山西省太原市小店区山西大学附属中学校2024-2025学年高一下数学期末检测模拟试题含解析.doc

山西省太原市小店区山西大学附属中学校2024-2025学年高一下数学期末检测模拟试题
注意事项:
1．答题前，考生先将自己的姓名、准考证号码填写清楚，将条形码准确粘贴在条形码区域内。
2．答题时请按要求用笔。
3．请按照题号顺序在答题卡各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试卷上答题无效。
4．作图可先使用铅笔画出，确定后必须用黑色字迹的签字笔描黑。
5．保持卡面清洁，不要折暴、不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的
1．不论为何值，直线恒过定点
A． B． C． D．
2．直线（，）过点(-1,-1),则的最小值为 ( )
A．9 B．1 C．4 D．10
3．某小组共有5名学生，其中男生3名，女生2名，现选举2名代表，则恰有1名女生当选的概率为（ ）
A． B． C． D．
4．计算的值等于（ ）
A． B． C． D．
5．若，则称与经过变换生成函数，
已知，，设与经过变换
生成函数，已知，，则的最大值为（ ）
A．1 B．4 C．6 D．9
6．已知等比数列中，，数列是等差数列，且，则（ ）
A．3 B．6 C．7 D．8
7．已知函数的图像如图所示，则和分别是（ ）

A． B． C． D．
8．已知的内角、、的对边分别为、、，且，若，则的外接圆面积为（ ）
A． B． C． D．
9．某校统计了1000名学生的数学期末考试成绩，已知这1000名学生的成绩均在50分到150分之间，其频率分布直方图如图所示，则这1000名学生中成绩在130分以上的人数为（ ）

A．10 B．20 C．40 D．60
10．已知数列满足，且，则（ ）
A． B． C． D．
二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。
11．对于数列，若存在，使得，则删去，依此操作，直到所得到的数列没有相同项，将最后得到的数列称为原数列的“基数列”.若，则数列的“基数列”的项数为__________________．
12．下图是2016年在巴西举行的奥运会上，七位评委为某体操运动员的单项比赛打出的分数的茎叶统计图，去掉一个最高分和一个最低分后，所剩数据的方差为__________．

13．等比数列的首项为，公比为，记，则数列的最大项是第___________项.
14．已知向量，，若，则实数___________.
15．已知等差数列的前项和为，若，则=_______
16．= .
三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．如图，在三棱柱中（底面为正三角形），平面，，，，是边的中点.

（1）证明：平面平面.
（2）求点到平面的距离.
18．已知平面向量，=(2x+3，-x)，(x∈R).
(1)若向量与向量垂直，求；
(2)若与夹角为锐角，求的取值范围.
19．底面半径为3，高为的圆锥有一个内接的正四棱柱（底面是正方形，侧棱与底面垂直的四棱柱）．

（1）设正四棱柱的底面边长为，试将棱柱的高表示成的函数；
（2）当取何值时，此正四棱柱的表面积最大，并求出最大值．
20．如图1，ABCD为菱形，∠ABC＝60°，△PAB是边长为2的等边三角形，点M为AB的中点，将△PAB沿AB边折起，使平面PAB⊥平面ABCD，连接PC、PD，如图2，

（1）证明：AB⊥PC；
（2）求PD与平面ABCD所成角的正弦值
（3）在线段PD上是否存在点N，使得PB∥平面MC？若存在，请找出N点的位置；若不存在，请说明理由
21．如图，在三棱锥中，点，分别是，的中点，，．

