2024-2025学年山东省临沂市临沭县一中高一数学第二学期期末达标检测试题含解析.doc

2024-2025学年山东省临沂市临沭县一中高一数学第二学期期末达标检测试题
注意事项：
1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号、考场号和座位号填写在试题卷和答题卡上。用2B铅笔将试卷类型（B）填涂在答题卡相应位置上。将条形码粘贴在答题卡右上角"条形码粘贴处"。
2．作答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案。答案不能答在试题卷上。
3．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液。不按以上要求作答无效。
4．考生必须保证答题卡的整洁。考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的
1．函数的零点有两个，求实数的取值范围（ ）
A． B．或 C．或 D．
2．已知集合，，则中元素的个数是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
3．甲、乙两队准备进行一场篮球赛，根据以往的经验甲队获胜的概率是，两队打平的概率是，则这次比赛乙队不输的概率是（ ）
A．- B． C． D．
4．设 ， 满足约束条件 ，则目标函数 的最小值为（ ）
A． B． C． D．
5．若圆与圆外切，则（ ）
A．21 B．19 C．9 D．-11
6．函数，当时函数取得最大值，则（ ）
A． B． C． D．
7．函数（其中为自然对数的底数）的图象大致为（ ）
A． B． C． D．
8．已知在中，，那么的值为（　　）
A． B． C． D．
9．已知，向量，则向量( )
A． B． C． D．
10．如图的折线图为某小区小型超市今年一月份到五月份的营业额和支出数据（利润=营业额-支出），根据折线图，下列说法中正确的是（ ）

A．该超市这五个月中，利润随营业额的增长在增长
B．该超市这五个月中，利润基本保持不变
C．该超市这五个月中，三月份的利润最高
D．该超市这五个月中的营业额和支出呈正相关
二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。
11．已知直线和，若，则a等于________.
12．函数y=sin2x+2sin2x的最小正周期T为_______.
13．已知数列满足，，，则__________．
14．若，，，则M与N的大小关系为___________．
15．设函数是定义在上的偶函数，且对称轴为，已知当时，，则有下列结论：①2是函数的周期；②函数在上递减，在上递增；③函数的最小值是0，最大值是1；④当时，.其中所有正确结论的序号是_________.
16．某中学高一年级有学生1200人，高二年级有学生900人，高三年级有学生1500人，现按年级用分层抽样的方法从这三个年级的学生中抽取一个容量为720的样本进行某项研究，则应从高三年级学生中抽取_____人．
三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．已知方程；
（1）若，求的值；
（2）若方程有实数解，求实数的取值范围；
（3）若方程在区间上有两个相异的解、，求的最大值.
18．某小型企业甲产品生产的投入成本x（单位：万元）与产品销售收入y（单位：万元）存在较好的线性关系，下表记录了最近5次该产品的相关数据.
x（万元）
3
5
7
9
11
y（万元）
8
10
13
17
22
（1）求y关于x的线性回归方程；
（2）根据（1）中的回归方程，判断该企业甲产品投入成本12万元的毛利率更大还是投入成本15万元的毛利率更大（毛利率）？
相关公式：，.
19．甲、乙两位同学参加数学应用知识竞赛培训，现分别从他们在培训期间参加的若干次测试成绩中随机抽取8次，记录如下：

（Ⅰ）分别估计甲、乙两名同学在培训期间所有测试成绩的平均分；
（Ⅱ）从上图中甲、乙两名同学高于85分的成绩中各选一个成绩作为参考，求甲、乙两人成绩都在90分以上的概率；
（Ⅲ）现要从甲、乙中选派一人参加正式比赛，根据所抽取的两组数据分析，你认为选派哪位同学参加较为合适？说明理由.
20．已知数列，，满足，，，.
（1）设，求数列的通项公式；
（2）设，求数列，的前n项和.
21．已知数列中，，.
(1)求数列的通项公式:
(2)设，求数列的通项公式及其前项和.
参考答案

