安徽凤阳县城西中学2025年高一数学第二学期期末复习检测试题含解析.doc

安徽凤阳县城西中学2025年高一数学第二学期期末复习检测试题
注意事项：
1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号、考场号和座位号填写在试题卷和答题卡上。用2B铅笔将试卷类型（B）填涂在答题卡相应位置上。将条形码粘贴在答题卡右上角"条形码粘贴处"。
2．作答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案。答案不能答在试题卷上。
3．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液。不按以上要求作答无效。
4．考生必须保证答题卡的整洁。考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的
1．英国数学家布鲁克泰勒（Taylor Brook，1685~1731）建立了如下正、余弦公式（   ）

其中，，例如：．试用上述公式估计的近似值为（精确到0.01）
A．0.99 B．0.98 C．0.97  D．0.96
2．将函数的图象向左平移个单位长度，再将图象上每个点的横坐标变为原来的（纵坐标不变），得到函数的图象.若函数在区间上有且仅有两个零点，则的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
3．设满足约束条件,则的最大值为 （ ）
A．7 B．6 C．5 D．3
4．等比数列的前n项和为，已知，则
A． B． C． D．
5．已知、都是公差不为0的等差数列，且，，则的值为（　　）
A．2 B．-1 C．1 D．不存在
6．我国古代数学家刘徽在《九章算术注》中提出割圆术：“割之弥细，所失弥少，割之割，以至于不可割，则与圆合体，而无所失矣”，即通过圆内接正多边形细割圆，并使正多边形的面积无限接近圆的面积，进而来求得较为精确的圆周率.如果用圆的内接正边形逼近圆，算得圆周率的近似值记为，那么用圆的内接正边形逼近圆，算得圆周率的近似值加可表示成（ ）
A． B． C． D．
7．不等式的解集为，则实数的值为（ ）
A． B．
C． D．
8．已知正四棱锥的侧棱长与底面边长都相等，是的中点，则所成的角的余弦值为（ ）
A． B． C． D．
9．已知，若关于的不等式的解集中的整数恰有3个，则实数的取值范围是（）
A． B． C． D．
10．数列的通项公式为，则数列的前100项和（ ）．
A． B． C． D．
二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。
11．两平行直线与之间的距离为_______．
12．设向量，定义一种向量积：.已知向量，点P在的图象上运动，点Q在的图象上运动，且满足（其中O为坐标原点），则的单调增区间为________.
13．已知数列的前n项和，则________.
14．已知一组数据、、、、、，那么这组数据的平均数为__________.
15．把正整数排列成如图甲所示的三角形数阵，然后擦去偶数行中的奇数和奇数行中的偶数，得到如图乙所示的三角形数阵，再把图乙中的数按从小到大的顺序排成一列，得到一个数列，若，则________________．

16．齐王与田忌赛马，田忌的上等马优于齐王的中等马，劣于齐王的上等马，田忌的中等马优于齐王的下等马，劣于齐王的中等马，田忌的下等马劣于齐王的下等马.现从双方的马匹中随机选一匹进行一场比赛，则田忌的马获胜的概率为__________．
三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．已知函数,
（1）求的单调递增区间.
（2）求在区间的最大值和最小值.
18．已知角终边上一点，且，求的值．
19．如图，在平面直角坐标系中，点,，锐角的终边与单位圆O交于点P．

(Ⅰ)当时，求的值；
(Ⅱ)在轴上是否存在定点M，使得恒成立？若存在，求出点M坐标；若不存在，说明理由．
20．写出集合的所有子集．
21．已知，，，且.
（1）若，求的值；
（2）设，，若的最大值为，求实数的值.
参考答案