求证：⑴平面；
⑵．
参考答案

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的
1、B
【解析】
根据直线方程分离参数，再由直线过定点的条件可得方程组，解方程组进而可得m的值．
【详解】
恒过定点，恒过定点，由解得即直线恒过定点.
本题考查含有参数的直线过定点问题，过定点是解题关键．
2、A
【解析】
将点的坐标代入直线方程：，再利用乘1法求最值
【详解】
将点的坐标代入直线方程：，
，当且仅当时取等号
已知和为定值，求倒数和的最小值，利用乘1法求最值。
3、B
【解析】
记三名男生为，两名女生为，分别列举出基本事件，得出基本事件总数和恰有1名女生当选包含的基本事件个数，即可得解.
【详解】
记三名男生为，两名女生为，
任选2名所有可能情况为，共10种，
恰有一名女生的情况为，共6种，
所以恰有1名女生当选的概率为.
故选：B
此题考查根据古典概型求概率，关键在于准确计算出基本事件总数，和某一事件包含的基本事件个数.
4、C
【解析】
由三角正弦的倍角公式计算即可．
【详解】
原式．故选C
本题属于基础题，考查三角特殊值的正弦公式的计算．
5、B
【解析】
根据变换可生成函数 ，再根据 ，可求出，转化为求的最大值,化简，利用单调性求解即可.
【详解】
由题意可知,
又，
解得,
所以
又，
因为 在上单调递减且为正值，在上单调递减且为正值，所以在上单调递减，所以当时函数有最大值.故选B.
本题主要考查了函数的单调性，利用单调性求函数的最大值，涉及创设新情景及函数式的变形，属于难题
6、D
【解析】
由等比数列的性质求得，再由等差数列的性质可得结果.
【详解】
因为等比数列，且
，解得，
数列是等差数列，
则，
故选：D.
本题主要考查等比数列与等差数列的下标性质，属于基础题. 解等差数列问题要注意应用等差数列的性质（）.
7、C
【解析】
通过识别图像，先求，再求周期，将代入求即可
【详解】
由图可知：，，将代入得，又，，故
故选C
本题考查通过三角函数识图求解解析式，属于基础题
8、D
【解析】
先化简得，再利用正弦定理求出外接圆的半径，即得的外接圆面积.
【详解】
由题得，
所以，
所以，
所以,
所以.
由正弦定理得,
所以的外接圆面积为.
故选D
本题主要考查正弦定理余弦定理解三角形，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.
9、C
【解析】
由频率分布直方图求出这1000名学生中成绩在130分以上的频率，由此能求出这1000名学生中成绩在130分以上的人数．
【详解】
由频率分布直方图得这1000名学生中成绩在130分以上的频率为：
，
则这1000名学生中成绩在130分以上的人数为人．
故选：．
本题考查频数的求法，考查频率分布直方图的性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．
10、B
【解析】
由题意得出，由，得出，再利用累加法得出的值。
【详解】
，，
又，，
，，则，
于是得到，
上述所有等式全部相加得，
因此，，故选：B。
本题考查数列项的计算，考查累加法的应用，解题的关键就是根据题中条件构造出等式
，考查分析问题的能力和计算能力，属于中等题。

二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。
11、10
【解析】
由题意可得,只需计算所有可能取值的个数即可.
【详解】
因为求的可能取值个数,由周期性,故只需考虑的情况即可.
此时.一共19个取值,故只需分析
,
又由,故,
,即不同的取值个数一共为个.即“基数列”分别为和共10项.
故答案为10
本题主要考查余弦函数的周期性.注意到随着的增大的值周期变化,故只需考虑一个周期内的情况.
12、
【解析】
由平均数公式可得，故所求数据的方差是，应填答案。
13、
【解析】
求得，则可将问题转化为求使得最大且使得为偶数的正整数的值，利用二次函数的基本性质求解即可.
【详解】
由等比数列的通项公式可得，
，
则问题转化为求使得最大且使得为偶数的正整数的值，
，当时，取得最大值，此时为偶数.
因此，的最大项是第项.
故答案为：.
本题考查等比数列前项积最值的计算，将问题进行转化是解题的关键，考查分析问题和解决问题的能力，属于中等题.
14、
【解析】
由垂直关系可得数量积等于零，根据数量积坐标运算构造方程求得结果.
【详解】
，解得：
故答案为：
本题考查根据向量垂直关系求解参数值的问题，关键是明确两向量垂直，则向量数量积为零.
15、
【解析】
利用等差数列前项和，可得；利用等差数列的性质可得，然后求解三角函数值即可．
【详解】
等差数列的前项和为，因为，所以；
又，所以．
故答案为：．
本题考查等差数列的前项和公式和等差数列的性质的应用，熟练掌握和若，则是解题的关键．
16、
【解析】
试题分析：由三角函数的诱导公式得.
【考点】三角函数的诱导公式
【名师点睛】本题也可以看作来自于课本的题，直接利用课本公式解题，这告诉我们一定要立足于课本．有许多三角函数的求值问题都是通过三角函数公式把一般的三角函数求值化为特殊角的三角函数求值而得解．

