2024-2025学年上海市12校联考高一下数学期末统考试题含解析.doc

2024-2025学年上海市12校联考高一下数学期末统考试题
考生须知：
1．全卷分选择题和非选择题两部分，全部在答题纸上作答。选择题必须用2B铅笔填涂；非选择题的答案必须用黑色字迹的钢笔或答字笔写在“答题纸”相应位置上。
2．请用黑色字迹的钢笔或答字笔在“答题纸”上先填写姓名和准考证号。
3．保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，在草稿纸、试题卷上答题无效。

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的
1．设为实数，且，则下列不等式成立的是 （ ）
A． B． C． D．
2．若，A点的坐标为，则B点的坐标为（ ）
A． B． C． D．
3．在正项等比数列中，，则（ ）
A． B． C． D．
4．已知，则的值域为（ ）
A． B． C． D．
5．若样本数据，，…，的方差为2，则数据，，…，的方差为（ ）
A．4 B．8 C．16 D．32
6．函数 的最小正周期是( )
A． B． C． D．
7．直线的倾斜角为（　　）
A． B． C． D．
8．如图是某体育比赛现场上评委为某位选手打出的分数的茎叶图，去掉一个最高分和一个最低分，所剩数据的平均数和方差分别是( )

A．5和1.6 B．85和1.6 C．85和0.4 D．5和0.4
9．已知，，当时，不等式恒成立，则的取值范围是
A． B． C． D．
10．设函数，其中为已知实常数，，则下列命题中错误的是（ ）
A．若，则对任意实数恒成立；
B．若，则函数为奇函数；
C．若，则函数为偶函数；
D．当时，若，则 （）．
二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。
11．《九章算术》中，将底面为长方形且由一条侧棱与底面垂直的四棱锥称之为阳马，将四个面都为直角三角形的三棱锥称之为鳖臑．若三棱锥为鳖臑，平面，，三棱锥的四个顶点都在球的球面上，则球的表面积为__________.
12．_____________.
13．等差数列，的前项和分别为，，且，则______.
14．在中，已知，则____________.
15．已知均为正数，则的最大值为______________.
16．在直角梯形.中，，分别为的中点，以为圆心，为半径的圆交于，点在上运动（如图）.若，其中，则的最大值是________.

三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．已知.
(Ⅰ)求的最小正周期和单调递增区间；
(Ⅱ)求函数在时的值域．
18．近年来,郑州经济快速发展,跻身新一线城市行列,备受全国瞩目．无论是市内的井字形快速交通网,还是辐射全国的米字形高铁路网,郑州的交通优势在同级别的城市内无能出其右．为了调查郑州市民对出行的满意程度,研究人员随机抽取了1000名市民进行调查,并将满意程度以分数的形式统计成如下的频率分布直方图,其中．

（I）求的值；
（Ⅱ）求被调查的市民的满意程度的平均数,众数,中位数；
（Ⅲ）若按照分层抽样从,中随机抽取8人,再从这8人中随机抽取2人,求至少有1人的分数在的概率．
19．已知等差数列的前n项和为，且，．
（1）求；
（2）设数列的前n项和为，求证：．
20．已知数列的首项.
（1）证明: 数列是等比数列；
（2）数列的前项和.
21．已知函数
（1）求函数的最大值，以及取到最大值时所对应的的集合；
（2）在上恒成立，求实数的取值范围．
参考答案

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的
1、C
【解析】
本题首先可根据判断出项错误，然后令可判断出项和项错误，即可得出结果。
【详解】
因为，所以，故错；
当时，，故错；
当时，，故错，
故选C。
本题考查不等式的基本性质，主要考查通过不等式性质与比较法来比较实数的大小，可借助取特殊值的方法来进行判断，是简单题。
2、A
【解析】
根据向量坐标的求解公式可求.
【详解】
设，因为A点的坐标为，所以.
所以，即.
故选：A.
本题主要考查平面向量坐标的运算，侧重考查数学运算的核心素养.
3、D
【解析】
结合对数的运算，得到，即可求解.
【详解】
由题意，在正项等比数列中，，
则.
故选：D.
本题主要考查了等比数列的性质，以及对数的运算求值，其中解答中熟记等比数列的性质，合理应用对数的运算求解是解答的关键，着重考查了推理与计算能力，属于基础题.
4、C
【解析】
由已知条件，先求出函数的周期，由于，即可求出值域.
【详解】
因为，所以，
又因为，所以当时，；
当时，；当时，，
所以的值域为.
故选：C.
本题考查三角函数的值域，利用了正弦函数的周期性.
5、B
【解析】
根据，则即可求解.
【详解】
因为样本数据，，…，的方差为2，

