包头市第九中学2025届数学高一第二学期期末学业质量监测模拟试题含解析.doc

包头市第九中学2025届数学高一第二学期期末学业质量监测模拟试题
考生请注意：
1．答题前请将考场、试室号、座位号、考生号、姓名写在试卷密封线内，不得在试卷上作任何标记。
2．第一部分选择题每小题选出答案后，需将答案写在试卷指定的括号内，第二部分非选择题答案写在试卷题目指定的位置上。
3．考生必须保证答题卡的整洁。考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的
1．在等差数列中，若，，则（ ）
A． B．1 C． D．
2．已知是定义在上的奇函数，且当时，，那么（ ）
A． B． C． D．
3．在北京召开的国际数学家大会的会标如图所示，它是由个相同的直角三角形与中间的小正方形拼成的一个大正方形，若直角三角形中较小的锐角为，大正方形的面积是，小正方形的面积是，则( )

A． B． C． D．
4．若实数x，y满足条件，则目标函数z＝2x－y的最小值（ ）
A． B．－1 C．0 D．2
5．在△ABC中，，则A等于（ ）
A．30° B．60° C．120° D．150°
6．如图，向量，，，则向量可以表示为（）

A．
B．
C．
D．
7．直线在轴上的截距为( )
A． B． C． D．
8．已知，向量，则向量( )
A． B． C． D．
9．若是一个圆的方程，则实数的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
10．在等差数列中，若，则（ ）
A． B． C． D．
二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。
11．等比数列满足其公比_________________
12．直线与圆交于两点，若为等边三角形，则______．
13．将函数f（x）＝cos（2x）的图象向左平移个单位长度后，得到函数g（x）的图象，则下列结论中正确的是_____．（填所有正确结论的序号）
①g（x）的最小正周期为4π；
②g（x）在区间[0，]上单调递减；
③g（x）图象的一条对称轴为x；
④g（x）图象的一个对称中心为（，0）．
14．设Sn为数列{an}的前n项和，若Sn＝(－1)nan－，n∈N，则a3＝________．
15．关于函数，下列命题：
①若存在，有时，成立；
②在区间上是单调递增；
③函数的图象关于点成中心对称图象；
④将函数的图象向左平移个单位后将与的图象重合．
其中正确的命题序号__________
16．设，用，表示所有形如的正整数集合，其中且，为集合中的所有元素之和，则的通项公式为_______
三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．已知数列和满足：，，，，且是以q为公比的等比数列．
（1）求证：；
（2）若，试判断是否为等比数列，并说明理由．
（3）求和：．
18．在中，角，，的对边分别为，，，已知向量，，且．
（1）求角的值；
（2）若为锐角三角形，且，求的取值范围．
19．已知，，其中.
（1）求的值；
（2）求的值.
20．已知向量，.
（1若，求实数的值：
（2）若，求实数的值.
21．已知，，与的夹角是
（1）计算：①，②；
（2）当为何值时，与垂直？
参考答案

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的
1、C
【解析】
运用等差数列的性质求得公差d，再运用通项公式解得首项即可．
【详解】
由题意知，所以.
故选C.
本题考查等差数列的通项公式的运用，等差数列的性质，考查运算能力，属于基础题．
2、C
【解析】
试题分析：由题意得，，故，故选C．
考点：分段函数的应用.
3、C
【解析】
根据题意即可算出每个直角三角形的面积，再根据勾股定理和面积关系即可算出三角形的两条直角边．从而算出
【详解】
由题意得直角三角形的面积,设三角形的边长分别为，则有
，所以，所以
，选C.
本题主要考查了三角形的面积公式以及直角三角形中，正弦、余弦的计算，属于基础题．
4、A
【解析】
线性规划问题，首先画出可行域，再令z=0，画出目标函数，上下平移得到z的最值。
【详解】

可行域如图所示，当目标函数平移到A 点时z取最小值，
故选A
线性规划中线性的目标函数问题，首先画出可行域，再令z=0，画出目标函数，上下平移得到z的最值。
5、C
【解析】
试题分析：
考点：余弦定理解三角形
6、C
【解析】
利用平面向量加法和减法的运算，求得的线性表示.
【详解】
依题意，即，故选C.
本小题主要考查平面向量加法和减法的运算，属于基础题.
7、A
【解析】
取计算得到答案.
【详解】
直线在轴上的截距：
取
故答案选A
本题考查了直线的截距，属于简单题.
8、A
【解析】
由向量减法法则计算．
【详解】
．
故选A．
本题考查向量的减法法则，属于基础题．
9、C
【解析】
根据即可求出结果.
【详解】
据题意，得，所以.
本题考查圆的一般方程，属于基础题型.
10、B
【解析】
由等差数列的性质可得，则答案易求.
【详解】
在等差数列中，因为，所以.
所以.故选B.
本题考查等差数列性质的应用.在等差数列中，若，则.特别地，若，则.

