云南省石林彝族自治县民族中学2024-2025学年高一数学第二学期期末质量跟踪监视模拟试题含解析.doc

云南省石林彝族自治县民族中学2024-2025学年高一数学第二学期期末质量跟踪监视模拟试题
注意事项：
1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的
1．圆关于直线对称的圆的方程为（ ）
A． B．
C． D．
2．设，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
3．在△ABC中，a=3，b=5，sinA=，则sinB=( )
A． B． C． D．1
4．某人射击一次，设事件A：“击中环数小于4”；事件B：“击中环数大于4”；事件C：“击中环数不小于4”；事件D：“击中环数大于0且小于4”，则正确的关系是
A．A和B为对立事件 B．B和C为互斥事件
C．C与D是对立事件 D．B与D为互斥事件
5．2019年是新中国成立70周年，涡阳县某中学为庆祝新中国成立70周年，举办了“我和我的祖国”演讲比赛，某选手的6个得分去掉一个最高分，去掉一个最低分，4个剩余分数的平均分为91.现场制作的6个分数的茎叶图后来有1个数据模糊，无法辨认，在图中以表示，则4个剩余分数的方差为（ ）

A．1 B． C．4 D．6
6．当点到直线的距离最大时，的值为（ ）
A． B．0 C． D．1
7．在中，为的中点，，则（ ）
A． B． C．3 D．-3
8．函数的零点所在的一个区间是（ ）．
A． B． C． D．
9．如图所示，已知两座灯塔A和B与海洋观察站C的距离都等于akm，灯塔A在观察站C的北偏东20°，灯塔B在观察站C的南偏东40°，则灯塔A与灯塔B的距离为(　　)

A．a km B． a km
C． akm D．2akm
10．已知，则( )
A． B． C． D．
二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。
11．如图，在等腰直角三角形ABC中，，，以AB为直径在外作半圆O，P是半圆弧AB上的动点，点Q在斜边BC上，若，则的取值范围是________.

12．函数的反函数的图象经过点，那么实数的值等于____________.
13．体积为8的一个正方体，其全面积与球的表面积相等，则球的体积等于________.
14．某银行一年期定期储蓄年利率为2.25%，如果存款到期不取出继续留存于银行，银行自
动将本金及80%的利息（利息须交纳20%利息税，由银行代交）自动转存一年期定期储蓄，
某人以一年期定期储蓄存入银行20万元，则5年后，这笔钱款交纳利息税后的本利和为
________元.（精确到1元）
15．已知函数，若，则__________．
16．设数列的前项和，若，，则的通项公式为_____．
三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．已知向量
（1）求函数的单调递减区间；
（2）在中，，若，求的周长.
18．已知的顶点，边上的中线所在直线方程为， 边上 的高，所在直线方程为.
（1）求顶点 的坐标；
（2）求直线的方程.
19．已知数列满足.
（1）求数列的通项公式；
（2）若，为数列的前项和，求证：
20．如图，三棱锥中，，、、、分别是、、、的中点.

