2024-2025学年福建省闽侯第二中学等五校教学联合体数学高一第二学期期末考试试题含解析.doc

2024-2025学年福建省闽侯第二中学等五校教学联合体数学高一第二学期期末考试试题
请考生注意：
1．请用2B铅笔将选择题答案涂填在答题纸相应位置上，请用0．5毫米及以上黑色字迹的钢笔或签字笔将主观题的答案写在答题纸相应的答题区内。写在试题卷、草稿纸上均无效。
2．答题前，认真阅读答题纸上的《注意事项》，按规定答题。

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的
1．在中，是的中点，，，相交于点，若，，则（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
2．已知，则的值等于 ( )
A． B． C． D．
3．根据如下样本数据
x

3

4

5

6

7

8

y

可得到的回归方程为,则（ ）
A． B． C． D．
4．如图是函数的部分图象２，则该解析式为（ ）

A． B．
C． D．
5．设直线：，：，若与平行，则的值为（ ）
A． B．0或 C．0 D．6
6．在各项均为正数的数列中，对任意都有．若，则等于（ ）
A．256 B．510 C．512 D．1024
7．在棱长为2的正方体中，是内（不含边界）的一个动点，若，则线段的长的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
8．设正项等比数列的前项和为，若，，则公比（ ）
A． B． C． D．
9．已知角满足，，且，，则的值为（ ）
A． B． C． D．
10．中，若，则的形状是（ ）
A．等腰三角形 B．等边三角形
C．锐角三角形 D．直角三角形
二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。
11．函数的值域为_____________.
12．已知，，，，则______．
13．已知是定义在上的奇函数，对任意实数满足，，则________.
14．在中，角的对边分别为，且面积为，则面积的最大值为_____．
15．下列说法中：
①若，满足，则的最大值为；
②若，则函数的最小值为
③若，满足，则的最小值为
④函数的最小值为
正确的有__________．（把你认为正确的序号全部写上）
16．设的内角、、的对边分别为、、，且满足.则______.
三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．已知分别为三个内角的对边长，且
（1）求角的大小；
（2）若，求面积的最大值.
18．某中学高二年级的甲、乙两个班中，需根据某次数学预赛成绩选出某班的5名学生参加数学竞赛决赛，已知这次预赛他们取得的成绩的茎叶图如图所示，其中甲班5名学生成绩的平均分是83，乙班5名学生成绩的中位数是1．

（1）求出x，y的值，且分别求甲、乙两个班中5名学生成绩的方差、，并根据结
果，你认为应该选派哪一个班的学生参加决赛？
（2）从成绩在85分及以上的学生中随机抽取2名．求至少有1名来自甲班的概率．
19．（Ⅰ）已知向量，求与的夹角的余弦值；
（Ⅱ）已知角终边上一点，求的值．
20．已知函数为奇函数，且，其中，.
（1）求，的值.
（2）若，，求的值.
21．已知，是第四象限角，求和的值.
参考答案

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的
1、D
【解析】
由题意知，

所以，解得，所以，故选D.
2、D
【解析】
，所以，则，故选择D.
3、A
【解析】
试题分析：依据样本数据描点连线可知图像为递减且在轴上的截距大于0，所以．

考点：1．散点图；2．线性回归方程；
4、D
【解析】
根据函数图象依次求出振幅，周期，根据周期求出，将点代入解析式即可得解.
【详解】

根据图象可得：，最小正周期，
，经过，，
，，
，
所以，
所以函数解析式为：.
故选：D
此题考查根据函数图象求函数解析式，考查函数的图象和性质，尤其是对振幅周期的辨析，最后求解的值，一般根据最值点求解.
5、B
【解析】
通过两条直线平行的关系，可建立关于的方程，解方程求得结果。
【详解】