三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17、（1）见解析（2）
【解析】
（1）由，为的中点，可得，又平面，可得，即可证明平面，结合平面，即可证明平面平面；（2）设点到平面的距离为，由等体积法，，即，求解即可.
【详解】
（1）证明：，为的中点，.
又平面，平面，.
又，平面.
又平面，平面平面.
（2）解：由（1）知，平面，平面，
.
，，
，
.
设点到平面的距离为，
由，得，
即，
，即点到平面的距离为.
本题考查了面面垂直的证明，考查了利用等体积法求点到面的距离，考查了学生的空间想象能力，属于中档题.
18、（1）10或2； （2）.
【解析】
(1)由向量与向量垂直，求得或，进而求得的坐标，利用模的计算公式，即可求解；
(2)因为与夹角为锐角，所以，且与不共线，列出不等关系式，即可求解.
【详解】
(1)由题意，平面向量，，
由向量与向量垂直，则，解得或，
当时，，则，所；
当时，，则，所，
(2)因为与夹角为锐角，所以，且与不共线，
即且，
解得，且，
即的取值范围为.
本题主要考查了向量的坐标运算，以及向量的垂直条件，以及向量的数量积的应用，着重考查了推理运算能力，属于基础题.
19、 (1) ;(2) 正四棱柱的底面边长为时，正四棱柱的表面积最大值为48.
【解析】
试题分析：（1）根据比例关系式求出关于的解析式即可；（2）设该正四棱柱的表面积为，得到关系式，根据二次函数的性质求出的最大值即可.
试题解析：（1）根据相似性可得：， 解得：；
（2）设该正四棱柱的表面积为．则有关系式
，
因为，所以当时，，
故当正四棱柱的底面边长为时，正四棱柱的表面积最大值为.
点睛：本题考查了数形结合思想，考查二次函数的性质以及求函数的最值问题，是一道中档题；该题中的难点在于必须注意圆锥轴截面图时，三角形内的矩形的宽为正四棱柱的底面对角线的长度，除了二次函数求最值以外还有基本不等式法、转化法：如求的最小值，那么可以看成是数轴上的点到和的距离之和，易知最小值为2、求导法等.
20、 (1)证明见解析 (2)．(3)存在，PN．
【解析】
（1）只需证明AB⊥面PMC，即可证明AB⊥PC；
（2）由PM⊥面ABCD得∠PDM为PD与平面ABCD所成角，解△PDM即可求得PD与平面ABCD所成角的正弦值．
（3）设DB∩MC＝E，连接NE，可得PB∥NE，．即可．
【详解】
（1）证明：∵△PAB是边长为2的等边三角形，点M为AB的中点，
∴PM⊥AB．
∵ABCD为菱形，∠ABC＝60°．∴CM⊥AB，且PM∩MC＝M，
∴AB⊥面PMC，
∵PC⊂面PMC，∴AB⊥PC；
（2）∵平面PAB⊥平面ABCD，平面PAB∩平面ABCD＝AB，PM⊥AB．
∴PM⊥面ABCD，
∴∠PDM为PD与平面ABCD所成角．
PM，MD，PD
sin∠PMD，
即PD与平面ABCD所成角的正弦值为．
（3）设DB∩MC＝E，连接NE，
则有面PBD∩面MNC＝NE，
∵PB∥平面MNC，∴PB∥NE．
∴．
线段PD上存在点N，使得PB∥平面MNC，且PN．

本题考查了面面垂直的性质定理、线面垂直的判定定理、线面角，利用线面平行的性质定理确定点N的位置是关键，属于中档题．．
21、 (1)见证明；(2)见证明
【解析】
（1）由中位线定理即可说明，由此证明平面；
（2）首先证明平面，由线面垂直的性质即可证明
【详解】
证明：⑴因为在中，点，分别是，的中点
所以
又因平面,平面
从而平面
⑵因为点是的中点，且
所以
又因,平面,平面
,故平面
因为平面
所以
本题考查线面平行、线面垂直的判定以及线面垂直的性质，属于基础题．