所以，，…，的方差为，故选B.
本题主要考查了方差的概念及求法，属于容易题.
6、A
【解析】
作出函数的图象可得出该函数的最小正周期。
【详解】
作出函数的图象如下图所示，

由图象可知，函数的最小正周期为，故选：A。
本题考查三角函数周期的求解，一般而言，三角函数最小正周期的求解方法有如下几种：
（1）定义法：即；
（2）公式法：当时，函数或的最小正周期为，函数最小正周期为；
（3）图象法。
7、C
【解析】
由直线方程求出直线的斜率，即得倾斜角的正切值，从而求出倾斜角．
【详解】
设直线的倾斜角为，
由，得：，
故中直线的斜率，
∵，
∴；
故选C．
本题考查了直线的倾斜角与斜率的问题，是基础题．
8、B
【解析】
去掉最低分分，最高分分，利用平均数的计算公式求得，利用方差公式求得.
【详解】
去掉最低分分，最高分分，得到数据，
该组数据的平均数，
.
本题考查从茎叶图中提取信息，并对数据进行加工和处理，考查基本的运算求解和读图的能力.
9、B
【解析】
根据为定值，那么乘以后值不变，由基本不等式可消去x，y后，对得到的不等式因式分解，即可解得m的值．
【详解】
因为，，，
所以
.因为不等式恒成立，所以，整理得，解得，即.
本题考查基本不等式，由为定值和已知不等式相乘来构造基本不等式，最后含有根式的因式分解也是解题关键．
10、D
【解析】
利用两角和的余弦公式化简表达式.
对于A选项，将化简得到的表达式代入上述表达式，可判断出A选项为真命题.
对于B选项，将化简得到的表达式代入上述表达式，可判断出为奇函数，由此判断出B选项为真命题.
对于C选项，将化简得到的表达式代入上述表达式，可判断出为偶函数，由此判断出C选项为真命题.
对于D选项，根据、，求得的零点的表达式，由此求得 （），进而判断出D选项为假命题.
【详解】
.
不妨设 ．为已知实常数.
若，则得 ；若，则得．
于是当时，对任意实数恒成立，即命题A是真命题；
当时，，它为奇函数，即命题B是真命题；
当时，，它为偶函数，即命题C是真命题；
当时，令，则
，
上述方程中，若，则，这与矛盾，所以．
将该方程的两边同除以得
，令 （），
则 ，解得 （）．
不妨取 ， （且），
则，即 （），所以命题D是假命题．
故选：D
本小题主要考查两角和的余弦公式，考查三角函数的奇偶性，考查三角函数零点有关问题的求解，考查同角三角函数的基本关系式，属于中档题.

