2024-2025学年河北省博野中学数学高一第二学期期末学业质量监测模拟试题含解析.doc

2024-2025学年河北省博野中学数学高一第二学期期末学业质量监测模拟试题
请考生注意：
1．请用2B铅笔将选择题答案涂填在答题纸相应位置上，请用0．5毫米及以上黑色字迹的钢笔或签字笔将主观题的答案写在答题纸相应的答题区内。写在试题卷、草稿纸上均无效。
2．答题前，认真阅读答题纸上的《注意事项》，按规定答题。

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的
1．如图，在等腰梯形中，，于点，则（ ）

A． B．
C． D．
2．对数列，若区间满足下列条件：
①；②，
则称为区间套．下列选项中，可以构成区间套的数列是（ ）
A．；
B．
C．
D．
3．的斜二测直观图如图所示，则原的面积为（ ）

A． B．1 C． D．2
4．设甲、乙两地的距离为a(a>0)，小王骑自行车以匀速从甲地到乙地用了20分钟，在乙地休息10分钟后，他又以匀速从乙地返回到甲地用了30分钟，则小王从出发到返回原地所经过的路程y和其所用的时间x的函数图象为(　　)
A． B．
C． D．
5．将图像向左平移个单位，所得的函数为（ ）
A． B．
C． D．
6．若变量满足约束条件，则的最大值是( )
A．0 B．2 C．5 D．6
7．在中，，是边上的一点，，若为锐角，的面积为20，则（ ）
A． B． C． D．
8．在中，，，，则的面积是（ ）．
A． B． C．或 D．或
9．已知数列前项和为，且满足，（为非零常数），则下列结论中:
①数列必为等比数列；②时，；③；④存在，对任意的正整数，都有
正确的个数有（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
10．给出下面四个命题：①；
②；③；④.其中正确的个数为( )
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。
11．在中，角，，所对的边分别为，，，若，则为______三角形．
12．已知不等式的解集为或，则实数__________.
13．已知等比数列中，若，，则_____．
14．据监测，在海滨某城市附近的海面有一台风，台风中心位于城市的南偏东30°方向，距离城市的海面处，并以的速度向北偏西60°方向移动（如图示）.如果台风侵袭范围为圆形区域，半径，台风移动的方向与速度不变，那么该城市受台风侵袭的时长为_______小时.

15．已知向量，，若，则__________．
16．已知一圆锥的侧面展开图为半圆,且面积为S,则圆锥的底面积是_______

三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．已知数列满足,,,.
(1)证明:数列是等比数列;
(2)求数列的通项公式;
(3)证明:.
18．已知函数的周期为，且图像上一个最低点为.
（1）求的解析式
（2）若函数在上至少含20个零点时，求b的最小值.
19．已知函数，，数列满足，，.
（1）求证；
（2）求数列的通项公式；
（3）若，求中的最大项.
20．已知， ，且与的夹角为.
（1）求在上的投影；
（2）求.
21．已知点是函数的图象上一点,等比数列的前n项和为,数列的首项为c,且前n项和满足:当时,都有.
(1)求c的值;
(2)求证:为等差数列,并求出.
(3)若数列前n项和为,是否存在实数m,使得对于任意的都有,若存在,求出m的取值范围,若不存在,说明理由.
参考答案

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的
1、A
【解析】
根据等腰三角形的性质可得是的中点，由平面向量的加法运算法则结合向量平行的性质可得结果.
【详解】

