2024-2025学年山东省 高一数学第二学期期末调研试题含解析.doc

2024-2025学年山东省 高一数学第二学期期末调研试题
请考生注意：
1．请用2B铅笔将选择题答案涂填在答题纸相应位置上，请用0．5毫米及以上黑色字迹的钢笔或签字笔将主观题的答案写在答题纸相应的答题区内。写在试题卷、草稿纸上均无效。
2．答题前，认真阅读答题纸上的《注意事项》，按规定答题。

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的
1．若实数a、b满足条件，则下列不等式一定成立的是　　
A． B． C． D．
2．已知等差数列中，则（　）
A．10 B．16 C．20 D．24
3．已知内角，，所对的边分别为，，且满足，则=（ ）
A． B． C． D．
4．某中学高一从甲、乙两个班中各选出7名学生参加2019年第三十届“希望杯”全国数学邀请赛，他们取得成绩的茎叶图如图，其中甲班学生成绩的平均数是84，乙班学生成绩的中位数是83，则的值为（ ）

A．4 B．5 C．6 D．7
5．不论为何值，直线恒过定点
A． B． C． D．
6．的内角的对边分别为，面积为，若，则外接圆的半径为（ ）
A． B． C． D．
7．已知变量和满足相关关系，变量和满足相关关系.下列结论中正确的是（ ）
A．与正相关，与正相关 B．与正相关，与负相关
C．与负相关，与y正相关 D．与负相关，与负相关
8．圆：被直线截得的线段长为（ ）
A．2 B． C．1 D．
9．某校有高一学生450人，高二学生480人.为了解学生的学习情况，用分层抽样的方法从该校高一高二学生中抽取一个容量为n的样本，已知从高一学生中抽取15人，则n为（ ）
A．15 B．16 C．30 D．31
10．某几何体的三视图如下图所示（单位：cm）则该几何体的表面积（单位：）是（ ）

A． B． C． D．
二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。
11．关于的方程只有一个实数根，则实数_____．
12．若三角形ABC的三个角A，B，C成等差数列，a，b，c分别为角A，B，C的对边，三角形ABC的面积，则b的最小值是________．
13．设是定义在上以2为周期的偶函数，已知，，则函数在上的解析式是
14．设，用，表示所有形如的正整数集合，其中且，为集合中的所有元素之和，则的通项公式为_______
15．己知是等差数列，是其前项和，，则______.
16．已知等差数列则 ．
三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．已知直角梯形中， ， ， ， ， ，过作，垂足为， 分别为的中点，现将沿折叠，使得．
（1）求证：
（2）在线段上找一点，使得，并说明理由．

18．已知某公司生产某款手机的年固定成本为400万元，每生产1万部还需另投入160万元设公司一年内共生产该款手机万部且并全部销售完，每万部的收入为万元，且．
写出年利润万元关于年产量（万部）的函数关系式；
当年产量为多少万部时，公司在该款手机的生产中所获得的利润最大？并求出最大利润．
19．如图，甲、乙两个企业的用电负荷量关于投产持续时间（单位：小时）的关系均近似地满足函数.

（1）根据图象，求函数的解析式；
（2）为使任意时刻两企业用电负荷量之和不超过9，现采用错峰用电的方式，让企业乙比企业甲推迟小时投产，求的最小值.
20．某中学的高二（1）班男同学有45名，女同学有15名，老师按照分层抽样的方法组建了一个4人的课外兴趣小组.
（1）求课外兴趣小组中男、女同学的人数；
（2）经过一个月的学习、讨论，这个兴趣小组决定选出两名同学做某项实验，方法是先从小组里选出1名同学做实验，该同学做完后，再从小组内剩下的同学中选一名同学做实验，求选出的两名同学中恰有一名女同学的概率；
（3）试验结束后，第一次做试验的同学得到的试验数据为68，70，71，72，74，第二次做试验的同学得到的试验数据为69,70,70,72,74 ，请问哪位同学的实验更稳定？并说明理由.
21．已知向量, 的夹角为, 且, .
(1) 求 ；
(2) 求 .
参考答案