（1）证明：平面；
（2）证明：四边形是菱形
21．已知集合，或.
（1）若，求；
（2）若，求的取值范围.
参考答案

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的
1、B
【解析】
设圆心关于直线对称的圆的圆心为，则由，求出的值，可得对称圆的方程.
【详解】
圆的圆心为，半径，
则不妨设圆关于直线对称的圆的圆心为，半径为，
则由，解得，故所求圆的方程为.
故选：B
本题考查了圆的标准方程、中点坐标公式，需熟记圆的标准形式，属于基础题.
2、B
【解析】
由同向不等式的可加性求解即可.
【详解】
解：因为，
所以，
又，，
所以，
故选：B.
本题考查了不等式的性质，属基础题.
3、B
【解析】
试题分析：由正弦定理得，故选B．
考点：正弦定理的应用
4、D
【解析】
根据互斥事件和对立事件的概念，进行判定，即可求解，得到答案.
【详解】
由题意，A项中，事件“击中环数等于4环”可能发生，所以事件A和B为不是对立事件；
B项中，事件B和C可能同时发生，所以事件B和C不是互斥事件；
C项中，事件“击中环数等于0环”可能发生，所以事件C和D为不是对立事件；
D项中，事件B：“击中环数大于4”与事件D：“击中环数大于0且小于4”，不可能同时发生，所以B与D为互斥事件，故选D.
本题主要考查了互斥事件和对立事件的概念及判定，其中解答中熟记互斥事件和对立事件的概念，准确判定是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力，属于基础题.
5、B
【解析】
由题意得x≥3，由此能求出4个剩余数据的方差．
【详解】
由题意得x≥3，
则4个剩余分数的方差为：
s2[（93﹣91）2+（90﹣91）2+（90﹣91）2+（91﹣91）2]．
故选B．
本题考查了方差的计算问题，也考查了茎叶图的性质、平均数、方差等基础知识，是基础题．
6、C
【解析】
直线过定点Q(2,1),所以点到直线的距离最大时PQ垂直直线,即 ,选C.
7、A
【解析】
本题中、长度已知，故可以将、作为基底，将向量用基底表示，从而解决问题．
【详解】
解：在中，因为为的中点，
所以，

故选A
向量数量积问题常见解题方法有1.基底法，2.坐标法．基底法首先要选择两个不共线向量作为基向量，然后将其余向量向基向量转化，然后根据数量积公式进行计算；坐标法则要建立直角坐标系，然后将向量用坐标表示，进而运用向量坐标的运算规则进行计算．
8、B
【解析】
判断函数的单调性，利用f（﹣1）与f（1）函数值的大小，通过零点存在性定理判断即可
【详解】
函数f（x）＝2x+3x是增函数，f（﹣1）＝＜1，f（1）＝1+1＝1＞1，
可得f（﹣1）f（1）＜1．
由零点存在性定理可知：函数f（x）＝2x+3x的零点所在的一个区间（﹣1，1）．
故选：B．
本题考查零点存在性定理的应用，考查计算能力，注意函数的单调性的判断．
9、B
【解析】
先根据题意确定的值，再由余弦定理可直接求得的值．
【详解】
在中知∠ACB＝120°，由余弦定理得AB2＝AC2＋BC2－2AC·BCcos120°＝2a2－2a2×＝3a2，∴AB＝a.
故选:B.
本题主要考查余弦定理的应用,属于基础题．
10、C
【解析】
利用诱导公式和同角三角函数的商数关系，得，再利用化弦为切的方法，即可求得答案.
【详解】
由已知
则
故选C.
本题考查利用三角函数的诱导公式、同角三角函数的基本关系化简求值，属于三角函数求值问题中的“给值求值”问题，解题的关键是正确掌握诱导公式中符号与函数名称的变换规律和化弦为切方法.

二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。
11、
【解析】
建立直角坐标系，得出的坐标，利用数量积的坐标表示得出，结合正弦函数的单调性得出的取值范围.
【详解】
取中点为，建立如下图所示的直角坐标系

则，设，，则
，则
设点，则
，

则当，即时，取最大值
当，即时，取最小值
则的取值范围是
故答案为：
本题主要考查了利用数量积求参数以及求正弦型函数的最值，属于较难题.
12、
【解析】
根据原函数与其反函数的图象关于直线对称，可得函数的图象经过点，由此列等式可得结果.
【详解】
因为函数的反函数的图象经过点，
所以函数的图象经过点，
所以，即，
解得.
故答案为：
本题考查了原函数与其反函数的图象的对称性，属于基础题.
13、
【解析】
由体积为的一个正方体，棱长为，全面积为，
则，，
球的体积为，故答案为.
考点：正方体与球的表面积及体积的算法.
14、218660
【解析】
20万存款满一年到期后利息有，本息和共，再过一年本息和， 经过5年共有本息元，计算即可求出结果.
【详解】
20万存款满一年到期后利息有，本息和共，再过一年本息和， 经过5年共有本息元,
元.
故填218660.
本题主要考查了银行存款的复利问题，由固定公式可用，本息和=本金利率，利率是一年年利率，是存款年数，代入公式计算即可求出本息和，属于中档题.
15、
【解析】
由三角函数的辅助角公式化简，关键需得出辅助角的正切值，再由函数的最大值求解.
【详解】
由三角函数的辅助公式得
（其中），
因为所以，
所以，所以，，
所以，故填：
本题考查三角函数的辅助角公式，属于基础题.
16、
【解析】
已知求，通常分进行求解即可。
【详解】
时，，化为：．
时，，解得．不满足上式．
∴数列在时成等比数列．
∴时，．
∴．
故答案为： ．
本题主要考查了数列通项式的求法:求数列通项式常用的方法有累加法、定义法、配凑法、累乘法等。

