2025届江苏省东海县第二中学高一数学第二学期期末经典试题含解析.doc

2025届江苏省东海县第二中学高一数学第二学期期末经典试题
注意事项
1．考生要认真填写考场号和座位序号。
2．试题所有答案必须填涂或书写在答题卡上，在试卷上作答无效。第一部分必须用2B 铅笔作答；第二部分必须用黑色字迹的签字笔作答。
3．考试结束后，考生须将试卷和答题卡放在桌面上，待监考员收回。

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的
1．一实体店主对某种产品的日销售量（单位：件）进行为期n天的数据统计，得到如下统计图，则下列说法错误的是（ ）

A． B．中位数为17
C．众数为17 D．日销售量不低于18的频率为0.5
2．在中，已知， 那么一定是（ ）
A．直角三角形 B．等腰三角形 C．等腰直角三角形 D．正三角形
3．已知a、b、c分别是△ABC的内角A、B、C的对边，若，则的形状为（ ）
A．钝角三角形 B．直角三角形 C．锐角三角形 D．等边三角形
4．已知为两条不同的直线，为两个不同的平面，给出下列命题：
①若，，则；②若，，则；③若，，则；④若，，，则.其中正确的命题是（ ）
A．②③ B．①③ C．②④ D．①④
5．已知a,b,,且,,则( )
A． B． C． D．
6．当前，我省正分批修建经济适用房以解决低收入家庭住房紧张问题．已知甲、乙、丙三个社区现分别有低收入家庭360户、270户、180户，若第一批经济适用房中有90套住房用于解决这三个社区中90户低收入家庭的住房问题，先采用分层抽样的方法决定各社区户数，则应从乙社区中抽取低收入家庭的户数为（ ）
A．30 B．40 C．20 D．36
7．棉花的纤维长度是棉花质量的重要指标．在一批棉花中抽测了根棉花的纤维长度（单位：），将样本数据作成如下的频率分布直方图：下列关于这批棉花质量状况的分析，不合理的是（　　）

A．这批棉花的纤维长度不是特别均匀
B．有一部分棉花的纤维长度比较短
C．有超过一半的棉花纤维长度能达到以上
D．这批棉花有可能混进了一些次品
8．设等比数列的前项和为，且，则（ ）
A． B． C． D．
9．某几何体三视图如图所示，则该几何体中的棱与面相互平行的有（ ）

A．2对 B．3对 C．4对 D．5对
10．给甲、乙、丙三人打电话，若打电话的顺序是任意的，则第一个打电话给甲的概率是(　　)
A． B． C． D．
二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。
11．函数f（x）＝2cos（x）﹣1的对称轴为_____，最小值为_____．
12．从某小学随机抽取100名同学，将他们的身高（单位：厘米）数据绘制成频率分布直方图（如图）.若要从身高，，三组内的学生中，用分层抽样的方法抽取18人参加一项活动，则从身高在内的学生中抽取的人数应为________.

13．设，，为三条不同的直线，，为两个不同的平面，下列命题中正确的是______．
(1)若，，，则；
(2)若，，，则；
(3)若，，，，则；
(4)若，，,则．
14．设是公差不为0的等差数列,且成等比数列,则的前10项和________.
15．如图，缉私艇在处发现走私船在方位角且距离为12海里的处正以每小时10海里的速度沿方位角的方向逃窜，缉私艇立即以每小时14海里的速度追击，则缉私艇追上走私船所需要的时间是__________小时.

