2024-2025学年广西防城港市高级中学高一下数学期末学业质量监测模拟试题含解析.doc

2024-2025学年广西防城港市高级中学高一下数学期末学业质量监测模拟试题
注意事项
1．考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回．
2．答题前，请务必将自己的姓名、准考证号用0．5毫米黑色墨水的签字笔填写在试卷及答题卡的规定位置．
3．请认真核对监考员在答题卡上所粘贴的条形码上的姓名、准考证号与本人是否相符．
4．作答选择题，必须用2B铅笔将答题卡上对应选项的方框涂满、涂黑；如需改动，请用橡皮擦干净后，再选涂其他答案．作答非选择题，必须用05毫米黑色墨水的签字笔在答题卡上的指定位置作答，在其他位置作答一律无效．
5．如需作图，须用2B铅笔绘、写清楚，线条、符号等须加黑、加粗．

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的
1．下列函数中,在区间上为增函数的是
A． B．
C． D．
2．下列平面图形中，通过围绕定直线旋转可得到如图所示几何体的是( )

A． B． C． D．
3．已知过原点的直线与圆C：相交于不同的两点，且线段的中点坐标为，则弦长为（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
4．已知为的三个内角的对边，，的面积为2，则的最小值为( ).
A． B． C． D．
5．已知，则下列不等式成立的是（ ）
A． B． C． D．
6．如图，网格纸上小正方形的边长为，粗实线画出的是某多面体的三视图，则此几何体的表面积为（ ）

A． B． C． D．
7．七巧板是古代中国劳动人民的发明，到了明代基本定型．清陆以湉在《冷庐杂识》中写道：近又有七巧图，其式五，其数七，其变化之式多至千余．如图，在七巧板拼成的正方形内任取一点，则该点取自图中阴影部分的概率是（ ）

A． B．
C． D．
8．已知等差数列的公差，前项和为，则对正整数，下列四个结论中:
(1) 成等差数列，也可能成等比数列；
(2) 成等差数列，但不可能成等比数列；
(3) 可能成等比数列，但不可能成等差数列；
(4) 不可能成等比数列，也不叫能成等差数列.
正确的是( )
A．(1)(3) B．(1)(4) C．(2)(3) D．(2)(4)
9．以椭圆的两个焦点为直径的端点的圆与椭圆交于四个不同的点,顺次连接这四个点和两个焦点恰好组成一个正六边形,那么这个椭圆的离心率为（）
A． B． C． D．
10．对于空间中的两条直线，和一个平面，下列结论正确的是（ ）
A．若，，则 B．若，，则
C．若，，则 D．若，，则
二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。
11．设为第二象限角，若，则__________．
12．已知等差数列中，首项，公差，前项和，则使有最小值的_________.
13．执行如图所示的程序框图，则输出的_______．

14．已知一组数据6，7，8，8，9，10，则该组数据的方差是____.
15．已知等比数列的前项和为，，则的值是__________.
16．已知一圆锥的侧面展开图为半圆,且面积为S,则圆锥的底面积是_______

三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．已知函数.求：
（1）函数的最大值、最小值及最小正周期；
（2）函数的单调递增区间.
18．已知为等差数列，且（Ⅰ）求数列的通项公式；（Ⅱ）记的前项和为，若成等比数列，求正整数的值．
19．2019年4月23日“世界读书日”来临之际，某校为了了解中学生课外阅读情况，随机抽取了100名学生，并获得了他们一周课外阅读时间（单位：小时）的数据，按阅读时间分组：第一组[0,5), 第二组[5,10)，第三组[10,15)，第四组[15,20)，第五组[20,25]，绘制了频率分布直方图如下图所示．已知第三组的频数是第五组频数的3倍．

（1）求的值，并根据频率分布直方图估计该校学生一周课外阅读时间的平均值；
（2）现从第三、四、五这3组中用分层抽样的方法抽取6人参加校“中华诗词比赛”．经过比赛后，从这6人中随机挑选2人组成该校代表队，求这2人来自不同组别的概率．
20．在平面直角坐标系xOy中，已知点P是直线与直线的交点.
（1）求点P的坐标；
（2）若直线l过点P，且与直线垂直，求直线l的方程.
21．如图，已知矩形ABCD中，，，M是以CD为直径的半圆周上的任意一点（与C，D均不重合），且平面平面ABCD.