因为，
所以是的中点，
可得
，故选.
本题主要考查向量的几何运算以及向量平行的性质，属于简单题．向量的运算有两种方法，一是几何运算往往结合平面几何知识和三角函数知识解答，运算法则是：（１）平行四边形法则（平行四边形的对角线分别是两向量的和与差）；（２）三角形法则（两箭头间向量是差，箭头与箭尾间向量是和）；二是坐标运算：建立坐标系转化为解析几何问题解答（求最值与范围问题，往往利用坐标运算比较简单）
2、C
【解析】
由题意，得为递增数列，为递减数列，且当时，；而与
与均为递减数列，所以排除A,B,D，故选C.
考点：新定义题目.
3、D
【解析】
根据直观图可计算其面积为，原的面积为，由得结论.
【详解】
由题意可得，
所以由，即.
故选：D.
本题考查了斜二侧画直观图，三角形的面积公式，需要注意的是与原图与直观图的面积之比为，属于基础题.
4、D
【解析】
试题分析：根据题意，甲、乙两地的距离为a(a>0)，小王骑自行车以匀速从甲地到乙地用了20min，在乙地休息10min后，他又以匀速从乙地返回到甲地用了30min，那么可知先是匀速运动，图像为直线，然后再休息，路程不变，那么可知时间持续10min，那么最后还是同样的匀速运动，直线的斜率不变可知选D.
考点：函数图像
点评：主要是考查了路程与时间的函数图像的运用，属于基础题．
5、A
【解析】
根据三角函数的图象的平移变换得到所求．
【详解】
由已知将函数y＝cos2x的图象向左平移个单位，所得的函数为y＝cos2（x）＝cos（2x）；
故选：A．
本题考查了三角函数的图象的平移；明确平移规律是解答的关键．
6、C
【解析】
由题意作出不等式组所表示的平面区域，将化为，相当于直线的纵截距，由几何意义可得结果．
【详解】
由题意作出其平面区域，

令，化为，相当于直线的纵截距，
由图可知，，解得，，
则的最大值是，故选C．
本题主要考查线性规划中利用可行域求目标函数的最值，属简单题.求目标函数最值的一般步骤是“一画、二移、三求”：（1）作出可行域（一定要注意是实线还是虚线）；（2）找到目标函数对应的最优解对应点（在可行域内平移变形后的目标函数，最先通过或最后通过的顶点就是最优解）；（3）将最优解坐标代入目标函数求出最值.
7、C
【解析】
先利用面积公式计算出，计算出，运用余弦定理计算出，利用正弦定理计算出，在中运用正弦定理求解出．
【详解】
解：由的面积公式可知，，
可得，为锐角，可得
在中，，即有，
由可得，
由可知．
故选．
本题考查正弦定理与余弦定理在解三角形中的应用，考查方程思想，属于中档题．
8、C
【解析】
，
∴，或．
（）当时，．
∴．
（）当时，．
∴．
故选．
9、C
【解析】
由数列的递推式和等比数列的定义可得数列为首项为，公比为的等比数列，结合等比数列的通项公式和求和公式，即可判断．
【详解】
，可得，即，
时，，，
相减可得，即有数列为首项为，公比为的等比数列，故①正确；
由①可得时，，故②错误；
，
，则，即③正确；
由①可得，等价为，
可得，故④正确．
故选：．
本题考查数列的递推式的运用，以及等比数列的定义和通项公式、求和公式的运用，考查化简整理的运算能力，属于中档题．
10、B
【解析】
①；②；③；
④,所以正确的为①②，选B.

二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。
11、等腰或直角
【解析】
根据正弦定理化简得到，得到，故 或
，得到答案.
【详解】

利用正弦定理得到：，化简得到
即
故 或
故答案为等腰或直角
本题考查了正弦定理和三角恒等变换，漏解是容易发生的错误.
12、6
【解析】
由题意可知，3为方程的两根，利用韦达定理即可求出a的值.
【详解】
由题意可知，3为方程的两根，则，即.
故答案为：6
本题主要考查一元二次不等式的解，意在考查学生对该知识的理解掌握水平，属于基础题.
13、4
【解析】
根据等比数列的等积求解即可.
【详解】
因为,故.
又,故.
故答案为：4
本题主要考查了等比数列等积性的运用,属于基础题.
14、1
【解析】
设台风移动M处的时间为th，则|PM|＝20t，利用余弦定理求得AM，而该城市受台风侵袭等价于AM≤60，解此不等式可得．
【详解】
如图：设台风移动M处的时间为th，则|PM|＝20t，
依题意可得，
在三角形APM中，由余弦定理可得：

