2024-2025学年浙江省杭州市名校协作体高一数学第二学期期末调研试题含解析.doc

2024-2025学年浙江省杭州市名校协作体高一数学第二学期期末调研试题
注意事项：
1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号、考场号和座位号填写在试题卷和答题卡上。用2B铅笔将试卷类型（B）填涂在答题卡相应位置上。将条形码粘贴在答题卡右上角"条形码粘贴处"。
2．作答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案。答案不能答在试题卷上。
3．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液。不按以上要求作答无效。
4．考生必须保证答题卡的整洁。考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的
1．设甲、乙两地的距离为a(a>0)，小王骑自行车以匀速从甲地到乙地用了20分钟，在乙地休息10分钟后，他又以匀速从乙地返回到甲地用了30分钟，则小王从出发到返回原地所经过的路程y和其所用的时间x的函数图象为(　　)
A． B．
C． D．
2．变量满足，目标函数，则的最小值是（ ）
A． B．0 C．1 D．-1
3．中国数学家刘微在《九章算术注》中提出“割圆”之说：“割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割，则与圆周合体，而无所失矣.”意思是“圆内接正多边形的边数无限增加的时候，它的周长的极限是圆的周长，它的面积的极限是圆的面积”.如图，若在圆内任取一点，则此点取自其内接正六边形的边界及其内部的概率为（ ）

A． B． C． D．
4．用区间 表示不超过的最大整数，如，设，若方程 有且只有3个实数根，则正实数 的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
5．已知，函数，存在常数，使得为偶函数，则可能的值为（ ）
A． B． C． D．
6．已知在中，，且，则的值为（ ）
A． B． C． D．
7．已知数列的前项和为，且，，则（ ）
A．200 B．210 C．400 D．410
8．已知为锐角，角的终边过点，则（　）
A． B． C． D．
9．已知为等差数列，其前项和为，若，，则公差等于（　　）
A． B． C． D．
10．已知等比数列{an}中，a3•a13＝20，a6＝4，则a10的值是（　　）
A．16 B．14 C．6 D．5
二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。
11．已知，，，则的最小值为__________.
12．已知数列是等差数列，记数列的前项和为，若，则________.
13．已知正方体中,，分别为,的中点,那么异面直线与所成角的余弦值为______.
14．平面四边形如图所示，其中为锐角三角形，，，则_______.

15．已知正数、满足，则的最小值是________．
16．在等比数列中，，，则__________．
三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．已知圆，直线平分圆.
（1）求直线的方程；
（2）设，圆的圆心是点，对圆上任意一点，在直线上是否存在与点不重合的点，使是常数，若存在，求出点坐标；若不存在，说明理由.
18．在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知.
（1）求角B的大小；
（2）若，，求的面积．
19．已知向量，．
（1）若，求的值．
（2）记，在中，满足，求函数的取值范围．
20．已知为锐角，.
（1）求的值；
（2）求的值．
21．已知圆的方程为．
（1）求过点且与圆相切的直线的方程；
（2）直线过点，且与圆交于两点，若，求直线的方程；
（3）是圆上一动点，，若点为的中点，求动点的轨迹方程．
参考答案

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的
1、D
【解析】
试题分析：根据题意，甲、乙两地的距离为a(a>0)，小王骑自行车以匀速从甲地到乙地用了20min，在乙地休息10min后，他又以匀速从乙地返回到甲地用了30min，那么可知先是匀速运动，图像为直线，然后再休息，路程不变，那么可知时间持续10min，那么最后还是同样的匀速运动，直线的斜率不变可知选D.
考点：函数图像
点评：主要是考查了路程与时间的函数图像的运用，属于基础题．
2、D
【解析】
先画出满足条件的平面区域，将变形为：，平移直线得直线过点时，取得最小值，求出即可．
【详解】
解：画出满足条件的平面区域，如图示：

