新疆维吾尔自治区喀什二中2024-2025学年高一数学第二学期期末考试模拟试题含解析.doc

新疆维吾尔自治区喀什二中2024-2025学年高一数学第二学期期末考试模拟试题
请考生注意：
1．请用2B铅笔将选择题答案涂填在答题纸相应位置上，请用0．5毫米及以上黑色字迹的钢笔或签字笔将主观题的答案写在答题纸相应的答题区内。写在试题卷、草稿纸上均无效。
2．答题前，认真阅读答题纸上的《注意事项》，按规定答题。

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的
1．若关于的方程有两个不同解，则实数的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
2． “”是“直线与直线互相垂直”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
3．的内角，，的对边分别为，，.已知，，，则（ ）
A． B． C． D．
4．的内角的对边分别为成等比数列，且，则等于（　）
A． B． C． D．
5．在中，内角所对的边分别为.若，则的值为（ ）
A． B． C． D．0
6．已知数列，其前n项和为，且，则的值是（ ）
A．4 B．8 C．2 D．9
7．若，则下列不等式中不正确的是（ ）
A． B． C． D．
8．在钝角三角形中,若,则边长的取值范围是(       )
A． B． C． D．
9．已知函数，，若成立，则的最小值为（ ）
A． B． C． D．
10．已知是第二象限角，且，则的值为
A． B． C． D．
二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。
11．若为锐角，，则__________．
12．已知向量，，若，则实数___________.
13．有一个倒圆锥形容器，它的轴截面是一个正三角形，在容器内放一个半径为的铁球，并注入水，使水面与球正好相切，然后将球取出，则这时容器中水的深度为___________．

14．正方体中，异面直线和所成角的余弦值是________.
15．设扇形的半径长为，面积为，则扇形的圆心角的弧度数是
16．由于坚持经济改革，我国国民经济继续保持了较稳定的增长.某厂2019年的产值是100万元，计划每年产值都比上一年增加，从2019年到2022年的总产值为______万元（精确到万元）.
三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．已知且，比较与的大小.
18．如图，四棱锥中，菱形所在的平面，是的中点，是的中点.

（1）求证：平面；
（2）若，求三棱锥的体积.
19．已知函数，数列中，若，且.
（1）求证：数列是等比数列；
（2）设数列的前项和为，求证：.
20．从甲、乙两班某项测试成绩中各随机抽取5名同学的成绩，得到如图所示的茎叶图.已知甲班成绩数据的中位数为13，乙班成绩数据的平均数为16.

（1）求x，y的值；
（2）试估计甲、乙两班在该项测试中整体水平的高低.
（注：方差，其中为的平均数）
21．已知数列中，，前项的和为，且满足数列是公差为的等差数列.
（1）求数列的通项公式；
（2）若恒成立，求的取值范围.
参考答案

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的
1、D
【解析】
换元设，将原函数变为，根据函数图像得到答案.
【详解】
设，则
，单调递增，则

