2024-2025学年河北省唐山市路北区唐山一中高一下数学期末质量检测试题含解析.doc

2024-2025学年河北省唐山市路北区唐山一中高一下数学期末质量检测试题
请考生注意：
1．请用2B铅笔将选择题答案涂填在答题纸相应位置上，请用0．5毫米及以上黑色字迹的钢笔或签字笔将主观题的答案写在答题纸相应的答题区内。写在试题卷、草稿纸上均无效。
2．答题前，认真阅读答题纸上的《注意事项》，按规定答题。

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的
1．如图，测量河对岸的塔高AB时可以选与塔底B在同一水平面内的两个测点C与D，测得，，CD＝30，并在点C测得塔顶A的仰角为60°，则塔高AB等于

A． B． C． D．
2．某公司的班车在7:30，8:00，8:30发车，小明在7:50至8:30之间到达发车站乘坐班车，且到达发车站的时刻是随机的，则他等车时间不超过10分钟的概率是
A． B． C． D．
3．设等比数列的前项和为，且，则（ ）
A．255 B．375 C．250 D．200
4．如图所示，是半圆的直径，垂直于半圆所在的平面，点是圆周上不同于的任意一点，分别为的中点，则下列结论正确的是( 　)

A． B．平面平面
C．与所成的角为45° D．平面
5．化简=（ ）
A． B．
C． D．
6．函数的最小正周期是（　）
A． B． C． D．
7．下列结论正确的是（ ）
A． B．若，则
C．当且时， D．
8．若平面平面，直线，直线，则关于直线、的位置关系的说法正确的是( )
A． B．、异面 C． D．、没有公共点
9．在三棱锥中，面，则三棱锥的外接球表面积是（ ）
A． B． C． D．
10．在等差数列中，若，且它的前项和有最大值，则使成立的正整数的最大值是（　　）
A．15 B．16 C．17 D．14
二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。
11．在中，，过直角顶点作射线交线段于点，则的概率为______．
12．已知平面向量，，满足：，且，则的最小值为____.
13．在三棱锥中，平面，是边长为2的正三角形，，则三棱锥的外接球的表面积为__________．
14．函数的最小正周期为__________．
15．在平面直角坐标系中，点在第二象限，，，则向量的坐标为________.
16．已知,,,是球的球面上的四点，，，两两垂直，,且三棱锥的体积为，则球的表面积为______．
三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．已知数列的递推公式为．
（1）求证：数列为等比数列；
（2）求数列的通项公式．
18．已知函数的最小正周期为，且该函数图象上的最低点的纵坐标为．
（1）求函数的解析式；
（2）求函数的单调递增区间及对称轴方程．
19．在物理中，简谐运动中单摆对平衡位置的位移与时间的关系，交流电与时间的关系都是形如的函数.已知电流（单位：）随时间（单位：）变化的函数关系是：，
（1）求电流变化的周期、频率、振幅及其初相；
（2）当，，，，（单位：）时，求电流.
20．已知.
（1）若三点共线，求的关系；
（2）若,求点的坐标.
21．已知数列满足,,,.
(1)证明:数列是等比数列;
(2)求数列的通项公式;
(3)证明:.
参考答案