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的
1、D
【解析】
根据题意，由不等式的性质依次分析选项，综合即可得答案．
【详解】
根据题意，依次分析选项：
对于A、，时，有成立，故A错误；
对于B、，时，有成立，故B错误；
对于C、，时，有成立，故C错误；
对于D、由不等式的性质分析可得若，必有成立，则D正确；
故选：D．
本题考查不等式的性质，对于错误的结论举出反例即可．
2、C
【解析】
根据等差数列性质得到，再计算得到答案.
【详解】
已知等差数列中，

故答案选C
本题考查了等差数列的性质，是数列的常考题型.
3、A
【解析】
利用正弦定理以及和与差的正弦公式可得答案；
【详解】
∵0＜A＜π，
∴sinA≠0
由atanA＝bcosC+ccosB，
根据正弦定理：可得sinA•tanA＝sinBcosC+sinCcosB＝sin（B+C）＝sinA
∴•tanA＝1；
∴tanA，
那么A；
故选A．
本题考查三角形的正弦定理,,内角和定理以及和与差正弦公式的运用，考查运算能力，属于基础题．
4、C
【解析】
由均值和中位数定义求解．
【详解】
由题意，，
由茎叶图知就是中位数，∴，
∴．
故选C．
本题考查茎叶图，考查均值与中位数，解题关键是读懂茎叶图．
5、B
【解析】
根据直线方程分离参数，再由直线过定点的条件可得方程组，解方程组进而可得m的值．
【详解】
恒过定点，恒过定点，由解得即直线恒过定点.
本题考查含有参数的直线过定点问题，过定点是解题关键．
6、A
【解析】
出现面积，可转化为观察，和余弦定理很相似，但是有差别，差别就是条件是形式，而余弦定理中是形式，但是我们可以注意到：,所以可以完成本题.
【详解】
由，
所以在三角形中,
再由正弦定理所以答案选择A.
本题很灵活，在常数4的处理问题上有点巧妙，然后再借助余弦定理及正弦定理，难度较大.
7、B
【解析】
根据相关关系式,由一次项系数的符号即可判断是正相关还是负相关.
【详解】
变量和满足相关关系,由可知变量和为正相关
变量和满足相关关系,由,可知变量和为负相关
所以B为正确选项
故选:B
本题考查了通过相关关系式子判断正负相关性,属于基础题.
8、D
【解析】
由点到直线距离公式，求出圆心到直线的距离，再由弦长，即可得出结果.
【详解】
因为圆：的圆心为，半径；
所以圆心到直线的距离为，
因此，弦长.
故选D
本题主要考查求圆被直线所截弦长问题，常用几何法处理，属于常考题型.
9、D
【解析】
根据分层抽样的定义和性质进行求解即可．
【详解】
根据分层抽样原理，列方程如下，
，
解得n＝1．
故选：D．
本题主要考查分层抽样的应用，根据条件建立比例关系是解决本题的关键．
10、C
【解析】
通过三视图的观察可得到该几何体是由一个圆锥加一个圆柱得到的，表面积由一个圆锥的表面积和一个圆柱的侧面积组成
【详解】
圆柱的侧面积为，圆锥的表面积为，其中，，。选C
几何体的表面积一定要看清楚哪些面存在，哪些面不存在

二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。
11、
【解析】
首先从方程看是不能直接解出这个方程的根的，因此可以转化成函数，从函数的奇偶性出发。
【详解】
设，则

∴为偶函数，其图象关于轴对称，
又依题意只有一个零点，故此零点只能是，
所以，
∴，
∴，
∴，∴，
故答案为：
本题主要考查了函数奇偶性以及零点与方程的关系，方程的根就是对应函数的零点，本题属于基础题。
12、
【解析】
先求出，再根据面积得到，再利用余弦定理和基本不等式得解.
【详解】
由题得,
所以.
由余弦定理得，
当且仅当时取等.
所以b的最小值是.
故答案为：
本题主要考查余弦定理解三角形，考查基本不等式求最值，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.
13、
【解析】
试题分析：根据题意，由于是定义在上以2为周期的偶函数，那么当，，可知当x,,那么利用周期性可知，在上的解析式就是将x,的图像向右平移2个单位得到的，因此可知，答案为．
考点：函数奇偶性、周期性的运用
点评：解决此类问题的关键是熟练掌握函数的有关性质，即周期性，奇偶性，单调性等有关性质．
14、
【解析】
把集合中每个数都表示为2的0到的指数幂相加的形式，并确定，，，，每个数都出现次，于是利用等比数列求和公式计算，可求出数列的通项公式．
【详解】
由题意可知，，，，是0，1，2，，的一个排列，
且集合中共有个数，若把集合中每个数表示为的形式，
则，，，，每个数都出现次，
因此，，
故答案为：．
本题以数列新定义为问题背景，考查等比数列的求和公式，考查学生的理解能力与计算能力，属于中等题．
15、-1
【解析】
由等差数列的结合，代入计算即可.
【详解】
己知是等差数列，是其前项和，所以，
得，由等差中项得，所以.
故答案为-1
本题考查了等差数列前项和公式和等差中项的应用，属于基础题.
16、1
【解析】
试题分析：根据公式，，将代入，计算得n=1．
考点：等差数列的通项公式．

