四川省雅安市雨城区雅安中学2025年高一下数学期末学业质量监测试题含解析.doc

四川省雅安市雨城区雅安中学2025年高一下数学期末学业质量监测试题
考生须知：
1．全卷分选择题和非选择题两部分，全部在答题纸上作答。选择题必须用2B铅笔填涂；非选择题的答案必须用黑色字迹的钢笔或答字笔写在“答题纸”相应位置上。
2．请用黑色字迹的钢笔或答字笔在“答题纸”上先填写姓名和准考证号。
3．保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，在草稿纸、试题卷上答题无效。

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的
1．已知是两条不同直线，是三个不同平面，下列命题中正确的是（ ）
A．若则 B．若则
C．若则 D．若则
2．已知O，N，P在所在平面内，且，，且，则点O，N，P依次是的（ ）
A．重心 外心 垂心 B．重心 外心 内心
C．外心 重心 垂心 D．外心 重心 内心
3．某学生4次模拟考试英语作文的减分情况如下表：

显然与之间有较好的线性相关关系，则其线性回归方程为 (　　)
A． B．
C． D．
4．下列函数所具有的性质，一定成立的是（ ）
A． B．
C． D．
5．已知函数图象的一条对称轴是，则函数的最大值为（ ）
A．5 B．3 C． D．
6．甲箱子里装有个白球和个红球，乙箱子里装有个白球和个红球．从这两个箱子里分别摸出一个球，设摸出的白球的个数为，摸出的红球的个数为，则（ ）
A．，且 B．，且
C．，且 D．，且
7．已知函数，且的图象向左平移个单位后所得的图象关于坐标原点对称，则的最小值为（ ）
A． B． C． D．
8．已知，，则点在直线上的概率为（ ）
A． B． C． D．
9．若偶函数在上是增函数，则（ ）
A． B．
C． D．不能确定
10．若实数，满足约束条件，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。
11．在中，，，则的值为________
12．函数的最小正周期为________
13．已知，，，则的最小值为__________.
14．函数在内的单调递增区间为 ____.
15．已知、、分别是的边、、的中点，为的外心，且，给出下列等式：
①；②；③；④
其中正确的等式是_________（填写所有正确等式的编号）.
16．数列中，若，，则______；
三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．对于三个实数、、，若成立，则称、具有“性质”.
（1）试问：①，0是否具有“性质2”；
②（），0是否具有“性质4”；
（2）若存在及，使得成立，且
，1具有“性质2”，求实数的取值范围；
（3）设，，，为2019个互不相同的实数，点（）
均不在函数的图象上，是否存在，且，使得、
具有“性质2018”，请说明理由.
18．已知函数.
（Ⅰ）求的最小正周期；
（Ⅱ）若在区间上的最大值为，求的最小值.
19．已知函数.
（Ⅰ）求的定义域；
（Ⅱ）设是第一象限角，且，求的值.
20．如图，在四棱锥P‐ABCD中，四边形ABCD为正方形，PA⊥平面ABCD，E为PD的中点．

求证：（1）PB∥平面AEC；
（2）平面PCD⊥平面PAD．
21．已知函数的最小正周期为，且其图象的一个对称轴为，将函数图象上所有点的橫坐标缩小到原来的倍，再将图象向左平移个单位长度，得到函数的图象.
（1）求的解析式，并写出其单调递增区间；
（2）求函数在区间上的零点；
（3）对于任意的实数，记函数在区间上的最大值为，最小值为，求函数在区间上的最大值.
参考答案

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的
1、D
【解析】
A项，可能相交或异面,当时，存在，，故A项错误；
B项，可能相交或垂直,当 时，存在，，故B项错误；
C项，可能相交或垂直,当 时，存在，，故C项错误；
D项，垂直于同一平面的两条直线相互平行，故D项正确,故选D.
本题主要考查的是对线，面关系的理解以及对空间的想象能力.
考点：直线与平面、平面与平面平行的判定与性质；直线与平面、平面与平面垂直的判定与性质.
2、C
【解析】
根据向量关系，，所在直线经过中点，由得，即可得解.
【详解】
由题：，所以O是外接圆的圆心，
取中点，，，即所在直线经过中点，与中线共线，同理可得分别与边的中线共线，即N是三角形三条中线交点，即重心，
，，，
，即，同理可得，即P是三角形的垂心.
故选：C
此题考查利用向量关系判别三角形的外心，重心和垂心，关键在于准确进行向量的运算，根据运算结果得结论.
3、D
【解析】
求出样本数据的中心，代入选项可得D是正确的.
【详解】
，所以这组数据的中心为，
对选项逐个验证，可知只有过样本点中心.
本题没有提供最小二乘法的公式，所以试题的意图不是考查公式计算，而是要考查回归直线过样本点中心这一概念.
4、B
【解析】
结合反三角函数的性质，逐项判定，即可求解.
【详解】
由题意，对于A中，令，则，所以不正确；
对于C中，根据反正弦函数的性质，可得，所以是错误的；
对于D中，函数当时，则满足，所以不正确，
故选：B.
本题主要考查了反三角函数的性质的应用，其中解答中熟记反三角函数的性质，逐项判定是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题.
5、B
【解析】
函数图象的一条对称轴是，可得，解得．可得函数，再利用辅助角公式、倍角公式、三角函数的有界性即可得出．
【详解】
函数图象的一条对称轴是，
，解得．
则函数