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的
1、B
【解析】
利用题设中给出的公式进行化简，即可估算，得到答案．
【详解】
由题设中的余弦公式得
，
故答案为B
本题主要考查了新信息试题的应用，其中解答中理解题意，利用题设中的公式，准确计算是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题．
2、C
【解析】
写出变换后的函数解析式，，，结合正弦函数图象可分析得：要使函数有且仅有两个零点，只需，即可得解.
【详解】
由题，根据变换关系可得：，
函数在区间上有且仅有两个零点，
，，
根据正弦函数图象可得：，
解得：.
故选：C
此题考查函数图象的平移和伸缩变换，根据函数零点个数求参数的取值范围.
3、A
【解析】
考点：简单线性规划．
专题：计算题．
分析：首先作出可行域，再作出直线l0：y=-3x，将l0平移与可行域有公共点，直线y=-3x+z在y轴上的截距最大时，z有最大值，求出此时直线y=-3x+z经过的可行域内的点A的坐标，代入z=3x+y中即可．
解：如图，作出可行域，作出直线l0：y=-3x，将l0平移至过点A（3，-2）处时，函数z=3x+y有最大值1．

故选A．
点评：本题考查线性规划问题，考查数形结合思想．解答的步骤是有两种方法：一种是：画出可行域画法，标明函数几何意义，得出最优解．另一种方法是：由约束条件画出可行域，求出可行域各个角点的坐标，将坐标逐一代入目标函数，验证，求出最优解．
4、A
【解析】
设公比为q,则，选A.
5、C
【解析】
首先根据求出数列、公差之间的关系，再代入即可。
【详解】
因为和都是公差不为零的等差数列，
所以设
故，可得
又因为和代入
则．
故选：C．
本题主要考查了极限的问题以及等差数列的通项属于基础题。
6、C
【解析】
设圆的半径为，由内接正边形的面积无限接近圆的面积可得：，由内接正边形的面积无限接近圆的面积可得：，问题得解.
【详解】
设圆的半径为，将内接正边形分成个小三角形，
由内接正边形的面积无限接近圆的面积可得：
，整理得：，
此时，即：
同理，由内接正边形的面积无限接近圆的面积可得：
，整理得：
此时
所以
故选C
本题主要考查了圆的面积公式及三角形面积公式的应用，还考查了正弦的二倍角公式，考查计算能力，属于中档题．
7、C
【解析】
不等式的解集为，
为方程的两根，
则根据根与系数关系可得，
.
故选C.
考点：一元二次不等式；根与系数关系.
8、C
【解析】
试题分析：设的交点为，连接，则为所成的角或其补角；设正四棱锥的棱长为，则，所以
，故C为正确答案．
考点：异面直线所成的角．
9、A
【解析】
将不等式化为，可知满足不等式，不满足不等式，由此可确定个整数解为；当和时，解不等式可知不满足题意；当时，解出不等式的解集，要保证整数解为，则需，解不等式组求得结果.
【详解】
由得：
当时，成立 必为不等式的一个整数解
当时，不成立 不是不等式的整数解
个整数解分别为：
当时，，不满足题意
当时，解不等式得：或
不等式不可能只有个整数解，不满足题意
当时，
，解得：，即的取值范围为：
本题正确选项：
本题考查根据不等式整数解的个数求解参数范围问题，关键是能够利用特殊值确定整数解的具体取值，从而解不等式，根据整数解的取值来确定解集的上下限，构造不等式组求得结果.
10、C
【解析】
根据通项公式，结合裂项求和法即可求得.
【详解】
数列的通项公式为，
则

故选：C.
本题考查了裂项求和的应用，属于基础题.

二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。
11、
【解析】
先根据两直线平行求出，再根据平行直线间的距离公式即可求出．
【详解】
因为直线的斜率为，所以直线的斜率存在，，
即，解得或．
当时，，即，
故两平行直线的距离为．
当时，，，两直线重合，不符合题意，应舍去．
故答案为：．
本题主要考查平行直线间的距离公式的应用，以及根据两直线平行求参数，属于基础题．
12、
【解析】
设，，由求出的关系，用表示，并把代入即得，后利用余弦函数的单调性可得增区间．
【详解】
设，，由得：
，∴，，
∵，∴，，即，
令，得，
∴增区间为．
故答案为：．
本题考查新定义，正确理解新定义运算是解题关键．考查三角函数的单调性．利用新定义建立新老图象间点的联系，求出新函数的解析式，结合余弦函数性质求得增区间．
13、
【解析】
先利用求出，在利用裂项求和即可.
【详解】
解：当时，，
当时，，
综上，，，