三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17、 (1); (2)
【解析】
(1)根据向量的数量积公式、二倍角公式及辅助角公式将化简为，然后利用三角函数的性质，即可求得的单调减区间；
(2)由(1)及可求得，由可得，再结合余弦定理即可求得，进而可得的周长.
【详解】
解：(1)

所以函数的单调递减区间为：
(2)，，
又因在中，,
,
设的三个内角所对的边分别为，
又，且
，，则，
所以的周长为.
本题考查平面向量的数量积公式，三角函数的二倍角公式、辅助角公式和三角函数的性质，以及利用正弦定理、余弦定理解三角形，考查理解辨析能力及求解运算能力，属于中档题.
18、（1）；（2）
【解析】
（1）根据边上的高所在直线方程求出的斜率，由点斜式可得的方程，与所在直线方程联立即可得结果；（2）设 则， 代入中，可求得点坐标，利用两点式可得结果.
【详解】
（1）由边上的高所在直线方程为得，
所以直线AB所在的直线方程为，即
联立 解得
所以顶点的坐标为（4,3）
（2）因为在直线上，所以设
则，
代入中，得
所以
则直线的方程为，即
本题主要考查直线的方程，直线方程主要有五种形式，每种形式的直线方程都有其局限性，斜截式与点斜式要求直线斜率存在，所以用这两种形式设直线方程时要注意讨论斜是否存在；截距式要注意讨论截距是否为零；两点式要注意讨论直线是否与坐标轴平行；求直线方程的最终结果往往需要化为一般式.
19、（1）．（2）证明见解析
【解析】
（1）由，
可得当时，，两式相减可求数列的通项公式；
（2）将带入，再计算，通过裂项相消计算，即可证明出。
【详解】
（1）解：∵，
∴（，），
两式相减得：，∴．
当时，，满足上式，
∴．
（2）证明：由（1）知，∴，
∴，
∴
．
本题考查利用公式求解数列的通项公式及裂项相消求数列的前n项和，属于基础题。
20、 (1)证明见解析；(2)证明见解析
【解析】
（1）根据等腰三角形的性质，证得,由此证得平面.（2）先根据三角形中位线和平行公理，证得四边形为平行四边形，再根据已知,证得，由此证得四边形是菱形.
【详解】
解（1）因为，是的中点，所以
因为，是的中点，所以
又，平面，平面
所以平面
（2）因为、分别是、的中点
所以且
同理且
所以且，即四边形为平行四边形
又，所以
所以四边形是菱形.

本小题主要考查线面垂直的证明，考查证明四边形是菱形的方法，考查等腰三角形的性质以及三角形中位线的性质，考查空间想象能力和逻辑推理能力，属于中档题.
21、（1）A∩B＝{x|﹣1＜x≤﹣1}（2）（1，1]．
【解析】
（1）首先确定A、B，然后根据交集定义求出即可；
（2）由A∪B＝R，得，得1＜a≤1．
【详解】
B＝{x|x≤﹣1或x＞5}，
（1）若a＝1，则A＝{x|﹣1＜x＜5}，
∴A∩B＝{x|﹣1＜x≤﹣1}；
（2）∵A∪B＝R，
∴，
∴1＜a≤1，
∴实数a的取值范围为（1，1]．
本题考查了交集及其运算，考查了并集运算的应用，是基础题．