如图：

数的取值范围为
故答案选D
本题考查了换元法，参数分离，函数图像，参数分离和换元法可以简化运算，是解题的关键.
2、A
【解析】
对分类讨论，利用两条直线相互垂直的充要条件即可得出.
【详解】
由题意，当时，两条直线分别化为：，，此时两条直线相互垂直；
当时，两条直线分别化为：，，此时两条直线不垂直，舍去；
当且时，由两条直线相互垂直，则，即，
解得或；
综上可得：或，两条直线相互垂直，
所以“”是“直线与直线互相垂直”的充分不必要条件.
故选：A.
本题考查了简易逻辑的判定方法、两条直线相互垂直的充要条件，考查了推理能力与计算能力，属于基础题.
3、C
【解析】
利用正弦定理求出的值，由得出，可得出角的值，再利用三角形的内角和定理求出角的大小.
【详解】
由正弦定理得，则，
，则，所以，，由三角形的内角和定理得，
故选：C.
本题考查利用正弦定理解三角形，也考查了三角形内角和定理的应用，在解题时要注意正弦值所对的角有可能有两角，可以利用大边对大角定理或两角之和小于进行验证，另外就是要熟悉正弦定理解三角形所适用的基本情形，考查计算能力，属于中等题.
4、B
【解析】
成等比数列，可得，又，可得，利用余弦定理即可得出．
【详解】
解：成等比数列，，又，，
则
故选B．
本题考查了等比数列的性质、余弦定理，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．
5、D
【解析】
设利用余弦定理求cosC的值.
【详解】
设
所以.
故选D
本题主要考查余弦定理，意在考查学生对该知识的理解掌握水平和分析推理能力.
6、A
【解析】
根据求解.
【详解】
由题得.
故选：A
本题主要考查数列和的关系，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平，属于基础题.
7、C
【解析】
，可得，则根据不等式的性质逐一分析选项，A：，，所以成立；B：，则，根据基本不等式以及等号成立的条件则可判断；C：且，根据可乘性可知结果；D：，根据乘方性可判断结果.
【详解】
A：由题意，不等式，可得，
则，，所以成立，所以A是正确的；
B：由，则，所以，因为，所以等号不成立，所以成立，所以B是正确的；
C：由且，根据不等式的性质，可得，所以C不正确；
D：由，可得，所以D是正确的，
故选：C.
本题考查不等式的性质，不等式等号成立的条件，熟记不等式的性质是解题的关键，属于基础题.
8、D
【解析】
试题分析：解法一：，由三角形正弦定理诱导公式有，利用三角恒等公式能够得到，当A为锐角时，，，即，当A为钝角时，，，综上所述，；
解法二：利用图形，如图，，，当点A（D）在线段BE上时（不含端点B,E）,为钝角，此时；当点A在线段EF上时，为锐角三角形或直角三角形；当点A在射线FG（不含端点F）上时，为钝角，此时，所以c的取值范围为．

考点：解三角形．
【思路点睛】解三角形需要灵活运用正余弦定理以及三角形的恒等变形，在解答本题时，利用三角形内角和，将两角化作一角，再利用正弦定理即可列出边长c与角A的关系式，根据角A的取值范围即可求出c的范围，本题亦可利用物理学中力的合成，合力的大小来确定c的大小，正如解法二所述．
9、B
【解析】
，则，
所以，则，
易知，，则在单调递减，单调递增，
所以，故选B。
点睛：本题考查导数的综合应用。利用导数求函数的极值和最值是导数综合应用题型中的常见考法。通过求导，首先观察得到导函数的极值点，利用图象判断出单调增减区间，得到最值。
10、B
【解析】
试题分析：因为是第二象限角，且，所以．
考点：两角和的正切公式．

二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。
11、
【解析】
因为为锐角，，所以，
.
12、
【解析】
由垂直关系可得数量积等于零，根据数量积坐标运算构造方程求得结果.
【详解】
，解得：
故答案为：
本题考查根据向量垂直关系求解参数值的问题，关键是明确两向量垂直，则向量数量积为零.
13、15
【解析】
根据球的半径，先求得球的体积；根据圆与等边三角形关系，设出的边长为，由面积关系表示出圆锥的体积；设拿出铁球后水面高度为，用表示出水的体积，由即可求得液面高度.
【详解】
因为铁球半径为，所以由球的体积公式可得，
设的边长为，则由面积公式与内切圆关系可得，
解得，则圆锥的高为.
则圆锥的体积为，
设拿出铁球后的水面为，且到的距离为，如下图所示：

则由，可得,
所以拿出铁球后水的体积为，
由，可知，
解得，即将铁球取出后容器中水的深度为15.
故答案为：15.
本题考查了圆锥内切球性质的应用，球的体积公式及圆锥体积公式的求法，属于中档题.
14、
【解析】
由，可得异面直线和所成的角，利用直角三角形的性质可得结果.
【详解】