解得：或
本题正确选项：
本题考察直线位置关系问题。关键是通过两直线平行，得到：。
6、C
【解析】
因为，
所以，则
因为数列的各项均为正数，所以
所以，故选C
7、C
【解析】
先判断是正四面体，可得正四面体的棱长为，则的最大值为的长，的最小值是到平面的距离，结合不在三角形的边上，计算可得结果.
【详解】

由正方体的性质可知，
是正四面体，
且正四面体的棱长为，
在内，
的最大值为，
的最小值是到平面的距离，
设在平面的射影为,
则为正三角形的中心，，
，
的最小值为，
又因为不在三角形的边上，
所以的范围是，故选C.
本题主要考查正方体的性质及立体几何求最值，属于难题.解决圆锥曲线中的最值问题一般有两种方法：一是几何意义以及平面几何的有关结论来解决，非常巧妙；二是将立体几何中最值问题转化为函数问题，然后根据函数的特征选用参数法、配方法、判别式法、三角函数有界法、函数单调性法以及均值不等式法求解.
8、D
【解析】
根据题意，求得，结合，即可求解，得到答案.
【详解】
由题意，正项等比数列满足，，
即，，所以，
又由，因为，所以.
故选：D.
本题主要考查了的等比数列的通项公式，以及等比数列的前n项和公式的应用，其中解答中熟记等比数列的通项公式，以及等比数列的前n项和公式，合理运算是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题.
9、D
【解析】
根据角度范围先计算和，再通过展开得到答案.
【详解】
，
，

故答案选D
本题考查了三角函数恒等变换，将是解题的关键.
10、D
【解析】
根据正弦定理，得到，进而得到，再由两角和的正弦公式，即可得出结果.
【详解】
因为，所以，所以，
即，所以，
又因此，
所以，即三角形为直角三角形.
故选D
本题主要考查三角形形状的判断，熟记正弦定理即可，属于常考题型.

二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。
11、
【解析】
分析函数在区间上的单调性，由此可求出该函数在区间上的值域.
【详解】
由于函数和函数在区间上均为增函数，
所以，函数在区间上也为增函数，
且，，
当时，，
因此，函数的值域为.
故答案为：.
本题考查函数值域的求解，解题的关键就是判断出函数的单调性，考查分析问题和解决问题的能力，属于中等题.
12、
【解析】
先求出的平方值，再开方得到所求结果．
【详解】

本题考查求解复合向量模长的问题，求解此类问题的关键是先求模长的平方，将其转化为已知向量运算的问题．
13、
【解析】
由奇函数的性质得出，由题中等式可推出函数是以为周期的周期函数，再利用周期性和奇偶性求出的值.
【详解】
函数是定义在上的奇函数，则，
且对任意实数满足，，
所以，函数是以为周期的周期函数，
，，
因此，，故答案为：.
本题考查抽象函数求值，利用题中条件推导出函数的周期是解题的关键，在计算时充分利用函数的周期性将自变的值的绝对值变小，考查逻辑推理能力与计算能力，属于中等题.
14、
【解析】
利用三角形面积构造方程可求得，可知，从而得到；根据余弦定理，结合基本不等式可求得，代入三角形面积公式可求得最大值.
【详解】

，
由余弦定理得：（当且仅当时取等号）

本题正确结果：
本题考查解三角形问题中的三角形面积的最值问题的求解；求解最值问题的关键是能够通过余弦定理构造等量关系，进而利用基本不等式求得边长之积的最值，属于常考题型.
15、③④
【解析】
①令，得出，再利用双勾函数的单调性判断该命题的正误；
②将函数解析式变形为，利用基本不等式判断该命题的正误；
③由得出，得出，利用基本不等式可判断该命题的正误；
④将代数式与代数式相乘，展开后利用基本不等式可求出
的最小值，进而判断出该命题的正误。
【详解】
①由得，则，则，
设，则，则，则上减函数，则上为增函数，
则时，取得最小值，当时，，故的最大值为，错误；
②若，则函数，
则，
即函数的最大值为，无最小值，故错误；
③若，满足，则，则，
由，得，
则
，
当且仅当，即得，即时取等号，
即的最小值为，故③正确；
④
，
当且仅当，即，即时，取等号，
即函数的最小值为，故④正确，故答案为：③④。
本题考查利用基本不等式来判断命题的正误，利用基本不等式需注意满足“一正、二定、三相等”这三个条件，同时注意结合双勾函数单调性来考查，属于中等题。
16、4
【解析】
解法1 有题设及余弦定理得
.
故 .
解法2 如图4，过点作，垂足为.则
，.
由题设得.又，联立解得
，.故.