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的
1、D
【解析】
在 中，
由正弦定理得，解得
在 中，
2、B
【解析】
试题分析：由题意，这是几何概型问题，班车每30分钟发出一辆，到达发车站的时间总长度为40，等车不超过10分钟的时间长度为20，故所求概率为，选B.
【考点】几何概型
【名师点睛】这是全国卷首次考查几何概型,求解几何概型问题的关键是确定“测度”,常见的测度有长度、面积、体积等.
3、A
【解析】
由等比数列的性质，仍是等比数列，先由是等比数列求出，再由是等比数列，可得.
【详解】
由题得，成等比数列，则有，，解得，同理有，，解得.
故选：A
本题考查等比数列前n项和的性质，这道题也可以先由求出数列的首项和公比q，再由前n项和公式直接得。
4、B
【解析】
对每一个选项逐一分析判断得解.
【详解】
A.，分别为，的中点，
，又，与所成的角为，故不正确；
，，不成立，故A不正确．
B. 是的直径，点是圆周上不同于，的任意一点，
，
垂直所在的平面，所在的平面，
，
又，平面，
又平面，平面平面，故B正确；
C. 是的直径，点是圆周上不同于，的任意一点，
，又、、、共面，与不垂直，
平面不成立，故不正确；
，分别为，的中点，
，又，与所成的角为，故不正确；
D. 是的直径，点是圆周上不同于，的任意一点，
，又、、、共面，与不垂直，
平面不成立，故D不正确.
故选B.
本题主要考查空间位置关系的证明，考查异面直线所成的角的求法，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平，属于基础题.
5、D
【解析】
根据向量的加法与减法的运算法则，即可求解，得到答案．
【详解】
由题意，根据向量的运算法则，
可得=++==，故选D．
本题主要考查了向量的加法与减法的运算法则，其中解答中熟记向量的加法与减法的运算法则，准确化简、运算是解答的关键，着重考查了运算与求解能力，属于基础题．
6、C
【解析】
根据三角函数的周期公式，进行计算，即可求解．
【详解】
由角函数的周期公式，可得函数的周期，又由绝对值的周期减半，即为最小正周期为，故选C．
本题主要考查了三角函数的周期的计算，其中解答中熟记余弦函数的图象与性质是解答的关键，着重考查了计算与求解能力，属于基础题．
7、D
【解析】
利用不等式的性质进行分析，对错误的命题可以举反例说明．
【详解】
当时，A不正确；，则，B错误；当时，，，C错误；由不等式的性质正确．
故选：D.
本题考查不等式的性质，掌握不等式性质是解题关键．可通过反例说明命题错误．
8、D
【解析】
根据条件知：关于直线、的位置关系异面或者平行，故没有公共点.
【详解】
若平面平面，直线，直线，则关于直线、的位置关系是异面或者平行，所以、没有公共点.
故答案选D
本题考查了直线，平面的位置关系，意在考查学生的空间想象能力.
9、D
【解析】
首先计算BD长为2，判断三角形BCD为直角三角形，将三棱锥还原为长方体，根据体对角线等于直径，计算得到答案.
【详解】
三棱锥中，面
中：
在中：
即ABCD四点都在对应长方体上：体对角线为AD

答案选D
本题考查了三棱锥的外接球表面积，将三棱锥放在对应的长方体里面是解题的关键.
10、C
【解析】
由题意可得，，且，由等差数列的性质和求和公式可得结论．
【详解】
∵等差数列的前项和有最大值，
∴等差数列为递减数列，
又，
∴，，
∴，
又，，
∴成立的正整数的最大值是17，
故选C．
本题考查等差数列的性质，涉及等差数列的求和公式，属中档题．

二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。
11、
【解析】
设，求出的长，由几何概型概率公式计算．
【详解】
设，由题意得，，∴的概率是．
故答案为：．
本题考查几何概型，考查长度型几何概型．掌握几何概型概率公式是解题关键．
12、-1
【解析】
，，，
由经过向量运算得，知点在以为圆心，1为半径的圆上，这样，只要最小，就可化简．
【详解】
如图，，则，设是中点，则，
∵，
∴，即，
，记，则点在以为圆心，1为半径的圆上，记，
，注意到，因此当与反向时，最小，
∴．
∴最小值为-1．
故答案为-1．

本题考查平面向量的数量积，解题关键是由已知得出点轨迹(让表示的有向线段的起点都是原点)是圆，然后分析出只有最小时，才可能最小．从而得到解题方法．
13、
【解析】
设三棱锥的外接球半径为，利用正弦定理求出的外接圆半径，再利用公式可计算出外接球半径，最后利用球体的表面积公式可计算出结果.
【详解】
由正弦定理可得，的外接圆直径为，，
设三棱锥的外接球半径为，平面，，
因此，三棱锥的外接球表面积为，故答案为.
本题考查多面体的外接球，考查球体表面积的计算，在求解直棱柱后直棱锥的外接球，若底面外接圆半径为，高为，可利用公式得出外接球的半径，解题时要熟悉这些结论的应用.
14、
【解析】
先将转化为余弦的二倍角公式,再用最小正周期公式求解.
【详解】
解：