三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17、（1）见解析 （2）
【解析】
试题分析：（Ⅰ）由已知得：面面 ；（II）分析可知，点满足时，面BDR⊥面BDC．
理由如下先计算 再求得，
，再证面面 面．
试题解析：
（Ⅰ）由已知得：面面

（II）分析可知，点满足时，面BDR⊥面BDC．
理由如下：取中点，连接
容易计算
在 中∵ 可知，
∴在中，
又在中，为中点面 ，
∴面 面．

18、（1）， ;（2）当时，y取得最大值57600万元．
【解析】
根据题意，即可求解利润关于产量的关系式为，化简即可求出；
由（1）的关系式，利用基本不等式求得最大值，即可求解最大利润．
【详解】
（1）由题意，可得利润关于年产量的函数关系式为

，.
由可得
，
当且仅当，即时取等号，所以当时，y取得最大值57600万元．
本题主要考查了函数的实际应用问题，以及利用基本不等式求最值，其中解答中认真审题，得出利润关于年产量的函数关系式，再利用基本不等式求解是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力，属于基础题．
19、（1）；（2）4
【解析】
（1）由，得，由，得A，b，代入，求得，从而即可得到本题答案；
（2）由题，得恒成立，等价于恒成立，然后利用和差公式展开，结合辅助角公式，逐步转化，即可得到本题答案.
【详解】
（1）解：由图知，
又，可得
，代入，得，
又，
所求为
（2）设乙投产持续时间为小时，则甲的投产持续时间为小时，由诱导公式，企业乙用电负荷量随持续时间变化的关系式为：
同理，企业甲用电负荷量变化关系式为：

两企业用电负荷量之和
，
依题意，有恒成立
即恒成立
展开有恒成立

其中，，，

整理得：
解得
即
取得：
的最小值为4.
本题主要考查根据三角函数的图象求出其解析式，以及三角函数的实际应用，主要考查学生的分析问题和解决问题的能力，以及计算能力，难度较大.
20、 (1) 男、女同学的人数分别为3人，1人；(2) ；(3) 第二位同学的实验更稳定，理由见解析
【解析】
（1）设有名男同学，利用抽样比列方程即可得解
（2）列出基本事件总数为12，其中恰有一名女同学的有6种，利用古典概型概率公式计算即可
（3）计算出两位同学的实验数据的平均数和方差，问题得解
【详解】
（1）设有名男同学，则，∴，∴男、女同学的人数分别为3人，1人
（2）把3名男同学和1名女同学记为，则选取两名同学的基本事件有，，，，，，，，，，，共12种，其中恰有一名女同学的有6种，
∴选出的两名同学中恰有一名女同学的概率为
（3），
，
因，所以第二位同学的实验更稳定.
本题主要考查了分层抽样比例关系及古典概型概率计算公式，还考查了样本数据的平均数及方差计算，考查方差与稳定性的关系，属于中档题
21、（1）1；（2）
【解析】
（1）利用向量数量积的定义求解；
（2）先求模长的平方，再进行开方可得.
【详解】
（1）•=||||cos60°=2×1×=1；
（2）|+|2=（+）2
=+2•+
=4+2×1+1
=7.
所以|+|=.
本题主要考查平面向量数量积的定义及向量模长的求解，一般地，求解向量模长时，先把模长平方，化为数量积运算进行求解.