二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。
11、
【解析】
由题意得该四面体的四个面都为直角三角形，且平面，可得，．因为为直角三角形，可得，所以，因此，结合几何关系，可求得外接球的半径，，代入公式即可求球的表面积．
【详解】
本题主要考查空间几何体．
由题意得该四面体的四个面都为直角三角形，且平面，
，，，．
因为为直角三角形，
因此或（舍）．
所以只可能是，
此时，因此，
所以平面所在小圆的半径即为，
又因为，
所以外接球的半径，
所以球的表面积为．
本题考查三棱锥的外接球问题，难点在于确定BC的长，即得到，再结合几何性质即可求解，考查学生空间想象能力，逻辑推理能力，计算能力，属中档题．
12、
【解析】
,故填.
13、
【解析】
取，代入计算得到答案.
【详解】
，当时
故答案为
本题考查了前项和和通项的关系，取是解题的关键.
14、84
【解析】
根据余弦定理以及同角公式求得，再根据面积公式可得答案.
【详解】
由余弦定理可得，
又，所以，
所以.
故答案为：84
本题考查了余弦定理，考查了同角公式，考查了三角形的面积公式，属于基础题.
15、
【解析】
根据分子和分母的特点把变形为，运用重要不等式，可以求出的最大值.
【详解】
（当且仅当
且时取等号）,
（当且仅当且时取等号），因此的最大值为.
本题考查了重要不等式，把变形为是解题的关键.
16、
【解析】
建立直角坐标系，设，根据，表示出，结合三角函数相关知识即可求得最大值.
【详解】
建立如图所示的平面直角坐标系：

，分别为的中点，，
以为圆心，为半径的圆交于，点在上运动，
设，
，
即，
，所以，两式相加：，
即，
要取得最大值，即当时，

故答案为：
此题考查平面向量线性运算，处理平面几何相关问题，涉及三角换元，转化为求解三角函数的最值问题.

三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17、 (Ⅰ) ； (Ⅱ).
【解析】
(Ⅰ)化简得＝,利用周期的公式和正弦型函数的性质，即可求解；
(Ⅱ)由 ，可得，得到∈，即可求得函数的值域.
【详解】
(Ⅰ)由题意，化简得＝,
所以函数的最小正周期为,
又由，解得
所以的单调递增区间为.
(Ⅱ)由 ，可得，所以∈，
所以的值域为．
本题主要考查了三角函数的的图象与性质的应用，其中解答中熟记三角函数的图象与性质，准确计算是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题.
18、 (Ⅰ) (Ⅱ) 平均数74.9,众数75.14,中位数75；(Ш)
【解析】
（I）根据频率之和为列方程，结合求出的值.（II）利用各组中点值乘以频率然后相加，求得平均数.利用中位数是面积之和为的地方，列式求得中位数.以频率分布直方图最高一组的中点作为中位数.（III）先计算出从,中分别抽取人和人，再利用列举法和古典概型概率计算公式，计算出所求的概率.
【详解】
解：(I)依题意得,所以,
又,所以．
(Ⅱ)平均数为
中位数为
众数为
(Ш)依题意,知分数在的市民抽取了2人,记为,分数在的市民抽取了6人,记为1,2,3,4,5,6,
所以从这8人中随机抽取2人所有的情况为：
,
共28种,
其中满足条件的为,共13种,设“至少有1人的分数在”的事件为,则
本小题主要考查求解频率分布直方图上的未知数，考查利用频率分布直方图估计平均数、中位数和众数的方法，考查利用古典概型求概率.属于中档题.
19、（1）；（2）见解析
【解析】
（1）设公差为，由，可得解得，，从而可得结果；（2） 由（1），，则有，则，利用裂项相消法求解即可.
【详解】
（1）设公差为d，由题解得，．
所以．
（2） 由（1），，则有．
则．
所以
．
本题主要考查等差数列的通项与求和公式，以及裂项相消法求数列的和，属于中档题. 裂项相消法是最难把握的求和方法之一，其原因是有时很难找到裂项的方向，突破这一难点的方法是根据式子的结构特点，常见的裂项技巧：(1)；（2） ； （3）；（4）；此外，需注意裂项之后相消的过程中容易出现丢项或多项的问题，导致计算结果错误.
20、（1）证明见解析；（2）.
【解析】
试题分析：（1）对两边取倒数得，化简得，所以数列是等比数列；（2）由（1）是等比数列.，求得，利用错位相减法和分组求和法求得前项和.
试题解析：
（1），又
，数列是以为首项，为公比的等比数列.
（2）由（1）知，，即，设， ①
则， ② 由①-②得
，.
又.数列的前项和.
考点：配凑法求通项，错位相减法.
21、，，;（2）
【解析】
（1）
．

此时，
（2），，
即，
．
，，
且，
，即的取值范围是．