二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。
11、
【解析】
观察式子，将两式相除即可得到答案.
【详解】
根据题意，可知，于是.
本题主要考查等比数列公比的相关计算，难度很小.
12、或
【解析】
根据题意可得圆心到直线的距离为，根据点到直线的距离公式列方程解出即可.
【详解】
圆，即，
圆的圆心为，半径为，
∵直线与圆交于两点且为等边三角形，
∴，故圆心到直线的距离为，
即，解得或，故答案为或.
本题主要考查了直线和圆相交的弦长公式，以及点到直线的距离公式，考查运算能力，属于中档题．
13、②④．
【解析】
利用函数的图象的变换规律求得的解析式，再利用三角函数的周期性、单调性、图象的对称性，即可求解，得到答案.
【详解】
由题意，将函数的图象向左平移个单位长度后，
得到的图象，
则函数的最小正周期为，所以①错误的；
当时，，故在区间单调递减，
所以②正确；
当时，，则不是函数的对称轴，所以③错误；
当时，，则是函数的对称中心，所以④正确；
所以结论正确的有②④.
本题主要考查了三角函数的图象变换，以及三角函数的图象与性质的判定，其中解答熟记三角函数的图象变换，以及三角函数的图象与性质，准确判定是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于中档试题.
14、－
【解析】当n＝3时，S3＝a1＋a2＋a3＝－a3－，则a1＋a2＋2a3＝－，当n＝4时，S4＝a1＋a2＋a3＋a4＝a4－，两式相减得a3＝－.
15、①③
【解析】
根据题意，由于，
根据函数周期为,可知①、若存在，有时，成立；正确，
对于②、在区间上是单调递减；因此错误，
对于③、，函数的图象关于点成中心对称图象，成立．
对于④、将函数的图象向左平移个单位后得到，与的图象重合错误，故答案为①③
考点：命题的真假
点评：主要是考查了三角函数的性质的运用，属于基础题．
16、
【解析】
把集合中每个数都表示为2的0到的指数幂相加的形式，并确定，，，，每个数都出现次，于是利用等比数列求和公式计算，可求出数列的通项公式．
【详解】
由题意可知，，，，是0，1，2，，的一个排列，
且集合中共有个数，若把集合中每个数表示为的形式，
则，，，，每个数都出现次，
因此，，
故答案为：．
本题以数列新定义为问题背景，考查等比数列的求和公式，考查学生的理解能力与计算能力，属于中等题．

三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17、（1）证明见解析（2）是等比数列，详见解析（3）答案不唯一，具体见解析
【解析】
（1）由即可证明；
（2）证明即可
（3）由（1）可知，是以为公比的等比数列，
也是以为公比的等比数列，讨论和分组求和即可
【详解】
（1）因为，且是以q为公比的等比数列，
所以，
则，所以.
（2）是等比数列
因为；
所以，又
所以是以5为首项，为公比的等比数列．
（3）由（1）可知，是以为公比的等比数列，
也是以为公比的等比数列，
所以当时，，
当时.
本题考查等比数列的证明，分组求和，考查推理计算及分类讨论思想，是中档题
18、（1）；（2）
【解析】
（1）根据和正弦定理余弦定理求得.(2)先利用正弦定理求出R=1,再把化成，再利用三角函数的图像和性质求解.
【详解】
（1）因为，所以，
由正弦定理化角为边可得，
即，由余弦定理可得，又，所以．
（2）由（1）可得，设的外接圆的半径为，
因为，，所以，
则
，
因为为锐角三角形，所以，即，
所以，所以，
所以，故的取值范围为．
(1)本题主要考查正弦定理余弦定理解三角形，考查三角函数的图像和性质，意在考查学生对这些知识的掌握水平和分析推理能力.(2) 对于复合函数的问题自然是利用复合函数的性质解答，求复合函数的最值，一般从复合函数的定义域入手，结合三角函数的图像一步一步地推出函数的最值.
19、（1） （2）
【解析】
（1）根据题意，由，求解，注意角的范围，可求得值，再根据运用两角和正切公式，即可求解；
（2）由题意，配凑组合角，运用两角差余弦公式，即可求解.
【详解】
（1）∵，∴，
∵，∴，
∴，
，
（2）∵，
∴，，
∵，，
∴，，
∴

.
本题考查三角恒等变换中的由弦求切、两角和正切公式、两角差余弦公式，考查配凑组合角，考查计算能力，属于基础题.
20、（1）；（2）
【解析】
（1）首先求出，的坐标，再利用向量共线定理即可得出．
（2），根据，得到即可得出．
【详解】
解：（1）因为，.
，，
，，
解得．
（2）因为，
，

，
，解得．
本题考查了向量共线定理、向量垂直与数量积的关系，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．
21、（1）①；②；（2）.
【解析】
利用数量积的定义求解出的值；（1）将所求模长平方，从而得到关于模长和数量积的式子，代入求得模长的平方，再开平方得到结果；（2）向量互相垂直得到数量积等于零，由此建立方程，解方程求得结果.
【详解】
由已知得：
（1）①
②
（2）若与垂直，则

即：，解得：
本题考查利用数量积求解向量的模长、利用数量积与向量垂直的关系求解参数的问题.求解向量的模长关键是能够通过平方运算将问题转化为模长和数量积运算的形式，从而使问题得以求解.