因为，所以异面直线和所成角，
设正方体的棱长为，
则直角三角形中，，
，故答案为.
本题主要考查异面直线所成的角，属于中档题题.求异面直线所成的角的角，先要利用三角形中位线定理以及平行四边形找到异面直线所成的角，然后利用直角三角形的性质及余弦定理求解，如果利用余弦定理求余弦，因为异面直线所成的角是直角或锐角，所以最后结果一定要取绝对值.
15、2
【解析】
试题分析：设扇形圆心角的弧度数为α，
则扇形面积为S=αr2=α×22=4
解得：α=2
考点：扇形面积公式．
16、464
【解析】
根据等比数列求和公式求解
【详解】
由题意得从2019年到2022年各年产值构成以100 为首项，1.1为公比的等比数列，其和为
本题考查等比数列应用以及等比数列求和公式，考查基本分析求解能力，属基础题

三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17、详见解析
【解析】
将两式作差可得，由、和可得大小关系.
【详解】

当且时，
当时，
当时，
综上所述：当时，；当时，；当时，
本题考查作差法比较大小的问题，关键是能够根据所得的差进行分类讨论；易错点是忽略差等于零，即两式相等的情况.
18、 (1)见证明；(2)
【解析】
(1)本题首先可以通过菱形的相关性质证明出，然后通过菱形所在的平面证明出，最后通过线面垂直的相关性质即可得出结果；
(2)可以将三角形当成三棱锥的底面，将当成三棱锥的高，最后通过三棱锥的体积计算公式即可得出结果．
【详解】
（1）证明：连接，
因为底面为菱形，，所以为正三角形，
因为是的中点，所以，
因为，所以，
因为平面，平面，所以，
又因为，所以平面．
（2）,则，，
所以．
本题考查立体几何的相关性质，主要考查线面垂直的证明以及三棱锥体积的求法，可以通过证明平面外一条直线垂直平面内的两条相交直线来证明线面垂直，考查推理能力，是中档题．
19、（1）见解析；（2）见解析
【解析】
（1）将代入到函数表达式中，得，两边都倒过来，即可证明数列是等比数列；
（2）由（1）得出an的通项公式，然后根据不等式＜在求和时进行放缩法的应用，再根据等比数列求和公式进行计算，即可证出．
【详解】
（1）由函数，在数列中，若，得：，
上式两边都倒过来，可得：＝＝﹣2，
∴﹣1＝﹣2﹣1＝﹣1＝1（﹣1）．∵﹣1＝1．
∴数列是以1为首项，1为公比的等比数列．
（2）由（1），可知：＝1n，∴an＝，n∈N*．
∵当n∈N*时，不等式＜成立．
∴Sn＝a1+a2+…+an＝＝＝﹣•＜．
∴．
本题主要考查数列与函数的综合应用，根据条件推出数列的递推公式，由递推公式推出通项公式与放缩法的应用是解决本题的两个关键点，属于中档题．
20、（1），；（2）乙班的整体水平较高
【解析】
（1）由茎叶图数据以及平均数，中位数的定义求解即可；
（2）分别计算出甲乙两班的方差，得出，所以乙班的整体水平较高.
【详解】
（1）由茎叶图知甲班成绩数据依次为9，12，，20，26
所以中位数为，得；
乙班成绩数据的平均数，得.
（2）乙班整体水平较高.理由：
由题意及（1）得

因为，所以乙班的整体水平较高.
本题主要考查了利用茎叶图计算平均数，中位数以及方差的应用，属于中档题.
21、（1）；（2）.
【解析】
（1）根据题意求出数列的通项公式，可解出，从而得出数列的通项公式；
（2）将数列的通项公式裂项，利用裂项法求出，由得出，然后利用定义法判断出数列的单调性，求出数列的最小项，从而得出实数的取值范围.
【详解】
（1）因为，所以，又因为数列是公差为的等差数列，
所以，即；
（2）因为，
所以.
于是，即为，
整理可得.
设，则.
令，解得，，
所以，，
故数列的最大项的值为，故，
因此，实数的取值范围是.
本题考查数列通项公式的求解，同时也考查了裂项求和法以及数列不等式恒成立求参数，解题时利用参变量分离法转化为新数列的最值问题求解，同时也考查利用定义法判断数列的单调性，考查分析问题和解决问题的能力，属于中等题.