吉林省“五地六校”合作体2024-2025学年高一下数学期末综合测试试题含解析.doc

吉林省“五地六校”合作体2024-2025学年高一下数学期末综合测试试题
注意事项：
1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号、考场号和座位号填写在试题卷和答题卡上。用2B铅笔将试卷类型（B）填涂在答题卡相应位置上。将条形码粘贴在答题卡右上角"条形码粘贴处"。
2．作答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案。答案不能答在试题卷上。
3．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液。不按以上要求作答无效。
4．考生必须保证答题卡的整洁。考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的
1．设向量 ， ，则是 的
A．充分不必要条件 B．充分必要条件
C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件
2．已知角的终边经过点，则（ ）
A． B． C． D．
3．已知圆和圆只有一条公切线，若，且，则的最小值为（ ）
A．2 B．4 C．8 D．9
4．下列命题中错误的是（ ）
A．若，则 B．若，则
C．若，则 D．若， 则
5．下列选项正确的是（ ）
A．若,则
B．若,则
C．若,则
D．若,则
6．已知等差数列的前n项和为，则
A．140 B．70 C．154 D．77
7．已知平面向量，，且，则实数的值为（ ）
A． B． C． D．
8．在一段时间内，某种商品的价格（元）和销售量（件）之间的一组数据如下表：
价格（元）
4
6
8
10
12
销售量（件）
3
5
8
9
10
若与呈线性相关关系，且解得回归直线的斜率，则的值为（ ）
A．0.2 B．-0.7 C．-0.2 D．0.7
9．下列命题中正确的是（ ）
A．相等的角终边必相同 B．终边相同的角必相等
C．终边落在第一象限的角必是锐角 D．不相等的角其终边必不相同
10．在投资生产产品时，每生产需要资金200万，需场地，可获得300万；投资生产产品时，每生产需要资金300万，需场地，可获得200万，现某单位可使用资金1400万，场地，则投资这两种产品，最大可获利( )
A．1350万 B．1475万 C．1800万 D．2100万
二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。
11．已知圆是圆上的一条动直径，点是直线上的动点，则的最小值是____.
12．在中，、、所对的边依次为、、，且，
若用含、、，且不含、、的式子表示，则_______ .
13．用数学归纳法证明时，从“到”，左边需增乘的代数式是___________.
14．在数列中，按此规律，是该数列的第 ______项
15．函数且的图象恒过定点A，若点A在直线上（其中m，n＞0），则的最小值等于__________.
16．若点到直线的距离是，则实数=______．
三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．如图，在平面四边形中，，,,,．

（1）求的长；
（2）求的长．
18．已知公差不为零的等差数列的前项和为，，且成等比数列.
(1)求数列的通项公式；
(2)若，数列的前项和为，求.
19．已知等差数列的前n项和为，且，．
（1）求；
（2）设数列的前n项和为，求证：．
20．已知函数，，最小值为.
（1）求当时，求的值；
（2）求的表达式；
（3）当时，要使关于t的方程有一个实数根，求实数k的取值范围.
21．某厂家拟在2020年举行促销活动，经调查测算，某产品的年销售量（即该厂的年产量）万件与年促销费用万元，满足（为常数），如果不搞促销活动，则该产品的年销售量只能是1万件，已知2020年生产该产品的固定投入为8万元，每生产1万件，该产品需要再投入16万元，厂家将每件产品的销售价格定为每件产品年平均成本的1.5倍（产品成本包括固定投入和再投入两部分资金）.
（1）将2020年该产品的利润（万元）表示为年促销费用（万元）的函数；
（2）该厂家2020年的促销费用投入多少万元时，厂家的利润最大？
参考答案

