2025年长春市第十一中学高一下数学期末综合测试试题含解析.doc

2025年长春市第十一中学高一下数学期末综合测试试题
考生请注意：
1．答题前请将考场、试室号、座位号、考生号、姓名写在试卷密封线内，不得在试卷上作任何标记。
2．第一部分选择题每小题选出答案后，需将答案写在试卷指定的括号内，第二部分非选择题答案写在试卷题目指定的位置上。
3．考生必须保证答题卡的整洁。考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的
1．设变量满足约束条件：，则的最小值（ ）
A． B． C． D．
2．在x轴上的截距为2且倾斜角为135°的直线方程为（ ）.
A．ｙ＝－ｘ＋２ B．ｙ＝－ｘ－２ C．ｙ＝ｘ＋２ D．ｙ＝ｘ－２
3．设的三个内角成等差数列，其外接圆半径为2，且有，则三角形的面积为（ ）
A． B． C．或 D．或
4．阅读如图所示的程序，若运该程序输出的值为100，则的面的条件应该是（ ）

A． B． C． D．
5．在四边形中，，且·＝0，则四边形是（ ）
A．菱形 B．矩形 C．直角梯形 D．等腰梯形
6．等差数列中，则（ ）
A．8 B．6 C．4 D．3
7．若经过两点、的直线的倾斜角为，则等于（ ）
A． B． C． D．
8．过点的圆的切线方程是（ ）
A． B．或
C．或 D．或
9．已知集合A={x︱x>－2}且，则集合B可以是（ ）
A．{x︱x2>4 } B．{x︱ }
C．{y︱} D．
10．已知向量，且，则与的夹角为（ ）
A． B． C． D．
二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。
11．在三棱锥中，已知，，则三棱锥内切球的表面积为______.
12．某中学为了了解全校学生的阅读情况，在全校采用随机抽样的方法抽取一个样本进行问卷调查，并将他们在一个月内去图书馆的次数进行了统计，将学生去图书馆的次数分为5组：制作了如图所示的频率分布表，则抽样总人数为_______．

13．在中，角所对的边分别为，，则____
14．平面⊥平面,,，，直线，则直线与的位置关系是___．
15．已知函数，，若直线与函数的图象有四个不同的交点，则实数k的取值范围是_____.
16．设数列的前n项和为，关于数列，有下列三个命题：
（1）若既是等差数列又是等比数列，则；
（2）若，则是等差数列：
（3）若，则是等比数列
这些命题中，真命题的序号是__________________________.
三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．某企业生产一种产品，质量测试分为：指标不小于为一等品；指标不小于且小于为二等品；指标小于为三等品。其中每件一等品可盈利元，每件二等品可盈利元，每件三等品亏损元。现对学徒甲和正式工人乙生产的产品各件的检测结果统计如下：
测试指标

甲

乙

根据上表统计得到甲、乙生产产品等级的频率分别估计为他们生产产品等级的概率。求：
（1）乙生产一件产品，盈利不小于元的概率；
（2）若甲、乙一天生产产品分别为件和件，估计甲、乙两人一天共为企业创收多少元？
（3）从甲测试指标为与乙测试指标为共件产品中选取件，求两件产品的测试指标差的绝对值大于的概率.
18．年月日是第二十七届“世界水日”，月日是第三十二届“中国水周”．我国纪念年“世界水日”和“中国水周”活动的宣传主题为“坚持节水优先，强化水资源管理”．某中学课题小组抽取、两个小区各户家庭，记录他们月份的用水量（单位：）如下表：
小区家庭月用水量

小区家庭月用水量

（1）根据两组数据完成下面的茎叶图，从茎叶图看，哪个小区居民节水意识更好？

（2）从用水量不少于的家庭中，、两个小区各随机抽取一户，求小区家庭的用水量低于小区的概率．
19．设二次函数f(x)＝ax2＋bx.
(1)若1≤f(－1)≤2,2≤f(1)≤4，求f(－2)的取值范围；
(2)当b＝1时，若对任意x∈[0,1]，－1≤f(x)≤1恒成立，求实数a的取值范围．
20．在三棱柱中，平面ABC，，，D，E分别为AB，中点.