由得：，
平移直线，显然直线过点时，最小，
由，解得：
∴最小值，
故选：D．
本题考查了简单的线性规划问题，考查数形结合思想，是一道基础题．
3、C
【解析】
设出圆的半径,表示出圆的面积和圆内接正六边形的面积,即可由几何概型概率计算公式得解.
【详解】
设圆的半径为
则圆的面积为
圆内接正六边形的面积为
由几何概型概率可知,在圆内任取一点,则此点取自其内接正六边形的边界及其内部的概率为
故选:C
本题考查了圆的面积及圆内接正六边形的面积求法,几何概型概率的计算公式,属于基础题.
4、A
【解析】
由方程的根与函数交点的个数问题，结合数形结合的数学思想方法，作图观察y＝{x}的图象与y＝﹣kx+1的图象有且只有3个交点时k的取值范围，即可得解.
【详解】
方程{x}+kx﹣1＝0有且只有3个实数根等价于y＝{x}的图象与y＝﹣kx+1的图象
有且只有3个交点，
当0≤x＜1时，{x}＝x，当1≤x＜2时，
{x}＝x﹣1，当2≤x＜3时，{x}＝x﹣2，
当3≤x＜4时，{x}＝x﹣3，以此类推
如上图所示，实数k的取值范围为：
k，
即实数k的取值范围为：（，]，
故选A．

本题考查了方程的根与函数交点的个数问题，数形结合的数学思想方法，属中档题．
5、C
【解析】
直接利用三角函数性质的应用和函数的奇偶性的应用求出结果.
【详解】
解：由函数，存在常数，使得为偶函数，
则，
由于函数为偶函数，
故，
所以，
当时，.
故选：C.
本题考查三角函数的性质的应用，属于基础题.
6、C
【解析】
先确定D位置，根据向量的三角形法则，将用，表示出来得到答案.
【详解】

故答案选C
本题考查了向量的加减，没有注意向量方向是容易犯的错误.
7、B
【解析】
首先利用递推关系式求出数列的通项公式，进一步利用等差数列的前项和公式的应用求出结果．
【详解】
由题，，又因为
所以当时，可解的
当时，，与相减得
当为奇数时，数列是以为首相，为公差的等差数列，
当为偶数时，数列是以为首相，为公差的等差数列，
所以当为正整数时，，
则
故选B.
本题考查的知识点有数列通项公式的求法及应用，等差数列的前项和公式的应用，主要考查学生的运算能力和转化能力，属于一般题．
8、B
【解析】
由题意利用任意角的三角函数的定义求得和，再利用同角三角函数的基本关系求得的值，再利用两角差的余弦公式求得的值．
【详解】
角的终边过点，
，

又为锐角，

由，可得

故选B．
本题考查任意角的三角函数的定义，考查两角差的余弦，是基础题．
9、C
【解析】
由题意可得，又，
所以,故选C.
本题考查两个常见变形公式和.
10、D
【解析】
用等比数列的性质求解．
【详解】
∵是等比数列，∴， ∴．
故选D．
本题考查等比数列的性质，灵活运用等比数列的性质可以很快速地求解等比数列的问题．
在等比数列中，正整数满足，则，特别地若，则．

二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。
11、25
【解析】
变形后，利用基本不等式可得.
【详解】

当且仅当，即， 时取等号.
故答案为：25
本题考查了利用基本不等式求最值，属于基础题.
12、1
【解析】
由等差数列的求和公式和性质可得，代入已知式子可得．
【详解】
由等差数列的求和公式和性质可得：＝，且，∴.
故答案为：1．
本题考查了等差数列的求和公式及性质的应用，属于基础题．
13、
【解析】
异面直线所成角，一般平移到同一个平面求解．
【详解】
连接DF，
异面直线与所成角等于