16．若数列满足（，为常数），则称数列为“调和数列”，已知正项数列为“调和数列”，且，则的最大值是__________．
三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．在平面直角坐标系中，已知，，动点满足，设动点的轨迹为曲线．
（1）求动点的轨迹方程，并说明曲线是什么图形；
（2）过点的直线与曲线交于两点，若，求直线的方程；
（3）设是直线上的点，过点作曲线的切线，切点为，设，求证：过三点的圆必过定点，并求出所有定点的坐标．
18．已知，，且.
（1）求函数的最小正周期；
（2）若用和分别表示函数W的最大值和最小值.当时，求的值.
19．已知圆.
（1）求圆的半径和圆心坐标；
（2）斜率为的直线与圆相交于、两点，求面积最大时直线的方程.
20．已知海岛在海岛北偏东，，相距海里，物体甲从海岛以海里/小时的速度沿直线向海岛移动，同时物体乙从海岛沿着海岛北偏西方向以海里/小时的速度移动．

（1）问经过多长时间，物体甲在物体乙的正东方向；
（2）求甲从海岛到达海岛的过程中，甲、乙两物体的最短距离．
21．如图，边长为2的正方形中.

（1）点是的中点，点是的中点，将、分别沿，折起，使，两点重合于点，求证：；
（2）当时，将、分别沿，折起，使，两点重合于点，求三棱锥的体积.
参考答案

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的
1、B
【解析】
由统计图,可计算出总数、中位数、众数,算得销量不低于18件的天数,即可求得频率.
【详解】
由统计图可知,总数,所以A正确;
从统计图可以看出,从小到大排列时,中间两天的销售量的平均值为,所以B错误;
从统计图可以看出,销量最高的为17件,所以C正确;
从统计图可知,销量不低于18的天数为,所以频率为,所以D正确.
综上可知,错误的为B
故选:B
本题考查了统计中的总数、中位数、众数和频率的相关概念和性质,属于基础题.
2、B
【解析】
先化简sin Acos B＝sin C=，即得三角形形状.
【详解】
由sin Acos B＝sin C得
所以sinBcosA=0,因为A,B∈（0，π），
所以sinB＞0，所以cosA=0,所以A=,
所以三角形是直角三角形.
故答案为A
本题主要考查三角恒等变换和三角函数的图像性质，意在考查学生对这些知识的掌握水平和分析推理能力.
3、A
【解析】
将原式进行变形，再利用内角和定理转化，最后可得角B的范围，可得三角形形状.
【详解】
因为在三角形中，变形为
由内角和定理可得
化简可得：
所以
所以三角形为钝角三角形
故选A
本题考查了解三角形，主要是公式的变形是解题的关键，属于较为基础题.
4、B
【解析】
利用空间中线面平行、线面垂直、面面平行、面面垂直的判定与性质即可作答.
【详解】
垂直于同一条直线的两个平面互相平行,故①对；平行于同一条直线的两个平面相交或平行，故②错；若，，，则或与为异面直线或与为相交直线，故④错；若，则存在过直线的平面，平面交平面于直线，，又因为，所以，又因为平面，所以，故③对.
故选B.
本题主要考查空间中，直线与平面平行或垂直的判定与性质,以及平面与平面平行或垂直的判定与性质，属于基础题型.
5、A
【解析】
利用不等式的基本性质以及特殊值法，即可得到本题答案.
【详解】
由不等式的基本性质有，，故A正确，B不正确；当时，，但，故C、D不正确.
故选：A
本题主要考查不等式的基本性质，属基础题.
6、A
【解析】
先求出每个个体被抽到的概率,再由乙社区的低收入家庭数量乘以每个个体被抽到的概率,即可求解
【详解】
每个个体被抽到的概率为,
乙社区由270户低收入家庭,故应从乙中抽取低收入家庭的户数为,
故选:A
本题考查分层抽样的应用,属于基础题
7、C
【解析】
根据频率分布直方图计算纤维长度超过的频率，可知不超过一半，从而得到结果.
【详解】
由频率分布直方图可知，纤维长度超过的频率为：
棉花纤维长度达到以上的不超过一半 不合理
本题正确选项：
本题考查利用频率分布直方图估计总体数据的分布特征，关键是能够熟练掌握利用频率分布直方图计算频率的方法.
8、C
【解析】
由，，联立方程组，求出等比数列的首项和公比，然后求．
【详解】
解：若，则，显然不成立，所以．
由，，得，，所以，
所以公比．
所以．
或者利用，
所以．
故选：C．
本题主要考查等比数列的前项和公式的应用，要求熟练掌握，特别要注意对公比是否等于1要进行讨论，属于基础题．
9、C
【解析】
本道题结合三视图，还原直观图，结合直线与平面判定，即可。
【详解】
结合三视图，还原直观图，得到