（Ⅰ）求证：平面；
（Ⅱ）求证：四边形为平行四边形；
（Ⅲ）求证：平面平面.
21．已知圆的圆心在线段上，圆经过点，且与轴相切.
（1）求圆的方程；
（2）若直线与圆交于，两点，当最小时，求直线的方程及的最小值.
参考答案

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的
1、D
【解析】
如图作出可行域，知可行域的顶点是A（－2，2）、B()及C(－2，－2)，
平移，当经过A时，
的最小值为-8，故选D.

2、A
【解析】
直线的斜率为tan135°=-1，由点斜式求得直线的方程为 y=-x+b,将截据y=0,x=2代入方程，解得b=2,所以，可得y=-x+2，故答案为A
3、C
【解析】
的三个内角成等差数列，可得角A、C的关系，将已知条件中角C消去，利用三角函数和差角公式展开即可求出角A的值，再由三角形面积公式即可求得三角形面积.
【详解】
的三个内角成等差数列，则，解得，
所以，
所以，
整理得，则或，
因为，解得或.
①当时，；
②当 时，，故选C.
本题考查了三角形内角和定理、等差数列性质、三角函数和差角公式、三角函数辅助角公式，综合性较强，属于中档题；解题中主要是通过消元构造关于角A的三角方程，其中利用三角函数和差角公式和辅助角公式对式子进行化解是解题的关键.
4、D
【解析】
根据输出值和代码，可得输出的最高项的值，进而结合当型循环结构的特征得判断框内容.
【详解】
根据循环体，可知

因为输出的值为100，
所以由等差数列求和公式可知求和到19停止，
结合当型循环结构特征，可知满足条件时返回执行循环体，
因而判断框内的内容为，
故选：D.
本题考查了当型循环结构的代码应用，根据输出值选择条件，属于基础题.
5、A
【解析】
由可得四边形为平行四边形，由·＝0得四边形的对角线垂直，故可得四边形为菱形．
【详解】
∵，
∴与平行且相等，
∴四边形为平行四边形．
又，
∴，
即平行四边形的对角线互相垂直，
∴平行四边形为菱形．
故选A．
本题考查向量相等和向量数量积的的应用，解题的关键是正确理解有关的概念，属于基础题．
6、D
【解析】
设等差数列的公差为，根据题意，求解，进而可求得，即可得到答案.
【详解】
由题意，设等差数列的公差为，
则，即，
又由，故选D.
本题主要考查了等差数列的通项公式的应用，其中解答中设等差数列的公差为，利用等差数列的通项公式化简求解是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题.
7、D
【解析】
由直线的倾斜角得知直线的斜率为，再利用斜率公式可求出的值.
【详解】
由于直线的倾斜角为，则该直线的斜率为，
由斜率公式得，解得，故选D.
本题考查利用斜率公式求参数，同时也涉及了直线的倾斜角与斜率之间的关系，考查计算能力，属于基础题.
8、D
【解析】
先由题意得到圆的圆心坐标，与半径，设所求直线方程为，根据直线与圆相切，结合点到直线距离公式，即可求出结果.
【详解】
因为圆的圆心为，半径为1，
由题意，易知所求切线斜率存在，
设过点与圆相切的直线方程为，
即，
所以有，整理得，解得，或；
因此，所求直线方程分别为：或，
整理得或.
故选D
本题主要考查求过圆外一点的切线方程，根据直线与圆相切，结合点到直线距离公式即可求解，属于常考题型.
9、D
【解析】
A、B={x|x＞2或x＜-2}， 
∵集合A={x|x＞-2}， 
∴A∪B={x|x≠-2}≠A，不合题意； 
B、B={x|x≥-2}， 
∵集合A={x|x＞-2}， 
∴A∪B={x|x≥-2}=B，不合题意； 
C、B={y|y≥-2}， 
∵集合A={x|x＞-2}， 
∴A∪B={x|x≥-2}=B，不合题意； 
D、若B={-1，0，1，2，3}， 
∵集合A={x|x＞-2}， 
∴A∪B={x|x＞-2}=A，与题意相符， 
故选D．
10、D
【解析】
直接由平面向量的数量积公式，即可得到本题答案.
【详解】
设与的夹角为，由，，，所以.
故选：D
本题主要考查平面向量的数量积公式.

