上海市北中学2025届数学高一下期末学业水平测试试题含解析.doc

上海市北中学2025届数学高一下期末学业水平测试试题
注意事项:
1．答题前，考生先将自己的姓名、准考证号码填写清楚，将条形码准确粘贴在条形码区域内。
2．答题时请按要求用笔。
3．请按照题号顺序在答题卡各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试卷上答题无效。
4．作图可先使用铅笔画出，确定后必须用黑色字迹的签字笔描黑。
5．保持卡面清洁，不要折暴、不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的
1．函数的单调减区间为
A．
B．
C．
D．
2．直线的倾斜角为（ ）
A． B． C． D．
3．函数，则命题正确的（ ）
A．是周期为1的奇函数 B．是周期为2的偶函数
C．是周期为1的非奇非偶函数 D．是周期为2的非奇非偶函数
4．函数的定义域为（ ）
A． B． C． D．
5．等差数列中，若，则=( )
A．11 B．7 C．3 D．2
6．已知是第三象限的角，若，则
A． B． C． D．
7．在中，为的中点，，则（ ）
A． B． C．3 D．-3
8．若是第四象限角，则是（ ）
A．第一象限角 B．第二象限角
C．第三象限角 D．第四象限角
9． “”是“”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
10．下列选项正确的是（ ）
A．若,则
B．若,则
C．若,则
D．若,则
二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。
11．设向量满足，，，．若，则的最大值是________．
12．若集合，，则集合________.
13．一个圆柱和一个圆锥的底面直径和它们的高都与某一个球的直径相等，这时圆柱、圆锥、球的体积之比为 .

14．不等式的解集为_____________________。
15．已知cosθ，θ∈（π，2π），则sinθ＝_____，tan_____.
16．已知直线平分圆的周长，则实数________．
三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．已知向量，向量，向量，记与的夹角为．
(Ⅰ)求
(Ⅱ)求向量与向量的夹角的取值范围．
18．已知圆经过点.
（1）若直线与圆相切，求的值；
（2）若圆与圆无公共点，求的取值范围.
19．已知等差数列满足：，.
（1）求数列的通项公式；
（2）求数列的前n项和为.
20．已知为的三内角，且其对边分别为．且
（1）求的值；
（2）若，三角形面积，求的值．
21．小明同学在寒假社会实践活动中，对白天平均气温与某家奶茶店的品牌饮料销量之间的关系进行了分析研究，他分别记录了1月11日至1月15日的白天气温（）与该奶茶店的品牌饮料销量（杯），得到如表数据：
日期
1月11号
1月12号
1月13号
1月14号
1月15号
平均气温（）
9
10
12
11
8
销量（杯）
23
25
30
26
21
（1）若先从这五组数据中抽出2组，求抽出的2组数据恰好是相邻2天数据的概率；
（2）请根据所给五组数据，求出关于的线性回归方程式；
（3）根据（2）所得的线性回归方程，若天气预报1月16号的白天平均气温为，请预测该奶茶店这种饮料的销量.
（参考公式：，）
参考答案

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的
1、A
【解析】
根据正弦函数的单调递减区间，列出不等式求解，即可得出结果.
【详解】
的单调减区间为，
,
解得
函数的单调减区间为.
故选A.
本题主要考查三角函数的单调性，熟记正弦函数的单调区间即可，属于常考题型.
2、C
【解析】
求出直线的斜率，然后求解直线的倾斜角.
【详解】
由题意知，直线的斜率为，所以直线的倾斜角为.
故选：C.
本题考查直线的斜率与倾斜角的求法，属于基础题.
3、B
【解析】
由题得函数的周期为T= =2，又f(x)=sin(πx−)−1=−cosπx−1，从而得出函数f(x)为偶函数．
故本题正确答案为B．
4、A
【解析】
根据对数函数的定义域直接求解即可.
【详解】
由题知函数，
所以，
所以函数的定义域是.
故选：A.
本题考查了对数函数的定义域的求解，属于基础题.
5、A
【解析】
根据和已知条件即可得到．
【详解】
等差数列中，

故选A．
本题考查了等差数列的基本性质，属于基础题．
6、D
【解析】
根据是第三象限的角得，利用同角三角函数的基本关系，求得的值.
【详解】
因为是第三象限的角，所以，
因为，所以解得：，故选D.
本题考查余弦函数在第三象限的符号及同角三角函数的基本关系，即已知值，求的值.
7、A
【解析】
本题中、长度已知，故可以将、作为基底，将向量用基底表示，从而解决问题．
【详解】
解：在中，因为为的中点，
所以，

故选A
向量数量积问题常见解题方法有1.基底法，2.坐标法．基底法首先要选择两个不共线向量作为基向量，然后将其余向量向基向量转化，然后根据数量积公式进行计算；坐标法则要建立直角坐标系，然后将向量用坐标表示，进而运用向量坐标的运算规则进行计算．
8、C
【解析】
利用象限角的表示即可求解.
【详解】
由是第四象限角，则，
所以，
所以是第三象限角.
故选：C
本题考查了象限角的表示，属于基础题.
9、A
【解析】
根据和之间能否推出的关系，得到答案.
【详解】
由可得，
由，得到或，，不能得到，
所以“”是“”的充分不必要条件，
故选：A.
本题考查充分不必要条件的判断，属于简单题.
10、B
【解析】
通过逐一判断ABCD选项，得到答案.
【详解】
对于A选项，若，代入，，故A错误；
对于C选项，等价于，故C错误；对于D选项，若，则，故D错误，所以答案选B.
本题主要考查不等式的相关性质，难度不大.