AB平行平面OCD,DC平行平面OBA，BC平行平面ODA，DA平行平面OBC，故有4对。故选C。
本道题考查了三视图还原直观图，难度中等。
10、B
【解析】
根据题意，打电话的顺序是任意的，打电话给甲乙丙三人的概率都相等均为，从而可得到正确的选项．
【详解】
∵打电话的顺序是任意的，打电话给甲、乙、丙三人的概率都相等，
∴第一个打电话给甲的概率为．
故选：B．
此题考查了概率的求法：如果一个事件有n种可能，而且这些事件的可能性相同，其中事件A出现m种结果，那么事件A的概率P（A）=．

二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。
11、 ﹣3
【解析】
利用余弦函数的图象的对称性，余弦函数的最值，求得结论．
【详解】
解：对于函数，令，求得，
根据余弦函数的值域可得函数的最小值为，
故答案为：；．
本题主要考查余弦函数的图象的对称性，余弦函数的最值，属于基础题．
12、3
【解析】
先由频率之和等于1得出的值，计算身高在，，的频率之比，根据比例得出身高在内的学生中抽取的人数.
【详解】

身高在，，的频率之比为
所以从身高在内的学生中抽取的人数应为
故答案为：
本题主要考查了根据频率分布直方图求参数的值以及分层抽样计算各层总数，属于中档题.
13、 (1)
【解析】
利用线线平行的传递性、线面垂直的判定定理判定．
【详解】
(1) ， ，，则，正确
(2)若，，，则，错误
(3)若，则不成立，错误
(4)若，，,则，错误
本题主要考查线面垂直的判定定理判定，考查了空间想象能力，属于中档题.
14、
【解析】
利用等差数列的通项公式和等比数列的性质求出公差，由此能求出
【详解】
因为是公差不为0的等差数列,且成等比数列
所以，即
解得或(舍)
所以
故答案为：
本题考查等差数列前10项和的求法，解题时要认真审题，注意等比数列的性质合理运用.
15、
【解析】
设缉私艇追上走私船所需要的时间为小时，根据各自的速度表示出与，由，利用余弦定理列出关于的方程，求出方程的解即可得到的值．
【详解】
解：设缉私艇上走私船所需要的时间为小时，则，，
在中，，根据余弦定理知：，
或（舍去），
故缉私艇追上走私船所需要的时间为2小时．
故答案为：．
本题考查了正弦、余弦定理，以及特殊角的三角函数值，熟练掌握正弦、余弦定理是解本题的关键，属于中档题．
16、1
【解析】
因为数列是“调和数列”，所以，即数列是等差数列，所以，，所以，，当且仅当时等号成立，因此的最大值为1．
点睛：本题考查创新意识，关键是对新定义的理解与转化，由“调和数列”的定义及已知是“调和数列”，得数列是等差数列，从而利用等差数列的性质可化简已知数列的和，结合基本不等式求得最值．本题难度不大，但考查的知识较多，要熟练掌握各方面的知识与方法，才能正确求解．