解法3 由射影定理得.
又，与上式联立解得
，.故.

三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17、（1）；（2）.
【解析】
（1）利用正弦定理、三角形内角和定理、两角和的正弦公式，特殊角的三角函数值，化简等式进行求解即可
（2）根据余弦定理，结合三角形面积公式、重要不等式进行求解即可
【详解】
（1）由正弦定理可知：
，

，，
所以可得：，；
（2）由余弦定理可知：，由
可知：，所以，所以面积的最大值为
本题考查了正弦定理、余弦定理、三角形面积公式，考查了重要不等式，考查了两角和的正弦公式，考查了数学运算能力.
18、（3）甲班参加；（4）．
【解析】
试题分析：（3）由题意知求出x=5，y=4．从而求出乙班学生的平均数为83，分别求出S34和S44，根据甲、乙两班的平均数相等，甲班的方差小，得到应该选派甲班的学生参加决赛．
（4）成绩在85分及以上的学生一共有5名，其中甲班有4名，乙班有3名，由此能求出随机抽取4名，至少有3名来自甲班的概率．
试题解析：（3）甲班的平均分为，易知．
；又乙班的平均分为，∴；
∵，，说明甲班同学成绩更加稳定，故应选甲班参加．
（4）分及以上甲班有人，设为；乙班有人，设为，从这人中抽取人的选法有：，共种，其中甲班至少有名学生的选法有种，则甲班至少有名学生被抽到的概率为．
考点：3．古典概型及其概率计算公式；4．茎叶图．
19、（Ⅰ）；（Ⅱ）.
【解析】
（Ⅰ）由已知分别求得及与，再由数量积求夹角计算结果；
（Ⅱ）利用任意角的三角函数的定义求得sinα，再由三角函数的诱导公式化简求值．
【详解】
（Ⅰ）∵，
∴，||＝5，||，
∴．
（Ⅱ）∵P（﹣4，3）为角α终边上一点，
∴，．
则sin2α．
本题考查利用数量积求向量的夹角，考查任意角的三角函数的定义，训练了利用诱导公式化简求值，是基础题．
20、 (1)；（2）.
【解析】
试题分析：（1）先根据奇函数性质得y2＝cos(2x＋θ)为奇函数，解得θ＝ ，再根据解得a（2）根据条件化简得sinα＝，根据同角三角函数关系得cosα，最后根据两角和正弦公式求sin的值
试题解析：(1)因为f(x)＝(a＋2cos2x)cos(2x＋θ)是奇函数，而y1＝a＋2cos2x为偶函数，所以y2＝cos(2x＋θ)为奇函数，由θ∈(0，π)，得θ＝，所以f(x)＝－sin 2x·(a＋2cos2x)，
由f＝0得－(a＋1)＝0，即a＝－1.
(2)由(1)得f(x)＝－sin 4x，因为f＝－sin α＝－，
即sin α＝，又α∈，从而cos α＝－，
所以sin＝sin αcos＋cos αsin＝×＋×＝.
21、，
【解析】
利用诱导公式可求的值，根据是第四象限角可求的值，最后根据三角函数的基本关系式可求的值，根据诱导公式及倍角公式可求的值.
【详解】
，
又是第四象限角，所以，
所以，
.
本题考查同角的三角函数的基本关系式、诱导公式以及二倍角公式，此题属于基础题.