异面直线所成角，一般平移到同一个平面求解．不能平移时通常考虑建系，利用向量解决问题．
14、．
【解析】
由二倍角公式求出，然后用余弦定理求得，再由余弦定理求．
【详解】
由题意，
在中，，
在中，，即，
解得，或．
若，则，，不合题意，舍去，
所以．
故答案为：．
本题考查余弦的二倍角公式，考查余弦定理．掌握余弦定理是解题关键．
15、.
【解析】
利用等式得，将代数式与代数式相乘，利用基本不等式求出的最小值，由此可得出的最小值.
【详解】
，所以，
由基本不等式可得，
当且仅当时，等号成立，因此，的最小值是，故答案为：.
本题考查利用基本不等式求最值，解题时要对代数式进行合理配凑，考查分析问题和解决问题的能力，属于中等题.
16、8
【解析】
可先计算出公比，从而利用求得结果.
【详解】
因为，所以，所以，则.
本题主要考查等比数列基本量的相关计算，难度很小.

三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17、（1）直线的方程为.（2）见解析
【解析】
(1)结合直线l平分圆，则可知该直线过圆心，代入圆心坐标，计算参数，即可．（2）结合A,M坐标，计算直线AM方程，采取假设法，假设存在该点，计算，对应项成比例，计算参数t，即可．
【详解】
（1）圆的标准方程为
因为直线平分圆，
所以，得，
从而可得直线的方程为.
（2）点，，直线方程为，
假设存在点 ，满足条件，设，则有
，

当是常数时，是常数，
∴，∴，∵，∴.
∴存在满足条件.
本题考查了直线与圆的综合问题，第一问代入圆心坐标，即可，同时采取假设法，计算,利用对应项系数成比例，建立等式，即可．
18、 (1) (2)
【解析】
（1）先利用正弦定理将已知等式化为，化简后再运用余弦定理可得角B；（2）由和余弦定理可得，面积为，将和的值代入面积公式即可．
【详解】
解：（1）由题，由正弦定理得：
，即
则
所以．
（2）因为，
所以，解得
所以
本题考查解三角形，是常考题型．
19、（1）；（2）
【解析】
（1）求出数量积，由二倍角公式和两角和的正弦公式化简，求出，然后结合诱导公式和余弦的二倍角公式可求值；
（2）应用两角和的正弦公式可求得，得有范围，由（1）的结论得，即其范围．
【详解】
（1）由题意，，
．
（2）由（1），
由得
，
三角形中，∴，．则，，
∴．
本题考查平面向量数量积的坐标表示，考查两角和正弦公式，二倍角公式，考查三角函数的性质．解题中利用三角公式化简变形是解题关键，本题属于中档题．
20、（1）；（2）.
【解析】
（1）由二倍角公式，结合题意，可直接求出结果；
（2）先由题意求出，，
根据，由两角差的正弦公式，即可求出结果.
【详解】
（1）因为，所以；
（2）因为为锐角，所以，，
又，所以，
，
所以
.
本题主要考查三角恒等变换给值求值的问题，熟记二倍角公式，以及两角差的正弦公式即可，属于常考题型.
21、（1）和；（2）或；（3）
【解析】
（1）分斜率存在和不存在两种情况讨论，利用直线与圆相切时，圆心到直线的距离等于半径求解；（2）根据弦长，可求圆心到直线的距离，利用距离公式，可求直线斜率；（3）利用求轨迹方程的方法(代入法)求解.
【详解】
（1）当斜率不存在时，过点的方程是与圆相切，满足条件，当斜率存在时，设直线方程：，直线与圆相切时，
，解得：，.
所以，满足条件的直线方程是或.
（2）设直线方程：，
设圆心到直线的距离 ，，解得或 ，
所以满足条件的直线方程是或.
（3）设，那么 ，
将点代入圆，可得.
本题考查了直线与圆相切，相交的问题，属于基础题型，这类求直线的问题，需分斜率不存在和存在两种情况讨论，当直线与圆相切时，利用圆心到直线的距离等于半径求解，当直线与圆相交时，可利用弦长公式和圆心到直线的距离求解直线方程.