依题意该城市受台风侵袭等价于AM≤60，即AM2≤602，
化简得：，
所以该城市受台风侵袭的时间为6﹣1＝1小时．
故答案为：1．

本题考查了余弦定理的应用，考查了数学运算能力.
15、1
【解析】
由,得.即.
解得.
16、
【解析】
由已知中圆锥的侧面展开图为半圆且面积为S，我们易确定圆锥的母线长l与底面半径R之间的关系，进而求出底面面积即可得到结论．
【详解】
如图：设圆锥的母线长为l，底面半径为R

若圆锥的侧面展开图为半圆
则2πR＝πl，
即l＝2R，
又∵圆锥的侧面展开图为半圆且面积为S，
则圆锥的底面面积是．
故答案为．
本题考查的知识点是圆锥的表面积，根据圆锥的侧面展开图为半圆，确定圆锥的母线长与底面的关系是解答本题的关键．

三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17、 (1)证明见解析;(2);(3)证明见解析.
【解析】
（1）由，得，即可得到本题答案；（2）由，得，即可得到本题答案；（3）当时，满足题意；若n是偶数，由，可得；当n是奇数,且时，由，可得，综上，即可得到本题答案.
【详解】
(1)因为，所以，
因为，所以，
所以数列是等比数列；
(2)因为，所以，
所以，
又因为，所以，所以是以为首项，
为公比的等比数列，所以，
所以；
(3)①当时，；
②若n是偶数，
则，
所以当n是偶数时，

；
③当n是奇数，且时，

；
综上所述，当时，.
本题主要考查利用构造法证明等比数列并求通项公式，以及数列与不等式的综合问题.
18、（1）（2）
【解析】
（1）由周期得，利用最低点坐标可得，得解析式；
（2）直接求出零点，根据零点排列得出有20个零点时，的最小值．
【详解】
（1）由最低点为，得，
由，得，
由点在图像上得，
即，，
即，又，
，.
（2）由（1）得，周期，
在长为的闭区间内有2个或3个零点，
由，得，
或，
所以或..
又，则当时恰有20个零点，
此时b的最小值为.
本题考查求三角函数解析式，考查函数的零点个数问题．掌握三角函数的性质如周期性质，最值是解本题的基础．本题零点问题可直接求出零点，然后由零点分析得出结论．
19、（1）见解析；（2）；（3）
【解析】
（1）将化简后可得要求证的递推关系.
（2）将（1）中的递推关系化简后得到，从而可求的通项公式.
（3）结合（2）的结果化简，换元后利用二次函数的性质可求最大值.
【详解】
（1）证明： 由，，
，得 .
又，∴.
（2）∵，即，
∴ 是公比为 的等比数列.
又 ，∴.
（3）由（2）知，
因为，所以，
所以，
令 ，则，又因为
且，所以
所以中的最大项为.
数列最大项、最小项的求法，一般是利用数列的单调性去讨论，但是也可以根据通项的特点，利用函数的单调性来讨论，要注意函数的单调性与数列的单调性的区别与联系.
20、 (1)-2.
(2) .
【解析】
分析：(1)根据题中所给的条件，利用向量的数量积的定义式，求得，之后应用投影公式，在上的投影为，求得结果；
(2)应用向量模的平方等于向量的平方，之后应用公式求得结果.
详解：（1）在上的投影为
（2）因为， ，且与的夹角为
所以

所以
点睛：该题考查的是有关向量的投影以及向量模的计算问题，在解题的过程中，涉及到的知识点有向量的数量积的定义式，投影公式，向量模的平方和向量的平方是相等的，灵活运用公式求得结果.
21、 (1)1;(2)证明见解析,;(3)存在,.
【解析】
(1)根据题意可得，再根据等比数列的性质即可求出c
(2)根据题意可得，然后求出和
(3)利用裂项求和法求出前n项和为，然后就可得出m的范围
【详解】
(1)因为所以，即
即前n项和为,
所以，

因为是等比数列
所以有，即
解得
(2)
且

数列构成一个首项为1，公差为1的等差数列
所以 ， 即
所以

(3)

因为对于任意的都有
所以
常见的数列求和方法有公式法即等差等比数列的求和公式、分组求和法、裂项相消法、错位相减法.