二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。
11、
【解析】
令，计算出模的最大值即可，当与同向时的模最大．
【详解】
令，则，因为，所以当，，因此当与同向时的模最大，
本题主要考查了向量模的计算，以及二次函数在给定区间上的最值．整体换元的思想，属于较的难题，在解二次函数的问题时往往结合图像、开口、对称轴等进行分析．
12、
【解析】
由题意，得，，则.
13、
【解析】
设球的半径为r,
则,
，
，
所以，
故答案为.
考点：圆柱，圆锥，球的体积公式.
点评：圆柱，圆锥，球的体积公式分别为.
14、或
【解析】
利用一元二次函数的图象或转化为一元一次不等式组解一元二次不等式.
【详解】
由，或，所以或，
不等式的解集为或.
本题考查解一元二次不等式，考查计算能力，属于基本题.
15、 ﹣2.
【解析】
由题意利用同角三角函数的基本关系，二倍角公式，求得式子的值.
【详解】
由，，知，则，
.
故答案为：，.
本题主要考查同角三角函数的基本关系，二倍角公式的应用，属于基础题.
16、1
【解析】
由题得圆心在直线上，解方程即得解.
【详解】
由题得圆心（1，a）在直线上，
所以.
故答案为1
本题主要考查直线和圆的位置关系，意在考查学生对该知识的理解掌握水平，属于基础题.

三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17、 (Ⅰ) ； (Ⅱ) .
【解析】
（Ⅰ）由向量夹角公式可求，再由三角函数的诱导公式，化简得原式，利用三角函数的基本关系式，即可求解.
（Ⅱ）作出图象，结合直角中，求得，进而得到， ，即可求得向量与向量的夹角的取值范围.
【详解】
（Ⅰ）由向量夹角公式可求，
又由，
因为 ，所以，
故原式=．
（Ⅱ）如图所示，向量的终点在以点为圆心、半径为的圆上，是圆的两条切线，切点分别为，
在直角中，，可得，即
所以，
因为， 所以， ，
所以向量与向量的夹角的取值范围是.

本题主要考查了向量的数量积的运算公式，向量的夹角公式的应用，以及诱导公式的化简求值问题，其中解答中熟记向量的夹角公式和向量的数量积的运算公式，准确计算是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于中档试题.
18、 (1) 或. (2)
【解析】
试题分析：
由题意可得圆的方程为．（1）由圆心到直线的距离等于半径可得，解得或，即为所求．（2）由圆与圆无公共点可得两圆内含或外离，根据圆心距和两半径的关系得到不等式即可得到所求范围．
试题解析：
将点的坐标代入，
可得，
所以圆的方程为，即，
故圆心为，半径.
（1）因为直线与圆相切，所以圆心到直线的距离等于圆的半径，
即，
整理得，
解得或.
（2）圆的圆心为，则,
由题意可得圆与圆内含或外离，
所以或，
解得或.
所以的取值范围为.
19、（1）（2）
【解析】
（1）由等差数列的性质，求得，进而得到，即可求得数列的通项公式；
（2）由（1）可得，列用裂项法，即可求解数列的前项和.
【详解】
（1）由等差数列的性质，可得，所以，
又由，所以数列的通项公式.
（2）由（1）可得，
所以.
本题主要考查等差数列的通项公式及求和公式、以及“裂项法”求和的应用，此类题目是数列问题中的常见题型，解答中确定通项公式是基础，准确计算求和是关键，能较好的考查考生的逻辑思维能力及基本计算能力，属于基础题.
20、 (1) ； (2)
【解析】
（1）利用正弦定理化简，并用三角形内角和定理以及两角和的正弦公式化简，求得，由此求得的大小.（2）利用三角形的面积公式求得，利用余弦定理列方程，化简求得的值.
【详解】
解：（1），得：
∵
∴，
即
∵，∴，∵，∴
（2）由（1）有，
又由余弦定理得：
又，，
所以
本小题主要考查三角形的面积公式，考查正弦定理、余弦定理解三角形，考查运算求解能力，属于中档题.
21、 (1)；(2)；(3)19杯.
【解析】
试题分析：（1）由“选取的组数据恰好是相邻天的数据”为事件，得出基本事件的总数，利用古典概型，即可求解事件的概率；
（2）由数据求解，求由公式，求得 ，即可求得回归直线方程；
（3）当，代入回归直线方程，即可作出预测的结论．
试题解析：
（Ⅰ）设“选取的组数据恰好是相邻天的数据”为事件，所有基本事件（其中， 为月份的日期数）有种， 事件包括的基本事件有，，，
共种． 所以．
（Ⅱ）由数据，求得，．
由公式，求得，， 所以关于的线性回归方程为．
（Ⅲ）当时，．所以该奶茶店这种饮料的销量大约为 杯．