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的
1、C
【解析】
利用向量共线的性质求得，由充分条件与必要条件的定义可得结论.
【详解】
因为向量 ， ，
所以，
即可以得到，不能推出，
是“”的必要不充分条件，故选C.
本题主要考查向量共线的性质、充分条件与必要条件的定义，属于中档题. 利用向量的位置关系求参数是出题的热点，主要命题方式有两个：（1）两向量平行，利用解答；（2）两向量垂直，利用解答.
2、C
【解析】
首先根据题意求出，再根据正弦函数的定义即可求出的值.
【详解】
，.
故选：C
本题主要考查正弦函数的定义，属于简单题.
3、D
【解析】
由题意可得两圆相内切，根据两圆的标准方程求出圆心和半径，可得，再利用“1”的代换，使用基本不等式求得的最小值．
【详解】
解：由题意可得两圆相内切，两圆的标准方程分别为，，
圆心分别为，，半径分别为2和1，故有，，
，
当且仅当时，等号成立，
的最小值为1．
故选：．
本题考查两圆的位置关系，两圆相内切的性质，圆的标准方程的特征，基本不等式的应用，得到是解题的关键和难点．
4、D
【解析】
根据不等式的性质、对数函数和指数函数的单调性，对选项逐一分析，由此得出正确选项.
【详解】
对于A选项，根据不等式传递性可知，A选项命题正确.对于B选项，由于在定义域上为增函数，故B选项正确.对于C选项，由于在定义域上为增函数，故C选项正确.对于D选项，当时，命题错误.故选D.
本小题主要考查不等式的性质，考查指数函数和对数函数的单调性，属于基础题.
5、B
【解析】
通过逐一判断ABCD选项，得到答案.
【详解】
对于A选项，若，代入，，故A错误；
对于C选项，等价于，故C错误；对于D选项，若，则，故D错误，所以答案选B.
本题主要考查不等式的相关性质，难度不大.
6、D
【解析】
利用等差数列的前n项和公式，及等差数列的性质，即可求出结果.
【详解】
等差数列的前n项和为，
.
故选D.
本题考查等差数列的前n项和的求法和等差数列的性质，属于基础题.
7、B
【解析】
先求出的坐标，再由向量共线，列出方程，即可得出结果.
【详解】
因为向量，，所以，
又，所以，解得.
故选B
本题主要考查由向量共线求参数的问题，熟记向量的坐标运算即可，属于常考题型.
8、C
【解析】
由题意利用线性回归方程的性质计算可得的值.
【详解】
由于，，
由于线性回归方程过样本中心点，故：，
据此可得：.
故选C.
本题主要考查线性回归方程的性质及其应用，属于中等题.
9、A
【解析】
根据终边相同的角的的概念可得正确的选项.
【详解】
终边相同的角满足，故B、D错误，
终边落在第一象限的角可能是负角，故C错误，
相等的角的终边必定相同，故A正确.
故选：A.
本题考查终边相同的角，注意终边相同时，有，本题属于基础题.
10、B
【解析】
设生产产品x百吨，生产产品百吨，利润为百万元，先分析题意，找出相关量之间的不等关系，即满足的约束条件，由约束条件画出可行域；要求应作怎样的组合投资，可使获利最大，即求可行域中的最优解，在线性规划的解答题中建议使用直线平移法求出最优解，即将目标函数看成是一条直线，分析目标函数与直线截距的关系，进而求出最优解．
【详解】
设生产产品百吨，生产产品百吨，利润为百万元
则约束条件为：，作出不等式组所表示的平面区域：

目标函数为.
由解得.
使目标函数为化为
要使得最大，即需要直线在轴的截距最大即可.
由图可知当直线过点时截距最大.
此时
应作生产产品3.25百吨，生产产品2.5百吨的组合投资，可使获利最大．
故选：B．
在解决线性规划的应用题时，其步骤为：①分析题目中相关量的关系，列出不等式组，即约束条件⇒②由约束条件画出可行域⇒③分析目标函数Z与直线截距之间的关系⇒④使用平移直线法求出最优解⇒⑤还原到现实问题中．属于中档题.

二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。
11、
【解析】
由题意得，＝＝﹣＝，即可求的最小值．
【详解】
圆，得，则圆心C（1，2），半径R＝，
如图可得：＝＝﹣＝，
点是直线上，所以＝（）2＝，
∴的最小值是＝.
故答案为： ．

