的总体平均数与标准值更接近
B．乙批次的总体平均数与标准值更接近
C．两个批次总体平均数与标准值接近程度相同
D．两个批次总体平均数与标准值接近程度不能确定
二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。
11．方程的解为______．
12．在明朝程大位《算术统宗》中有这样的一首歌谣：“远看巍巍塔七层，红光点点倍加增，共灯三百八十一，请问尖头几盏灯”.这首古诗描述的这个宝塔古称浮屠，本题说“宝塔一共有七层，每层悬挂的红灯数是上一层的2倍，共有381盏灯，问塔顶有几盏灯？”根据上述条件，从上往下数第二层有___________盏灯．
13．已知点P是矩形ABCD边上的一动点，，，则的取值范围是________.
14．已知且，则________
15．已知等差数列的前项和为，若，则=_______
16．在单位圆中，面积为1的扇形所对的圆心角的弧度数为_ ．
三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．若数列中存在三项，按一定次序排列构成等比数列，则称为“等比源数列”。
（1）在无穷数列中，，，求数列的通项公式；
（2）在（1）的结论下，试判断数列是否为“等比源数列”，并证明你的结论；
（3）已知无穷数列为等差数列，且，（），求证：数列为“等比源数列”.
18．某企业为了解下属某部门对本企业职工的服务情况，随机访问50名职工，根据这50名职工对该部门的评分，绘制频率分布直方图（如图所示），其中样本数据分组区间为

（1）求频率分布直方图中的值；
（2）估计该企业的职工对该部门评分不低于80的概率；
（3）从评分在的受访职工中，随机抽取2人，求此2人评分都在的概率.
19．如图，在四棱锥中，平面，底面是棱长为的菱形，，，是的中点．

（1）求证：//平面；
（2）求直线与平面所成角的正切值．
20．在中，角所对的边分别为．且．
（1）求的值；
（2）若，求的面积．
21．在等差数列中，，其前项和为，等比数列的各项均为正数，，且，.
（1）求数列和的通项公式；
（2）令，设数列的前项和为，求（）的最大值与最小值.
参考答案

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的
1、D
【解析】
对选项进行一一判断，选项D为面面垂直判定定理.
【详解】
对A，与可能异面，故A错；对B，可能在平面内；
对C，与平面可能平行，故C错；对D，面面垂直判定定理，故选D.
本题考查空间中线、面位置关系，判断一个命题为假命题，只要能举出反例即可.
2、D
【解析】
由得，再计算即可.
【详解】
，

，
所以
故选D
本题考查了以数列的通项公式为载体求比值的问题，以及归纳推理的应用，属于基础题．
3、D
【解析】
根据输出值和代码，可得输出的最高项的值，进而结合当型循环结构的特征得判断框内容.
【详解】
根据循环体，可知

因为输出的值为100，
所以由等差数列求和公式可知求和到19停止，
结合当型循环结构特征，可知满足条件时返回执行循环体，
因而判断框内的内容为，
故选：D.
本题考查了当型循环结构的代码应用，根据输出值选择条件，属于基础题.
4、D
【解析】
，所以，则，故选择D.
5、D
【解析】
常数项有三种情况，都是次，或者都是次，或者都是二次，故常数项为
6、D
【解析】
因为,所以 , .选D.
7、A
【解析】
在同一坐标系中画出两函数的图象，根据图象得到交点个数.
【详解】

可得两函数图象如下图所示：

两函数共有个交点
本题正确选项：
本题考查函数交点个数的求解，关键是能够根据两函数的解析式，通过平移和翻折变换等知识得到函数的图象，采用数形结合的方式得到结果.
8、D
【解析】
可取，；，，，，，故选D.
9、A
【解析】
连结，结合几何体的特征，直接求解 与所成角的余弦值即可．
【详解】
如图所示：在正四棱柱中，＝1，＝2，
连结，则与所成角就是中的，
所以与所成角的余弦值为：＝＝．
故选A．

本题考查正四棱柱的性质，直线与直线所成角的求法，考查空间想象能力以及计算能力，属于基础题．
10、A
【解析】
甲批次的平均数为0.617，乙批次的平均数为0.613

二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。
11、或
【解析】
由指数函数的性质得，由此能求出结果．
【详解】
方程，
，
或，
解得或．
故答案为或．
本题考查指数方程的解的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意指数函数的性质的合理运用．
12、6.
【解析】
根据题意可将问题转化为等比数列中，已知和，求解的问题；利用等比数列前项和公式可求得，利用求得结果.
【详解】
由题意可知，每层悬挂的红灯数成等比数列，设为
设第层悬挂红灯数为，向下依次为 且

即从上往下数第二层有盏灯
本题正确结果；
本题考查利用等比数列前项和求解基本量的问题，属于基础题.
13、
【解析】
如图所示，以为轴，为轴建立直角坐标系，故，，设.
，根据几何意义得到最值，
【详解】
如图所示：以为轴，为轴建立直角坐标系，故，，设.
则.
表示的几何意义为到点的距离的平方减去.
根据图像知：当为或的中点时，有最小值为；
当与中的一点时有最大值为.
故答案为：.