最小正周期为.
故答案为
本题考查二倍角的余弦公式,和最小正周期公式.
15、
【解析】
由三角函数的定义求出点的坐标，然后求向量的坐标.
【详解】
设点，由三角函数的定义有
，得，
，得，
所以，
所以
故答案为：
本题考查三角函数的定义的应用和已知点的坐标求向量坐标，属于基础题.
16、
【解析】
根据三棱锥的体积可求三棱锥的侧棱长，补体后可求三棱锥外接球的直径，从而可计算外接球的表面积．
【详解】
三棱锥的体积为，故，
因为，，两两垂直，，故可把三棱锥补成正方体，
该正方体的体对角线为三棱锥外接球的直径，
又体对角线的长度为，故球的表面积为.
填.
几何体的外接球、内切球问题，关键是球心位置的确定，必要时需把球的半径放置在可解的几何图形中．如果球心的位置不易确定，则可以把该几何体补成规则的几何体，便于球心位置和球的半径的确定．

三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17、（1）证明见解析；（2）.
【解析】
（1）直接利用数列的递推关系式证明结论；
（2）由（1）可求出数列的通项公式，进而得到的通项公式．
【详解】
（1）∵数列{an}的首项a1＝2，且，
∴an+1+＝3（an+）， 即
∴是首项为，公比为3的等比数列；
（2）由（1）可得a1+＝，∴，
∴数列的通项公式.
本题考查等比数列的证明考查了等比数列的通项公式，属于中档题.
18、（1）；（2）增区间是，对称轴为
【解析】
（1）由周期求得ω，再由函数图象上的最低点的纵坐标为﹣3求得A，则函数解析式可求；（2）直接利用复合函数的单调性求函数f（x）的单调递增区间，再由2x求解x可得函数f（x）的对称轴方程．
【详解】
（1）因为的最小正周期为
因为，，，∴．
又函数图象上的最低点纵坐标为，且
∴
∴．
（2）由，
可得
可得单调递增区间.
由，得．
所以函数的对称轴方程为．
本题考查函数解析式的求法，考查y＝Asin（ωx+φ）型函数的性质，是基础题．
19、（1）周期：，频率：,振幅：，初相：；（2）当时，；当时，；当时，；当时，；当时，.
【解析】
（1）按照函数的周期、频率、振幅和初相的求法求解即可；
（2）将，，，，分别代入函数关系中计算即可.
【详解】
（1）周期：，频率：,振幅：，初相：；
（2）当时，，
当时，，
当时，，
当时，，
当时，.
本题考查函数模型在物理学中的应用，考查对基础知识的掌握，考查计算能力.
20、（1）a+b=2；（2）(5,-3).
【解析】
（1）求出和的坐标，然后根据两向量共线的等价条件可得所求关系式．（2）求出的坐标，根据得到关于的方程组，解方程组可得所求点的坐标．
【详解】
由题意知，，．
（1）∵三点共线，
∴∥，
∴，
∴．
(2)∵，
∴，
∴，解得，
∴点的坐标为．
本题考查向量共线的应用，解题的关键是把共线表示为向量的坐标的形式，进而转化为数的运算的问题，属于基础题．
21、 (1)证明见解析;(2);(3)证明见解析.
【解析】
（1）由，得，即可得到本题答案；（2）由，得，即可得到本题答案；（3）当时，满足题意；若n是偶数，由，可得；当n是奇数,且时，由，可得，综上，即可得到本题答案.
【详解】
(1)因为，所以，
因为，所以，
所以数列是等比数列；
(2)因为，所以，
所以，
又因为，所以，所以是以为首项，
为公比的等比数列，所以，
所以；
(3)①当时，；
②若n是偶数，
则，
所以当n是偶数时，

；
③当n是奇数，且时，

；
综上所述，当时，.
本题主要考查利用构造法证明等比数列并求通项公式，以及数列与不等式的综合问题.