三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17、（1）动点的轨迹方程为，曲线是以为圆心，2为半径的圆（2）的方程为或.（3）证明见解析，所有定点的坐标为，
【解析】
（1）利用两点间的距离公式并结合条件，化简得出曲线的方程，根据曲线方程的表示形式确定曲线的形状；
（2）根据几何法计算出圆心到直线的距离，对直线分两种情况讨论，一是斜率不存在，一是斜率存在，结合圆心到直线的距离求出直线的斜率，于此得出直线的方程；
（3）设点的坐标为，根据切线的性质得出，从而可得出过、、三点的圆的方程，整理得出，然后利用
，解出方程组可得出所过定点的坐标.
【详解】
（1）由题意得，化简可得：，
所以动点的轨迹方程为.
曲线是以为圆心，为半径的圆；
（2）①当直线斜率不存在时，，不成立；
②当直线的斜率存在时，设，即，
圆心到的距离为 ∵
∴, 即，解得或，
∴的方程为或；
（3）证明：∵在直线上，则设
∵为曲线的圆心，由圆的切线的性质可得，
∴经过的三点的圆是以为直径的圆，
则方程为，
整理可得,
令，且,
解得或
则有经过三点的圆必过定点，所有定点的坐标为，.
本题考查动点轨迹方程的求法，考查直线截圆所得弦长的计算以及动圆所过定点的问题，解决圆所过定点问题，关键是要将圆的方程求出来，对带参数的部分提公因式，转化为方程组求公共解问题．
18、（1）；（2）.
【解析】
（1）根据向量数量积的计算公式和三角恒等变换公式可将化简为，进而求得函数的最小正周期；
（2）由可求得的范围，进而可求得的最大值和最小值，最后得解.
【详解】
（1）

∴；
（2），，，
∴当时，，
当时，，∴.
本题考查向量数量积的计算公式和三角恒等变换公式，考查三角函数的单调性和周期性，考查逻辑思维能力和计算能力，属于常考题.
19、（1）圆的圆心坐标为，半径为；（2）或．
【解析】
（1）将圆的方程化为标准方程，可得出圆的圆心坐标和半径；
（2）设直线的方程为，即，设圆心到直线的距离，计算出直线截圆的弦长，利用基本不等式可得出的最大值以及等号成立时对应的的值，利用点的到直线的距离可解出实数的值.
【详解】
（1）将圆的方程化为标准方程得，
因此，圆的圆心坐标为，半径为；
（2）设直线的方程为，即，
设圆心到直线的距离，则，且，
的面积为，
当且仅当时等号成立，由点到直线的距离公式得，
解得或.
因此，直线的方程为或．
本题考查圆的一般方程与标准方程之间的互化，以及直线截圆所形成的三角形的面积，解题时要充分利用几何法将直线截圆所得弦长表示出来，在求最值时，可利用基本不等式、函数的单调性来求解，考查分析问题和解决问题的能力，属于中等题.
20、（1）小时；（2）海里．
【解析】
试题分析：（1）设经过小时，物体甲在物体乙的正东方向，因为小时，所以．则物体甲与海岛的距离为海里，物体乙与海岛距离为海里．在中由正弦定理可求得的值．（2）在中用余弦定理求，再根据二次函数求的最小值．
试题解析：解：

（1）设经过小时，物体甲在物体乙的正东方向．如图所示，物体甲与海岛的距离为海里，物体乙与海岛距离为海里，，
中，由正弦定理得：，即，
则．
（2）由（1）题设，，，
由余弦定理得：

∵，
∴当时，海里．
考点：1正弦定理；2余弦定理；3二次函数求最值．
21、（1）证明见解析；（2）
【解析】
（1）折叠过程中，，保持不变，即，，由此可得线面垂直，从而有线线垂直；
（2）由（1）知面，即是三棱锥的高，求出底面积可得体积．
【详解】
（1）证明：由，.
可得：，，，
面
又面

（2）解：在三棱锥中，
，，
面，
由，，可得
．
本题考查证明线线垂直，考查求棱锥的体积．立体几何中证明线线垂直，通常由线面垂直的性质定理给出，即先证线面垂直，而证线面垂直又必须证明线线垂直，注意线线垂直与线面垂直的转化．三棱锥中任何一个面都可以当作底面，因此一般寻找高易得的面为底面，常用换底法求体积．