本题考查了向量的数量积、转化和数形结合的思想，点到直线的距离，属于中档题．
12、
【解析】
利用诱导公式，二倍角公式，余弦定理化简即可得解.
【详解】

.
故答案为.
本题主要考查了诱导公式，二倍角的三角函数公式，余弦定理，属于中档题.
13、.
【解析】
从到时左边需增乘的代数式是，化简即可得出．
【详解】
假设时命题成立，则，
当时，
从到时左边需增乘的代数式是．
故答案为：.
本题考查数学归纳法的应用，考查推理能力与计算能力，属于中档题．
14、
【解析】
分别求出，，，结果构成等比数列，进而推断数列是首相为2，公比为2的等比数列，进而求得数列的通项公式，再由求得答案．
【详解】
，，，依此类推可得，
，
，即.
，解得.
故答案为：7.
本题考查利用数列的递推关系求数列的通项公式，求解的关键在于推断是等比数列，再用累加法求得数列的通项公式，考查逻辑推理能力和运算求解能力.
15、1
【解析】
由题意可得定点，，把要求的式子化为，利用基本不等式求得结果．
【详解】
解：且
令解得，则
即函数过定点，又点在直线上，，
则，当且仅当 时，
等号成立，
故答案为：1．
本题考查基本不等式的应用，函数图象过定点问题，把要求的式子化为，是解题的关键，属于基础题．
16、或1
【解析】
由点到直线的距离公式进行解答，即可求出实数a的值．
【详解】
点（1，a）到直线x﹣y+1＝0的距离是，
∴；
即|a﹣2|＝3，
解得a＝﹣1，或a＝1，
∴实数a的值为﹣1或1．
故答案为：﹣1或1．
本题考查了点到直线的距离公式的应用问题，解题时应熟记点到直线的距离公式，是基础题．

三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17、 (1)；(2)
【解析】
（1）在中，先得到再利用正弦定理得到.
（2）在中，计算，由余弦定理得到，再用余弦定理得到.
【详解】
（1）在中，,则,又
由正弦定理，得
（2）在中，,则，又
即是等腰三角形，得.
由余弦定理，得
所以.
在中,
由余弦定理，得
所以.
本题考查了正弦定理和余弦定理，意在考查学生利用正余弦定理解决问题的能力.
18、 (1)；（2）．
【解析】
试题分析：（1）利用等差等比基本公式，计算数列的通项公式；（2）利用裂项相消法求和.
试题解析：
(1)设公差为，因为，，成等数列，
所以，即，
解得，或(舍去)，
所以.
(2)由(1)知，
所以，
，
所以.
19、（1）；（2）见解析
【解析】
（1）设公差为，由，可得解得，，从而可得结果；（2） 由（1），，则有，则，利用裂项相消法求解即可.
【详解】
（1）设公差为d，由题解得，．
所以．
（2） 由（1），，则有．
则．
所以
．
本题主要考查等差数列的通项与求和公式，以及裂项相消法求数列的和，属于中档题. 裂项相消法是最难把握的求和方法之一，其原因是有时很难找到裂项的方向，突破这一难点的方法是根据式子的结构特点，常见的裂项技巧：(1)；（2） ； （3）；（4）；此外，需注意裂项之后相消的过程中容易出现丢项或多项的问题，导致计算结果错误.
20、（1）（2）（3）
【解析】
（1）直接代入计算得解；（2）先求出，再对t分三种情况讨论，结合二次函数求出的表达式；（3）令，即有一个实数根，利用一次函数性质分析得解.
【详解】
（1）当时，，所以.
（2）因为，所以，所以
（）
当时，则当时，
当时，则当时，
当时，则当时，
故
（3）当时，，令即
欲使有一个实根，则只需或
解得或.
所以的范围：.
本题主要考查三角函数的范围的计算，考查二次函数的最值的求法和方程的零点问题，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力，属于中档题.
21、（1）；（2）厂家2020年的促销费用投入3万元时,厂家的利润最大,为21万元.
【解析】
（1）由不搞促销活动，则该产品的年销售量只能是1万件，可求k的值，再求出每件产品销售价格的代数式，则利润（万元）表示为年促销费用（万元）的函数可求.
（2）由（1）得，再根据均值不等式可解.注意取等号.
【详解】
（1）由题意知,当时,
所以,
每件产品的销售价格为元.
所以2020年的利润；
(2)由(1)知,,
当且仅当,即时取等号,
该厂家2020年的促销费用投入3万元时,厂家的利润最大,为21万元.
考查均值不等式的应用以及给定值求函数的参数及解析式.题目较易，考查的均值不等式，要注意取等号.