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的
1、B
【解析】
由题意可得，的图象（红色部分）和直线有2个交点，数形结合求得的范围．
【详解】
由题意可得的图象(红色部分)和直线有2个交点，如图所示：

故有或，
故选：B.
已知函数零点(方程根)的个数，求参数取值范围的三种常用的方法：(1)直接法，直接根据题设条件构建关于参数的不等式，再通过解不等式确定参数范围；(2)分离参数法，先将参数分离，转化成求函数值域问题加以解决；(3)数形结合法，先对解析式变形，在同一平面直角坐标系中，画出函数的图象，然后数形结合求解．一是转化为两个函数的图象的交点个数问题，画出两个函数的图象，其交点的个数就是函数零点的个数，二是转化为的图象的交点个数问题 .
2、C
【解析】
求出A∩B即得解.
【详解】
由题得A∩B={2,3,4},所以A∩B中元素的个数是3.
故选：C
本题主要考查集合的交集的计算，意在考查学生对该知识的理解掌握水平，属于基础题.
3、C
【解析】
因为“甲队获胜”与“乙队不输”是对立事件，对立事件的概率之和为1，进而即可求出结果.
【详解】
由题意，“甲队获胜”与“乙队不输”是对立事件，
因为甲队获胜的概率是，
所以，这次比赛乙队不输的概率是.
故选C
本题主要考查对立事件的概率问题，熟记对立事件的性质即可，属于常考题型.
4、A
【解析】

如图，过时，取最小值，为。故选A。
5、C
【解析】
试题分析：因为,所以且圆的圆心为,半径为,根据圆与圆外切的判定(圆心距离等于半径和)可得
,故选C.
考点：圆与圆之间的外切关系与判断
6、A
【解析】
根据三角恒等变换的公式化简得，其中，再根据题意，得到，求得，结合诱导公式，即可求解.
【详解】
由题意，根据三角恒等变换的公式，可得，
其中，
因为当时函数取得最大值，即，即，
可得，即，
所以.
故选：A.
本题主要考查了三角恒等变换的应用，以及诱导公式的化简求值，其中解答中熟记三角恒等变换的公式，合理利用三角函数的诱导公式求解是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题.
7、C
【解析】
由题意，可知，即为奇函数，排除，，又时，，可排除D，即可选出正确答案.
【详解】
由题意，函数定义域为，且，即为奇函数，排除，，当时，，，即时，，可排除D，故选C.
本题考查了函数图象的识别，考查了函数奇偶性的运用，属于中档题.
8、A
【解析】
，不妨设，,
则 ，选A.
9、A
【解析】
由向量减法法则计算．
【详解】
．
故选A．
本题考查向量的减法法则，属于基础题．
10、D
【解析】
根据折线图，分析出超市五个月中利润的情况以及营业额和支出的相关性.
【详解】
对于A选项，五个月的利润依次为：，其中四月比三月是下降的，故A选项错误.
对于B选项，五月的月份是一月和四月的两倍，说明利润有比较大的波动，故B选项错误.
对于C选项，五个月的利润依次为：，所以五月的利润最高，故C选项错误.
对于D选项，根据图像可知，超市这五个月中的营业额和支出呈正相关，故D选项正确.
故选：D
本小题主要考查折线图的分析与理解，属于基础题.

二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。
11、
【解析】
根据两直线互相垂直的性质可得，从而可求出的值.
【详解】
直线和垂直，
.
解得.
故答案为：
本题考查了直线的一般式，根据两直线的位置关系求参数的值，熟记两直线垂直系数满足：是关键，属于基础题.
12、
【解析】

考点：此题主要考查三角函数的概念、化简、性质，考查运算能力.
13、-2
【解析】
根据题干中所给的表达式得到数列的周期性，进而得到结果.
【详解】
根据题干表达式得到

可以得数列具有周期性，周期为3，故得到
故得到
故答案为：-2.
这个题目考查了求数列中的某些项，一般方法是求出数列通项，对于数列通项不容易求的题目，可以列出数列的一些项，得到数列的周期或者一些其它规律，进而得到数列中的项.
14、
【解析】
根据自变量的取值范围，利用作差法即可比较大小.
【详解】
，，，
所以