二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。
11、
【解析】
先计算出三棱锥的体积，利用等体积法求出三棱锥的内切球的半径，再求出内切球的表面积。
【详解】
取CD中点为E，并连接AE、BE
在中，由等腰三角形的性质可得,同理
则在中点A到边BE的距离即为点A到平面BCD的距离h,
在中，

本题综合考查了三棱锥的体积、三棱锥内切圆的求法、球的表面积，属于中档题.
12、20
【解析】
总体人数占的概率是1，也可以理解成每个人在整体占的比重一样，所以三组的频率为：，共有14人，即14人占了整体的0.7，那么整体共有人。
【详解】
前三组，即三组的频率为：，
，
解得：
此题考查概率，通过部分占总体的概率即可计算出总体的样本值，属于简单题目。
13、
【解析】
利用正弦定理将边角关系式中的边都化成角，再结合两角和差公式进行整理，从而得到.
【详解】

由正弦定理可得：
即：

本题正确结果：
本题考查李用正弦定理进行边角关系式的化简问题，属于常规题.
14、
【解析】
利用面面垂直的性质定理得到平面，又直线，利用线面垂直性质定理得.
【详解】
在长方体中，设平面为平面，平面为平面，
直线为直线，由于，，由面面垂直的性质定理可得：平面，
因为，由线面垂直的性质定理，可得.

空间中点、线、面的位置关系问题，一般是利用线面平行或垂直的判定定理或性质定理进行求解.
15、 (0,1)
【解析】
画出函数f(x)在以及直线y=k的图象,数形结合可得k的取值范围.
【详解】
解:画出函数y=cosx+2|cosx|=,
以及直线y=k的图象,如图所示;

由f(x)的图象与直线y=k有且仅有四个不同的交点,可得0<k<1.
故答案为:(0,1).
本题主要考查利用分段函数及三角函数的性质求参数，数形结合是解题的关键.
16、（1）、（2）、（3）
【解析】
利用等差数列和等比数列的定义，以及等差数列和等比数列的前项和形式，逐一判断即可.
【详解】
既是等差数列又是等比数列的数列是非零常数列，故（1）正确.
等差数列的前项和是二次函数形式，且不含常数，故（2）正确.
等比数列的前项和是常数加上常数乘以的形式，故（3）正确.
故答案为：（1），（2），（3）
本题主要考查等差数列和等比数列的定义，同时考查了等差数列和等比数列的前项和，属于简单题.

三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17、 (1) ；(2) 元；(3)
【解析】
（1）设事件表示“乙生产一件产品，盈利不小于25元”，即该产品的测试指标不小于80，由此能求出乙生产一件产品，盈利不小于25元的概率．
（2）由表格知甲生产的一等品、二等品、三等品比例为即，所以甲一天生产30件产品，其中一等品有3件，二等品有21件，三等品有6件；由表格知乙生产的一等品、二等品、三等品比例为，所以乙一天生产20件产品，其中一等品有6件，二等品有12件，三等品有2件，由此能求出甲、乙两人一天共为企业创收1195元．
（3）设甲测试指标为，的7件产品用，，，，，，表示，乙测试指标为，的7件产品用，表示，利用列举法能求出两件产品的测试指标差的绝对值大于10的概率．
【详解】
（1）设事件表示“乙生产一件产品，盈利不小于元”，即该产品的测试指标不小于，则；
（2）甲一天生产件产品，其中一等品有件；二等品有件；
三等品有件；
甲一天生产件产品，其中一等品有件；二等品有件；
三等品有
，即甲、乙两人一天共为企业创收元；
（3）设甲测试指标为的件产品用，，，,表示，乙测试指标为的件产品用，表示，用（，且）表示从件产品中选取件产品的一个结果.
不同结果为，，，，，，，，
，，，，，，，，，
，，，，，共有36个不同结果.
设事件表示“选取的两件产品的测试指标差的绝对值大于”，即从甲、乙生产的产品中各取件产品，不同的结果为，，，，，，，，，，，，，，共有个不同结果.
则.
本题主要考查古典概型概率的求法，即按照古典概型的概率计算公式分别求出基本事件总数以及有利事件数即可算出概率，以及列举法和随机抽样的应用．
18、（1）见解析（2）
【解析】
（1）根据表格中的数据绘制出茎叶图，并结合茎叶图中数据的分布可比较出两个小区居民节水意识；
（2）列举出所有的基本事件，确定所有的基本事件数，然后确定事件“小区家庭的用水量低于小区”所包含的基本事件数，利用古典概型的概率公式可计算出事件“小区家庭的用水量低于小区”的概率.
【详解】
（1）绘制如下茎叶图：