（1）求证：平面平面BCM；
（2）当四棱锥的体积最大时，求AM与CD所成的角.
参考答案

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的
1、A
【解析】
试题分析：对A，函数在上为增函数，符合要求；
对B，在上为减函数，不符合题意；
对C，为上的减函数，不符合题意；
对D，在上为减函数，不符合题意.
故选A.
考点：函数的单调性，容易题.
2、B
【解析】
A.是一个圆锥以及一个圆柱; C.是两个圆锥; D. 一个圆锥以及一个圆柱;所以选B.
3、A
【解析】
根据两直线垂直，斜率相乘等于-1，求得直线的斜率为，进而求出圆心到直线的距离，再代入弦长公式求得弦长值.
【详解】
圆的标准方程为：，设圆心，
，，
，，
直线的方程为：，
到直线的距离，
.
求直线与圆相交的弦长问题，核心是利用点到直线的距离公式，求圆心到直线的距离.
4、D
【解析】
运用三角形面积公式和余弦定理，结合三角函数的辅助角公式和正弦型函数的值域最后可求出的最小值.
【详解】
因为， 所以，即，
令，可得，
于是有，因此，即，所以的最小值为，故本题选D.
本题考查了余弦定理、三角形面积公式，考查了辅助角公式，考查了数学运算能力.
5、D
【解析】
利用排除法，取，，可排除错误选项，再结合函数的单调性，可证明D正确.
【详解】
取，，可排除A，B，C，
由函数是上的增函数，又，所以，即选项D正确.
故选：D.
本题考查不等式的性质，考查学生的推理论证能力，属于基础题.
6、B
【解析】
作出多面体的直观图，将各面的面积相加可得出该多面积的表面积.
【详解】
由三视图得知该几何体的直观图如下图所示：

由直观图可知，底面是边长为的正方形，其面积为；
侧面是等腰三角形，且底边长，底边上的高为，其面积为，
且；
侧面是直角三角形，且为直角，，，其面积为，，的面积为；
侧面积为等腰三角形，底边长，，底边上的高为，其面积为.
因此，该几何体的表面积为，故选：B.
本题考查几何体的三视图以及几何体表面积的计算，再利用三视图求几何体的表面积时，要将几何体的直观图还原，并判断出各个面的形状，结合图中数据进行计算，考查空间想象能力与计算能力，属于中等题.
7、B
【解析】
设阴影部分正方形的边长为，计算出七巧板所在正方形的边长，并计算出两个正方形的面积，利用几何概型概率公式可计算出所求事件的概率.
【详解】
如图所示，设阴影部分正方形的边长为，则七巧板所在正方形的边长为，
由几何概型的概率公式可知，在七巧板拼成的正方形内任取一点，则该点取自图中阴影部分的概率，故选：B.
本题考查几何概型概率公式计算事件的概率，解题的关键在于弄清楚两个正方形边长之间的等量关系，考查分析问题和计算能力，属于中等题.
8、D
【解析】
试题分析：根据等差数列的性质，，，，因此(1)错误，(2)正确，由上显然有，，，
，故(3)错误，(4)正确．即填 (2)(4)．
考点：等差数列的前项和，等差数列与等比数列的定义．
9、D
【解析】
四个交点中的任何一个到焦点的距离和都是，然后分析正六边形中的长度和焦距的关系，从而建立等式求解.
【详解】
设椭圆的焦点是，圆与椭圆的四个交点是,
设，，，
，
.
故选D.
本题考查了椭圆的定义和椭圆的性质，属于基础题型
10、C
【解析】
依次分析每个选项中两条直线与平面的位置关系，确定两条直线的位置关系即可.
【详解】
平行于同一平面的两条直线不一定相互平行，
故选项A错误，
平行于平面的直线不一定与该平面内的直线平行，
故选项B错误，
垂直于平面的直线，垂直于与该平面平行的所有线，
故选项C正确，
垂直于同一平面的两条直线相互平行，
故选项D错误.
故选：C.
本题考查了直线与平面位置关系的辨析，属于基础题.

二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。
11、
【解析】
先求出，再利用二倍角公式求的值.
【详解】
因为为第二象限角，若，
所以.
所以.
故答案为
本题主要考查同角三角函数的平方关系，考查二倍角的正弦公式，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平，属于基础题.
12、或
【解析】
求出，然后利用，求出的取值范围，即可得出使得有最小值的的值.
【详解】
，令，解得.
因此，当或时，取得最小值.
故答案为：或.
本题考查等差数列前项和的最小值求解，可以利用二次函数性质求前项和的最小值，也可以转化为数列所有非正数项相加，考查计算能力，属于中等题.
13、
【解析】
按照程序框图运行程序，直到a的值满足a>100时，输出结果即可.
【详解】
第一次循环：a=3；第二次循环：a=7；第三次循环：a=15；第四次循环：a=31；第五次循环：a=63；第六次循环：a=127，a>100，所以输出a.
所以本题答案为127.
本题考查根据程序框图中的循环结构计算输出结果的问题，属于基础题.
14、.
【解析】
由题意首先求得平均数，然后求解方差即可.
【详解】
由题意，该组数据的平均数为，
所以该组数据的方差是.
本题主要考查方差的计算公式，属于基础题.
15、1
【解析】
根据等比数列前项和公式，由可得，通过化简可得，代入的值即可得结果.
【详解】
∵，∴，显然，
∴，∴，
∴，∴，故答案为1．
本题主要考查等比数列的前项和公式，本题解题的关键是看出数列的公比的值，属于基础题．
16、
【解析】
由已知中圆锥的侧面展开图为半圆且面积为S，我们易确定圆锥的母线长l与底面半径R之间的关系，进而求出底面面积即可得到结论．
【详解】
如图：设圆锥的母线长为l，底面半径为R