，
故答案为：.
本题考查和的关系求通项公式，以及裂项求和，是基础题.
14、
【解析】
利用平均数公式可求得结果.
【详解】
由题意可知，数据、、、、、的平均数为.
故答案为：.
本题考查平均数的计算，考查平均数公式的应用，考查计算能力，属于基础题.
15、
【解析】
由图乙可得：第行有个数，且第行最后的一个数为，从第三行开始每一行的数从左到右都是公差为的等差数列，注意到，，据此确定n的值即可.
【详解】
分析图乙，可得①第行有个数，则前行共有个数，②第行最后的一个数为，③从第三行开始每一行的数从左到右都是公差为的等差数列，又由，，则，则出现在第行，第行第一个数为，这行中第个数为，前行共有个数，则为第个数．故填．
归纳推理是由部分到整体、由特殊到一般的推理，由归纳推理所得的结论不一定正确，通常归纳的个体数目越多，越具有代表性，那么推广的一般性命题也会越可靠，它是一种发现一般性规律的重要方法．
16、.
【解析】
分析：由题意结合古典概型计算公式即可求得题中的概率值.
详解：由题意可知了，比赛可能的方法有种，
其中田忌可获胜的比赛方法有三种：田忌的中等马对齐王的下等马，
田忌的上等马对齐王的下等马，田忌的上等马对齐王的中等马，
结合古典概型公式可得，田忌的马获胜的概率为.
点睛：有关古典概型的概率问题，关键是正确求出基本事件总数和所求事件包含的基本事件数．(1)基本事件总数较少时，用列举法把所有基本事件一一列出时，要做到不重复、不遗漏，可借助“树状图”列举．(2)注意区分排列与组合，以及计数原理的正确使用.

三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17、（1），；（2）最大值为，最小值为
【解析】
利用二倍角公式、两角和差正弦公式和辅助角公式可化简出；
（1）令，解出的范围即为所求单调递增区间；
（2）利用的范围可求得所处的范围，整体对应正弦函数图象可确定最大值和最小值取得时的值，进而求得最值.
【详解】

（1）令，，解得：，
的单调递增区间为，
（2）当时，
当时，取得最大值，最大值为
当时，取得最小值，最小值为
本题考查正弦型函数单调区间和最值的求解问题，涉及到利用两角和差公式、二倍角公式和辅助角公式化简三角函数；关键是能够灵活应用整体对应的方式，结合正弦函数的图象与性质来进行求解.
18、见解析
【解析】
根据三角函数定义列方程解得，再根据三角函数定义求的值．
【详解】
，
(1)当时，．
(2)当时，，解得．
当时，；
当时，．
综上当时，；当时，；当时，．
本题考查三角函数定义，考查基本分析求解能力，属基础题.
19、（Ⅰ）（Ⅱ）
【解析】
（Ⅰ）设点，求得向量的坐标，根据向量的数量积的运算，求得，即可求得答案．
（Ⅱ）设M点的坐标为，把恒成立问题转化为恒成立，列出方程组，即可求解．
【详解】
（Ⅰ）
，
，
（Ⅱ）设M点的坐标为，则
，
，
，
．
本题主要考查了向量的坐标运算，以及向量的数量积的应用和恒成立问题的求解，其中解答中合理利用向量的坐标运算及向量的数量积的运算，以及转化等式的恒成立问题，列出相应的方程组是解答的关键，着重考查了推理与运算能力．
20、
【解析】
根据集合的子集的定义列举出即可．
【详解】
集合的所有子集有：
本题考查了集合的子集的定义，掌握子集的定义是解题的关键，本题是一道基础题．
21、 (1)0 (2)
【解析】
（1）通过可以算出，移项、两边平方即可算出结果.（2）通过向量的运算，解出，再通过最大值根的分布，求出的值.
【详解】
（1）通过可以算出，
即
故答案为0.
（2），设，，，
即的最大值为；
①当时，（满足条件）；
②当时，
（舍）；
③当时，（舍）
故答案为
当式子中同时出现时，常常可以利用换元法，把用进行表示，但计算过程中也要注意自变量的取值范围；二次函数最值一定要注意对称轴是否在规定区间范围内，再讨论最后的结果.