本题考查了向量的数量积的范围，转化为几何意义是解题关键.
14、
【解析】
根据数列极限的方法求解即可.
【详解】
由题,故.
又.故.
故.
故答案为：
本题主要考查了数列极限的问题,属于基础题型.
15、
【解析】
利用等差数列前项和，可得；利用等差数列的性质可得，然后求解三角函数值即可．
【详解】
等差数列的前项和为，因为，所以；
又，所以．
故答案为：．
本题考查等差数列的前项和公式和等差数列的性质的应用，熟练掌握和若，则是解题的关键．
16、2
【解析】
试题分析：由题意可得：．
考点：扇形的面积公式．

三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17、（1）；（2）不是，证明见解析；（3）证明见解析.
【解析】
（1）由，可得出，则数列为等比数列，然后利用等比数列的通项公式可间接求出；
（2）假设数列为“等比源数列”，则此数列中存在三项成等比数列，可得出，展开后得出，然后利用数的奇偶性即可得出结论；
（3）设等差数列的公差为，假设存在三项使得，展开得出，从而可得知，当，时，原命题成立.
【详解】
（1），得，即，且.
所以，数列是以为首项，以为公比的等比数列，则，
因此，；
（2）数列不是“等比源数列”，下面用反证法来证明.
假设数列是“等比源数列”，则存在三项、、，设.
由于数列为单调递增的正项数列，则，所以.
得，化简得，
等式两边同时除以得，
，且、、，则，，，，
则为偶数，为奇数，等式不成立.
因此，数列中不存在任何三项，按一定的顺序排列构成“等比源数列”；
（3）不妨设等差数列的公差.
当时，等差数列为非零常数列，此时，数列为“等比源数列”；
当时，，则且，数列中必有一项，
为了使得数列为“等比源数列”，只需数列中存在第项、第项使得，
且有，即，
，
当时，即当，时，
等式成立，
所以，数列中存在、、成等比数列，因此，等差数列是“等比源数列”.
本题考查数列新定义“等比源数列”的应用，同时也考查了利用待定系数法求数列的通项，也考查“等比源数列”的证明，考查计算能力与推理能力，属于难题.
18、（Ⅰ）0.006；（Ⅱ）；（Ⅲ）
【解析】
试题分析：（Ⅰ）在频率分布直方图中，由频率总和即所有矩形面积之和为，可求；（Ⅱ）在频率分布直方图中先求出50名受访职工评分不低于80的频率为，由频率与概率关系可得该部门评分不低于80的概率的估计值为;（Ⅲ）受访职工评分在[50,60)的有3人，记为，受访职工评分在[40,50)的有2 人，记为，列出从这5人中选出两人所有基本事件，即可求相应的概率.
试题解析：（Ⅰ）因为，所以……..4分)
（Ⅱ）由所给频率分布直方图知，50名受访职工评分不低于80的频率为，
所以该企业职工对该部门评分不低于80的概率的估计值为………8分
（Ⅲ）受访职工评分在[50,60)的有：50×0.006×10＝3（人），即为;
受访职工评分在[40,50)的有： 50×0.004×40＝2（人），即为.
从这5名受访职工中随机抽取2人，所有可能的结果共有10种，它们是
又因为所抽取2人的评分都在[40,50)的结果有1种，即，故所求的概率为
考点：1.频率分布直方图；2.概率和频率的关系；3.古典概型.
本题考查频率分布直方图、概率与频率关系、古典概型，属中档题；利用频率分布直方图解题的时，注意其表达的意义，同时要理解频率是概率的估计值这一基础知识；在利用古典概型解题时，要注意列出所有的基本事件，千万不可出现重、漏的情况.
19、（1）见解析（2）
【解析】
（1）连接交于点，则为的中点，由中位线的性质得出，再利用直线与平面平行的判定定理得出平面；
（2）取的中点，连接，由中位线的性质得到，且，可得出平面，于此得出直线与平面所成的角为，然后在中计算即可.
【详解】
（1） 连接，交于点，连接，由底面是菱形，知是的中点，又是的中点，∴ .
又∵平面，平面,∴平面；

（2）取中点，连接，
∵分别为的中点，∴，
∵平面，∴平面，
∴直线与平面所成角为，
∵，，∴.
本题考查直线与平面平行的判定，考查直线与平面所成角的计算，在计算直线与平面所成角时，要注意过点作平面的垂线，构造出直线与平面所成的角，再选择合适的直角三角形求解，考查逻辑推理能力与计算能力，属于中等题．
20、（1）（2）
【解析】
（1）根据正弦定理求出，然后代入所求的式子即可；
（2）由余弦定理求出ab=4，然后根据三角形的面积公式求出答案．
【详解】
（1）因为，
由正弦定理，
得，
∴；
（2）∵，
由余弦定理得，
即，
所以，
解得或（舍去），
所以
本题考查了正弦定理、余弦定理等知识．在解三角形问题中常涉及正弦定理、余弦定理、三角形面积公式及同角三角函数基本关系等问题，故应综合把握．
21、 (1)，；(2)的最大值是，最小值是.
【解析】
试题分析：（1）由条件列关于公差与公比的方程组，解得，，再根据等差与等比数列通项公式求通项公式（2）化简可得，再根据等比数列求和公式得，结合函数单调性，可确定其最值
试题解析：（1）设等差数列的公差为，等比数列的公比为，则
解得，，
所以，.
（2）由（1）得，故，
当为奇数时，，随的增大而减小，所以；
当为偶数时，，随的增大而增大，所以，
令，，则，故在时是增函数.
故当为奇数时，；
当为偶数时，，
综上所述，的最大值是，最小值是.