当时取等号．
函数的最大值为1．故选．
本题主要考查三角函数的性质应用以及利用二倍角公式和辅助角公式进行三角恒等变换．
6、D
【解析】
可取，；，，，，，故选D.
7、C
【解析】
由函数图像的平移变换得的图象向左平移个单位，得到，再结合三角函数的性质运算即可得解.
【详解】
解：，
将的图象向左平移个单位，得到，
因为平移后图象关于对称，所以，
可得，，，，
因为，
所以的最小值为，
故选C.
本题考查了函数图像的平移变换及三角函数的性质，属基础题.
8、B
【解析】
先求出点)的个数，然后求出点在直线上的个数，最后根据古典概型求出概率.
【详解】
点的个数为，其中点三点在直线上，所以点在直线上的概率为，故本题选B.
本题考查了古典概型概率的计算公式，考查了数学运算能力.
9、B
【解析】
根据偶函数性质与幂函数性质可得．
【详解】
偶函数在上是增函数，则它在上是减函数，所以．
故选：B．
本题考查幂函数的性质，考查偶函数性质，属于基础题．
10、D
【解析】

画出表示的可行域，如图所示的开放区域，平移直线，由图可知，当直线经过时，直线在纵轴上的截距取得最大值，此时有最小值，无最大值，的取值范围是，故选A.
【方法点晴】本题主要考查线性规划中利用可行域求目标函数的最值，属简单题.求目标函数最值的一般步骤是“一画、二移、三求”：（1）作出可行域（一定要注意是实线还是虚线）；（2）找到目标函数对应的最优解对应点（在可行域内平移变形后的目标函数，最先通过或最后通过的顶点就是最优解）；（3）将最优解坐标代入目标函数求出最值.

二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。
11、
【解析】
由，得到，由三角形的内角和，求出，再由正弦定理求出的值.
【详解】
因为，，
所以，
所以，
在中，由正弦定理得
，
所以
.
本题考查正弦定理解三角形，属于简单题.
12、
【解析】
根据的最小正周期判断即可.
【详解】
因为的最小正周期均为,故的最小正周期为.
故答案为：
本题主要考查了正切余切函数的周期,属于基础题型.
13、25
【解析】
变形后，利用基本不等式可得.
【详解】

当且仅当，即， 时取等号.
故答案为：25
本题考查了利用基本不等式求最值，属于基础题.
14、
【解析】
将函数进行化简为，求出其单调增区间再结合，可得结论.
【详解】
解：，
递增区间为：，
可得
，
在范围内单调递增区间为。
故答案为：.
本题考查了正弦函数的单调区间，属于基础题。
15、①②④.
【解析】
根据向量的中点性质与向量的加法运算,可判断①②③.
【详解】
、、分别是的边、、的中点,为的外心,且,设三条中线交点为G,如下图所示:

对于①,由三角形中线性质及向量加法运算可知

,所以①正确;
对于②,,所以②正确;
对于③,,所以③错误;
对于,

由外心性质可知,
所以

故正确.
综上可知,正确的为①②④.
故答案为: ①②④.
本题考查了向量的线性运算,三角形外心的性质及应用,属于基础题.
16、
【解析】
先分组求和得，再根据极限定义得结果.
【详解】
因为，，……，，
所以
则.
本题考查分组求和法、等比数列求和、以及数列极限，考查基本求解能力.