若圆锥的侧面展开图为半圆
则2πR＝πl，
即l＝2R，
又∵圆锥的侧面展开图为半圆且面积为S，
则圆锥的底面面积是．
故答案为．
本题考查的知识点是圆锥的表面积，根据圆锥的侧面展开图为半圆，确定圆锥的母线长与底面的关系是解答本题的关键．

三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17、（1）最大值，最小值为，最小正周期；（2）
【解析】
（1）根据即可求出最值，利用即可求出最小正周期；
（2）根据复合函数的单调性，令即可得解.
【详解】
（1），
函数的最大值为，最小值为；
函数的最小正周期为.
（2）令，得：，
故函数的增区间为.
本题考查了三角函数的性质以及单调区间的求解，属于基础题.
18、：（Ⅰ）（Ⅱ）
【解析】
试题分析：（Ⅰ）设等差数列{an}的公差等于d，则由题意可得，解得 a1=1，d=1，从而得到{an}的通项公式．
（Ⅱ） 由（Ⅰ）可得 {an}的前n项和为Sn ==n（n+1），再由=a1Sk+1 ，求得正整数k的值．
解：（Ⅰ）设等差数列{an}的公差等于d，则由题意可得，解得 a1=1，d=1．
∴{an}的通项公式 an =1+（n﹣1）1=1n．
（Ⅱ） 由（Ⅰ）可得 {an}的前n项和为Sn ==n（n+1）．
∵若a1，ak，Sk+1成等比数列，∴=a1Sk+1 ，
∴4k1 =1（k+1）（k+3），k="2" 或k=﹣1（舍去），故 k=2．
考点：等比数列的性质；等差数列的通项公式．
19、（1）a=0.06，平均值为12.25小时 （2）
【解析】
（1）由频率分布直方图可得第三组和第五组的频率之和，第三组的频率，由此能求出a和该样本数据的平均数，从而可估计该校学生一周课外阅读时间的平均值；
（2）从第3、4、5组抽取的人数分别为3、2、1，设为A，B，C，D，E，F，利用列举法能求出从该6人中选拔2人，从而得到这2人来自不同组别的概率．
【详解】
（1）由频率分布直方图可得第三组和第五组的频率之和为
，
第三组的频率为
∴
该样本数据的平均数

所以可估计该校学生一周课外阅读时间的平均值为小时．
（2）易得从第3、4、5组抽取的人数分别为3、2、1，
设为，则从该6人中选拔2人的基本事件有：

共15种，
其中来自不同的组别的基本事件有：
，
共11种，
∴这2人来自不同组别的概率为.
本题考查平均数、概率的求法，考查古典概型、频率分布直方图等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．
20、（1）；（2）
【解析】
（1）由两条直线组成方程组，求得交点坐标；
（2）设与直线垂直的直线方程为，代入点的坐标求得的值，可写出的方程．
【详解】
（1）由直线与直线组成方程组，
得，
解得，
所以点的坐标为；
（2）设与直线垂直的直线的方程为，
又直线过点，所以，解得，
直线的方程为．
本题考查直线方程的求法与应用问题，考查函数与方程思想、转化与化归思想，考查逻辑推理能力和运算求解能力.
21、（1）证明见解析 （2）
【解析】
（1）只证明CM⊥平面ADM即可，即证明CM垂直于该平面内的两条相交直线，或者使用面面垂直的性质，本题的条件是平面CDM⊥平面ABCD，而M是以CD为直径的半圆周上一点，能够得到CM⊥DM，由面面垂直的性质即可证明；（2）当四棱锥M一ABCD的体积最大时，M为半圆周中点处，可得角MAB就是AM与CD所成的角，利用已知即可求解．
【详解】
（1）证明：CD为直径，所以CMDM ，
已知平面CDM平面ABCD， ADCD，
AD平面CDM，所以ADCM 又DMAD=D
CM平面ADM 又CM平面BCM，
平面ADM平面BCM ，
（2）

当M为半圆弧CD的中点时，四棱锥的体积最大，
此时，过点M作MOCD于点E,
平面CDM平面ABCD
MO平面ABCD，即MO为四棱锥的高又底面ABCD面积为定值2，
AM与CD所成的角即AM与AB所成的角，
求得，三角形为正三角形，
，故AM与CD所成的角为
本题主要考查异面直线成的角，面面垂直的判定定理，属于中档题.解答空间几何体中垂直关系时，一般要根据已知条件把空间中的线线、线面、面面之间垂直关系进行转化，转化时要正确运用有关的定理，找出足够的条件进行推理.