由以上茎叶图可以看出，小区月用水量有的叶集中在茎、上，而小区月用水量有的叶集中在茎、上，由此可看出小区居民节水意识更好；
（2）从用水量不少于的家庭中，、两个小区各随机抽取一户的结果：
、、、、、、、，共个基本事件，
小区家庭的用水量低于小区的的结果：、、，共个基本事件．
所以，小区家庭的用水量低于小区的概率是．
本题考查茎叶图的绘制与应用，以及利用古典概型计算事件的概率，考查收集数据与处理数据的能力，考查计算能力，属于中等题.
19、（1）5≤f(－2)≤10；（2）[－2,0).
【解析】
(1)用和表示 ，再根据不等式的性质求得.
(2)对进行参变分离，根据 和求得.
【详解】
解 (1)方法一　⇒
∵f(－2)＝4a－2b＝3f(－1)＋f(1)，且1≤f(－1)≤2,2≤f(1)≤4，∴5≤f(－2)≤10.
方法二　设f(－2)＝mf(－1)＋nf(1)，
即4a－2b＝m(a－b)＋n(a＋b)＝(m＋n)a－(m－n)b，比较两边系数：⇒
∴f(－2)＝3f(－1)＋f(1)，
下同方法一．
(2)当x∈[0,1]时，－1≤f(x)≤1，即－1≤ax2＋x≤1，
即当x∈[0,1]时，ax2＋x＋1≥0且ax2＋x－1≤0恒成立；
当x＝0时，显然，ax2＋x＋1≥0且ax2＋x－1≤0均成立；
当x∈(0,1]时，若ax2＋x＋1≥0恒成立，则a≥－－＝－(＋)2＋，
而－(＋)2＋在x∈(0,1]上的最大值为－2，∴a≥－2；
当x∈(0,1]时，ax2＋x－1≤0恒成立，则a≤－＝(－)2－，
而(－)2－在x∈(0,1]上的最小值为0，∴a≤0，
∴－2≤a≤0，而a≠0，因此所求a的取值范围为[－2,0)．
本题考查不等式的性质和参变分离的恒成立问题，属于难度题.
20、（Ⅰ）见解析（Ⅱ）见解析（Ⅲ）见解析
【解析】
（Ⅰ）只需证明，，即可得平面；
（Ⅱ）可得四边形为平行四边形，，，即可得四边形为平行四边形；
（Ⅲ）易得平面，即可得平面平面.
【详解】
（Ⅰ）∵平面，∴，
又，，而，
∴平面.
（Ⅱ）∵、分别为、的中点，
∴，，即四边形为平行四边形，
∴，，
∴四边形为平行四边形.
（Ⅲ）∵，为中点，
∴，
又∵，且，
∴平面，而平面，
∴平面平面.
本题考查了空间点、线、面位置关系，属于基础题.
21、（1）（2）的方程为，最小为
【解析】
（1）设圆的方程为，由题意可得，求解即可得到圆的方程；（2）过定点，当直线与直线垂直时，直线被圆截得的弦最小，求解即可.
【详解】
解：（1）设圆的方程为，
所以，解得
所以圆的方程为.
（2）直线的方程可化为点斜式，所以过定点．
又点在圆内，当直线与直线垂直时，直线被圆截得的弦最小．
因为，所以的斜率，
所以的方程为，即，
因为，，所以．
求圆的弦长的常用方法
几何法：设圆的半径为r，弦心距为d，弦长为l，则；
②代数方法：运用韦达定理及弦长公式：＝＝.