三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17、（1）①具有“性质2”，②不具有“性质4”；（2）；（3）存在.
【解析】
（1）①根据题意需要判断的真假即可② 根据题意判断是否成立即可得出结论；（2）根据具有性质2可求出的范围，由存在性问题成立转化为 ，根据函数的性质求最值即可求解.
【详解】
（1）①因为，成立,
所以，故，0具有“性质2”
②因为，设，则
设，
对称轴为，
所以函数在上单调递减，当时，，
所以当时，不恒成立，
即不成立，
故（），0不具有“性质4”.
（2）因为，1具有“性质2”
所以
化简得
解得或 .
因为存在及，使得成立，
所以存在 及使 即可.
令，则，
当时，，
所以在上是增函数，
所以时，，当时，，
故时，
因为在上单调递减，在 上单调递增，
所以，
故只需满足即可，解得.
（3）假设具有“性质2018”，则，
即证明在任意2019个互不相同的实数中，一定存在两个实数,满足：
.
证明：
由，
令，由万能公式知，
将等分成2018个小区间，则这2019个数必然有两个数落在同一个区间，令其为：，即，
也就是说，在，，，这2019个数中，一定有两个数满足，
即一定存在两个实数，满足，
从而得证.
本题主要考查了不等式的证明，根据存在性问题求参数的取值范围，三角函数的单调性，万能公式，考查了创新能力，属于难题.
18、（Ⅰ） ；（Ⅱ）.
【解析】
（I）将化简整理成的形式，利用公式可求最小正周期；（II）根据，可求的范围，结合函数图象的性质，可得参数的取值范围.
【详解】
（Ⅰ），
所以的最小正周期为.
（Ⅱ）由（Ⅰ）知.
因为，所以.
要使得在上的最大值为，
即在上的最大值为1.
所以，即.
所以的最小值为.
点睛：本题主要考查三角函数的有关知识，解题时要注意利用二倍角公式及辅助角公式将函数化简，化简时要注意特殊角三角函数值记忆的准确性，及公式中符号的正负.
19、（Ⅰ）；（Ⅱ）.
【解析】
(1)本题可根据分式的分母不能为得出，然后解即可得出函数的定义域；
(2)本题首先可根据以及同角三角函数关系计算出以及的值，然后对函数进行化简，得到，最后通过计算即可得出结果．
【详解】
(1)由得，，
所以，，
故的定义域为.
(2)因为，且是第一象限角，
所以有，解得，.
故
．
本题考查三角函数的性质、三角恒等变换的应用，考查的公式有、、、二倍角公式以及两角差的余弦公式，考查化归与转化思想，是中档题．
20、（1）详证见解析；（2）详证见解析.
【解析】
（ 1）可通过连接交于，通过中位线证明和平行得证平面．
（ 2）可通过正方形得证，通过平面得证，然后通过线面垂直得证面面垂直．
【详解】
（ 1）证明： 连交于O,
因为四边形是正方形 ,
所以 ,
连，则是三角形的中位线, ,
平面，平面
所以平面 .
（2）因为平面 ,
所以 ,
因为是正方形，所以,
所以平面,
所以平面平面.
证明线面平行可通过线线平行得证，证明面面垂直可通过线面垂直得证．
21、（1），单调递增区间为；
（2）、、；（3）.
【解析】
（1）由函数的最小正周期求出的值，由图象的对称轴方程得出的值，从而可求出函数的解析式；
（2）先利用图象变换的规律得出函数的解析式，然后在区间上解方程可得出函数的零点；
（3）对分三种情况、、分类讨论，分析函数在区间上的单调性，得出和，可得出关于的表达式，再利用函数的单调性得出函数的最大值.
【详解】
（1）由题意可知，，.
令，即，
即函数的图象的对称轴方程为.
由于函数图象的一条对称轴方程为，，
，，，则，因此，.
函数的单调递增区间为；
（2）将函数的图象上所有点的橫坐标缩小到原来的倍，得到函数.
再将所得函数的图象向左平移个单位长度，
得到函数.
令，即，化简得，
得或.
由于，当时，；当时，或.
因此，函数在上的零点为、、；
（3）当时，函数在上单调递增，在上单调递减，
所以，，由于，，
此时，；
当时，函数在上单调递增，在上单调递减，
所以，，由于，，
此时，；
当时，函数在区间上单调递减，
所以，，，
此时，.
所以，.
当时，函数单调递减，；
当时，函数单调递增，此时；
当时，，当时，.
综上所述：.
本题考查利用三角函数性质求解析式、考查三角函数图象变换、三角函数的零点以及三角函数的最值，考查三角函数在动区间上的最值，要充分考查函数的单调性，结合三角函数的单调性求解，考查分类讨论数学思想，属于中等题.