当时，
所以，
即，
故答案为：.
本题考查了作差法比较整式的大小，属于基础题.
15、①②④
【解析】
依据题意作出函数的图像，通过图像可以判断以下结论是否正确。
【详解】

作出函数的图像，由图像可知2是函数的周期，函数在上递减，在上递增，函数的最小值是0.5，最大值是1,
当时， ，
故正确的结论有①②④。
本题主要考查函数的图像与性质以及数形结合思想，意在考查学生的逻辑推理能力。
16、1．
【解析】
先求得高三学生占的比例，再利用分层抽样的定义和方法，即可求解.
【详解】
由题意，高三学生占的比例为，
所以应从高三年级学生中抽取的人数为.
本题主要考查了分层抽样的定义和方法，其中解答中熟记分层抽样的定义和抽取的方法是解答的关键，着重考查了运算与求解能力，属于基础题.

三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17、（1）或； （2）； （3）；
【解析】
试题分析：(1)时，由已知得到;(2)方程有实数解即a在的值域上，（3）根据二次函数的性质列不等式组得出tana的范围，利用根与系数的关系得出α+β的最值.
试题解析：
（1），
或；
（2）

（3）因为方程在区间上有两个相异的解、，所以
18、（1）；（2）12万元的毛利率更大
【解析】
（1）根据题意代入数值分别算出与即可得解；
（2）分别把与代入线性回归方程算出再算出毛利率即可得解.
【详解】
（1）由题意，.

，
，
，

故y关于x的线性回归方程为.
（2）当时，，对应的毛利率为，
当时，，对应的毛利率为，
故投入成本12万元的毛利率更大.
本题考查了线性回归方程的求解和应用，考查了计算能力，属于基础题.
19、（Ⅰ）（Ⅱ）（Ⅲ）见解析
【解析】
（Ⅰ）由茎叶图中的数据计算、，进而可得平均分的估计值；
（Ⅱ）求出基本事件数，计算所求的概率值；
（Ⅲ）答案不唯一.从平均数与方差考虑，派甲参赛比较合适；从成绩优秀情况分析，派乙参赛比较合适.
【详解】
（Ⅰ）由茎叶图中的数据，计算，
，
由样本估计总体得，甲、乙两名同学在培训期间所有测试成绩的平均分分别均约为分.
（Ⅱ）从甲、乙两名同学高于分的成绩中各选一个成绩，基本事件是，
甲、乙两名同学成绩都在分以上的基本事件为，
故所求的概率为.
（Ⅲ）答案不唯一.
派甲参赛比较合适，理由如下：
由（Ⅰ）知，，

，
，
因为，，
所有甲的成绩较稳定，派甲参赛比较合适；
派乙参赛比较合适，理由如下：
从统计的角度看，甲获得分以上（含分）的频率为，
乙获得分以上（含分）的频率为，
因为，所有派乙参赛比较合适.
本题考查了利用茎叶图计算平均数与方差的应用问题，属于基础题.
20、（1）（2）
【解析】
（1）由数列的递推公式得到和的关系式，进而推导出满足的关系式，进而求得数列的通项公式；
（2）的通项公式是由等差数列的项乘以等比数列的项，利用乘公比错位相减法，即可求解数列的前n项和.
【详解】
（1）由题意，知，则，即，
又由，所以，所以，所以，
，，
，
.
（2）由（1）知：，
，
，
两式相减得：
.
本题主要考查数列的递推公式的应用、以及“错位相减法”求和，此类题目是数列问题中的常见题型，解答中确定通项公式是基础，准确计算求和是关键，易错点是在“错位”之后求和时，弄错等比数列的项数，能较好的考查考生的逻辑思维能力及基本计算能力等.
21、 (1) (2) ，
【解析】
(1) 利用累加法得到答案.
(2)计算，利用裂项求和得到前项和.
【详解】
(1)由题意可知

左右累加得.
(2)
.
本题考查了数列的累加法，裂项求和法，是数列的常考题型.